高中数学选修第一册：选择性必修第一册第一章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行

1、第2课时空间中直线、平面的平行学习目标熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系知识点一线线平行的向量表示设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1l2u1u2R，使得u1u2.知识点二线面平行的向量表示设u是直线 l 的方向向量，n是平面的法向量，l，则lunun0.知识点三面面平行的向量表示设n1 ，n2 分别是平面，的法向量，则n1n2R，使得n1n2 .思考怎么利用向量证明或判定直线和平面的位置关系？答案证明或判定直线和平面的位置关系有两类思路(1)转化为线线关系，然后利用两个向量的关系进行判定；(2)利用直线的方向向量和平面的法向量进行判定1已知直线l的方向向

2、量为a(1,2,0)，平面的法向量为n(2,1，1)，则()Al BlCl Dl或l答案D2若平面，且平面的一个法向量为neq blc(rc)(avs4alco1(2，1，f(1,2)，则平面的法向量可以是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(1,4) B(2，1,0)C(1,2,0) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，2)答案A3若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(4，8,4)，则平面，的位置是_答案解析ueq f(1,4)v，.一、证明线线平行例1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，点

3、M在棱BB1上，且BM2MB1，点S在DD1上，且SD12SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点求证：MNRS.证明方法一如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得Meq blc(rc)(avs4alco1(3，0，f(4,3)，N(0,2,2)，R(3,2,0)，Seq blc(rc)(avs4alco1(0，4，f(2,3).则eq o(MN,sup6()，eq o(RS,sup6()分别为MN，RS的方向向量，所以eq o(MN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(3，2，f(2,3)，eq o(RS,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(3，2，f(2

4、,3)，所以eq o(MN,sup6()eq o(RS,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq o(RS,sup6()，因为MRS，所以MNRS.方法二设eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，eq o(AA1,sup6()c，则eq o(MN,sup6()eq o(MB1,sup6()eq o(B1A1,sup6()eq o(A1N,sup6()eq f(1,3)caeq f(1,2)b，eq o(RS,sup6()eq o(RC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DS,sup6()eq f(1,2)baeq f(1,3)c.所以eq o(

5、MN,sup6()eq o(RS,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq o(RS,sup6().又RMN，所以MNRS.反思感悟利用向量证明线线平行的思路证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可跟踪训练1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点求证：四边形AEC1F是平行四边形证明以点D为坐标原点，分别以eq o(DA,sup6()，eq o(DC,sup6()，eq o(DD1,sup6()为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2)，C1(

6、0,1,1)，Feq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(FC1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(EC1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，1，f(1,2)，eq o(AE,sup6()eq o(FC1,sup6()，eq o(EC1,sup6()eq o(AF,sup6()，eq o(AE,sup6()

7、eq o(FC1,sup6()，eq o(EC1,sup6()eq o(AF,sup6()，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形AEC1F是平行四边形二、证明线面平行例2在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中点证明：PA平面EDB.证明如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PDDCa.连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a，0,0)，P(0,0，a)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2).方法一设平面BDE的法向量为n(x，y，z)，又eq o(DE

8、,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)，eq o(EB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，f(a,2)，则有eq blcrc (avs4alco1(no(DE,sup6()0，,no(EB,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(f(a,2)yz0，,ablc(rc)(avs4alco1(xf(y,2)f(z,2)0，)即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,2xyz0.)令z1，则eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)所以n(1，1,1)，又eq o(PA,

9、sup6()(a，0，a)，所以neq o(PA,sup6()(1，1,1)(a，0，a)aa0.所以neq o(PA,sup6().又PA平面EDB，所以PA平面EDB.方法二因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，0)，所以eq o(EG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0，f(a,2).又eq o(PA,sup6()(a，0，a)，所以eq o(PA,sup6()2eq o(EG,sup6()，这表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面

10、EDB.方法三假设存在实数，使得eq o(PA,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(EB,sup6()，即(a，0，a)eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，f(a,2)eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，f(a,2)，则有eq blcrc (avs4alco1(aa，,0f(a,2)f(a,2)f(a,2)，,af(a,2)f(a,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(1，,1.)所以eq o(PA,sup6()eq o(DE,sup6()eq o(EB,sup6()，又PA平面EDB，所以PA平面EDB.反思感悟证明

11、线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内跟踪训练2在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点，求证：AB平面DEG. 证明EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0,0,2)，B(2,0

12、,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，eq o(ED,sup6()(0,2,2)，eq o(EG,sup6()(2,2,0)，eq o(AB,sup6()(2,0，2)设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(o(ED,sup6()n0，,o(EG,sup6()n0，)即eq blcrc (avs4alco1(2y2z0，,2x2y0，)令y1，得z1，x1，则n(1,1，1)，eq o(AB,sup6()n2020，即eq o(AB,sup6()n.AB平面DEG，AB平面DEG.三、证明面面平行例3已知正方体

13、ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：平面ADE平面B1C1F.证明建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以eq o(FC1,sup6()(0,2,1)，eq o(DA,sup6()(2,0,0)，eq o(AE,sup6()(0,2,1)，eq o(C1B1,sup6()(2,0,0)，设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1eq o(DA,sup6()，n1eq o(AE,sup6()，即eq blcrc

14、(avs4alco1(n1o(DA,sup6()2x10，,n1o(AE,sup6()2y1z10，)得eq blcrc (avs4alco1(x10，,z12y1.)令z12，则y11，所以可取n1(0，1,2)同理，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2eq o(FC1,sup6()，n2eq o(C1B1,sup6()，得eq blcrc (avs4alco1(n2o(FC1,sup6()2y2z20，,n2o(C1B1,sup6()2x20，)解得eq blcrc (avs4alco1(x20，,z22y2.)令z22，得y21，所以n2(0，1,2)因为n1n2

15、，即n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.反思感悟证明面面平行问题的方法(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明跟踪训练3在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，F是棱AB的中点试用向量的方法证明：平面AA1D1D平面FCC1. 证明因为AB4，BCCD2，F是棱AB的中点，所以BFBCCF，所以BCF为正三角形因为ABCD为等腰梯形，AB4，BCCD2，所以BADABC60.取AF的中点M，连接DM，则DMAB，所以DMCD.以D为原点，DM为x轴，DC为y

16、轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(eq r(3)，1,0)，F(eq r(3)，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，所以eq o(DD1,sup6()(0,0,2)，eq o(DA,sup6()(eq r(3)，1,0)，eq o(CF,sup6()(eq r(3)，1,0)，eq o(CC1,sup6()(0,0,2)，所以eq o(DD1,sup6()eq o(CC1,sup6()，eq o(DA,sup6()eq o(CF,sup6()，所以DD1CC1，DACF，又DD1DAD，CC1CFC，DD1，DA平面AA1D1D

17、，CC1，CF平面FCC1，所以平面AA1D1D平面FCC1.面面平行之探究 典例如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO.解如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则Oeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，则Q(0,1，z)，则eq o(OP,s

18、up6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,2)，eq o(BD1,sup6()(1，1,1)，eq o(BD1,sup6()2eq o(OP,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(BD1,sup6()，OPBD1.eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(BQ,sup6()(1,0，z)，当zeq f(1,2)时，eq o(AP,sup6()eq o(BQ,sup6()，即APBQ，又APOPP，BQBD1B，AP，OP平面PAO，BQ，BD1平面D1BQ，则有平面PAO平面

19、D1BQ，当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.素养提升(1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质 1已知向量 a(2,4,5)，b(3，x，y) 分别是直线 l1，l2 的方向向量，若 l1l2 ，则()Ax6，y15 Bx3，yeq f(15,2)Cx3，y15 Dx6，yeq f(15,2) 答案D解析由题意得，eq f(3,2)eq f(x,4)eq f(y

20、,5)，x6，yeq f(15,2) .2如果直线l的方向向量是a(2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面上，平面的法向量是b(2,0,4)，那么()Al BlCl Dl与斜交答案B解析直线l的方向向量是a(2,0,1)，平面的法向量是b(2,0,4)，ab4040，直线l在平面内或者与平面平行，又直线l上有一点P不在平面上，l.3若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)答案D解析若l，则an0.而A中an2，B中an156，C中an

21、1，只有D选项中an330.4设平面，的一个法向量分别为u(1,2，2)，v(3，6,6)，则，的位置关系为_答案平行解析v3(1,2，2)3u，.5已知直线l平面ABC，且l的一个方向向量为a(2，m，1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)则实数m的值是_答案3解析l平面ABC，存在实数x，y，使axeq o(AB,sup6()yeq o(AC,sup6()，eq o(AB,sup6()(1,0，1)，eq o(AC,sup6()(0,1，1)，(2，m，1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)，eq blcrc (avs4alco1(2x，,my，,1xy，

22、)m3.1知识清单：(1)线线平行的向量表示(2)线面平行的向量表示(3)面面平行的向量表示2方法归纳：坐标法、转化化归3常见误区：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内1与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1，1) B(1，3,2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，1) D(eq r(2)，3，2eq r(2)答案C解析a(1，3,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)，1).2若平面，的一个法向量分别为meq blc(rc)

23、(avs4alco1(f(1,6)，f(1,3)，1)，neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，3)，则()A BC与相交但不垂直 D或与重合答案D解析因为n3m，所以mn，所以或与重合3已知直线l的方向向量是a(3,2,1)，平面的法向量是u(1,2，1)，则l与的位置关系是()Al BlCl与相交但不垂直 Dl或l答案D解析因为au3410，所以au.所以l或l.4(多选)若直线l的一个方向向量为d(6,2,3)，平面的一个法向量为n(1,3,0)，则直线l与平面的位置关系是()A垂直 B平行C直线l在平面内 D不能确定答案BC解析dn62300，dn，直线l与平面的

24、位置关系是直线l在平面内或平行5已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()Aeq f(10,3) B6 C6 D.eq f(10,3)答案B解析，的法向量与的法向量也互相平行eq f(2,4)eq f(3,)eq f(1,2)，6.6已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，则与的位置关系是_答案解析eq o(AB,sup6()(0,1，1)，eq o(AC,sup6()(1,0，1)，neq o(AB,sup6()(1，1，1)(0,1，1)10(1)1(1)(1)0，neq o(A

25、C,sup6()(1，1，1)(1,0，1)110(1)(1)0，neq o(AB,sup6()，neq o(AC,sup6().n也为的一个法向量，又 与不重合，.7若aeq blc(rc)(avs4alco1(x，2y1，f(1,4)是平面的一个法向量，且b(1,2,1)，ceq blc(rc)(avs4alco1(3，f(1,2)，2)均与平面平行，则向量a_.答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(9,52)，f(1,26)，f(1,4)解析由题意，知eq blcrc (avs4alco1(ab0，,ac0，)即eq blcrc (avs4alco1(x4yf(9,4)0，,

26、3xy0，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(9,52)，,yf(27,52)，)所以aeq blc(rc)(avs4alco1(f(9,52)，f(1,26)，f(1,4).8已知，为两个不重合的平面，设平面与向量a(1,2，4)垂直，平面与向量b(2,4，8)垂直，则平面与的位置关系是_答案平行解析由题意得a，b分别为，的一个法向量，又ab，.9如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，E，F分别为A1C1和BC的中点求证：C1F平面ABE.证明如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设BCa，

27、ABb，BB1c，则B(0,0,0)，A(0，b，0)，C1(a，0，c)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(b,2)，c).所以eq o(AB,sup6()(0，b，0)，eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(b,2)，c).设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AE,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(by0，,f(a,2)xf(b,2)y

28、cz0，)令x2，则y0，zeq f(a,c)，即neq blc(rc)(avs4alco1(2，0，f(a,c).又eq o(C1F,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0，c)，所以 neq o(C1F,sup6()0，又C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.10已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点求证：平面A1EF平面B1MC.证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，则eq o(A1

29、C1,sup6() (1,1,0), eq o(B1C,sup6() (1,0，1), eq o(DA1,sup6()(1,0,1), eq o(B1A,sup6()(0，1，1)，设eq o(A1E,sup6()eq o(A1C1,sup6()，eq o(A1F,sup6()eq o(A1D,sup6(),eq o(B1M,sup6()veq o(B1A,sup6()(，vR，且均不为0)设n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，可得 eq blcrc (avs4alco1(n1o(A1E,sup6()0，,n1o(A1F,sup6()0，

30、)可得eq blcrc (avs4alco1(n1o(A1C1,sup6()0，,n1o(DA1,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1y10，,x1z10，) 所以可取n1(1,1, 1)由eq blcrc (avs4alco1(n2o(B1M,sup6()0，,n2o(B1C,sup6()0，)可得eq blcrc (avs4alco1(n2o(B1A,sup6()0，,n2o(B1C,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(y2z20，,x2z20，) 可取n2(1,1，1)，所以n1n2，所以n1n2，所以平面A1EF平面B1MC.11.如

31、图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是()A异面直线B平行直线C垂直不相交D垂直且相交答案B解析设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后，eq o(DA1,sup6()(1,0,1), eq o(AC,sup6()(1,1,0)，设eq o(PQ,sup6()(a，b，c)，则eq blcrc (avs4alco1(ac0，,ab0，)取eq o(PQ,sup6()(1,1，1)，eq o(BD1,sup6()(0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)eq o(PQ,sup6() ，eq o(PQ,sup6()eq o(BD1,sup6() ，PQBD

32、1.12.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，ABeq r(2)，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),3)，f(r(2),3)，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)，f(r(2),4)，1)答案C解析方法一以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示则C(0,0,0)，D(eq r(2)，0,0)，B(0，eq r(2)，0)，E(0,0,1)，A(eq r(2)，

33、eq r(2)，0)，eq o(DE,sup6()(eq r(2)，0,1)，eq o(BD,sup6()(eq r(2)，eq r(2)，0)，设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n(x，y，z)，则eq blcrc (avs4alco1(no(DE,sup6()0，,no(BD,sup6()0，)即eq blcrc (avs4alco1(r(2)xz0，,r(2)xr(2)y0，)令zeq r(2)，则x1，y1，所以n(1,1，eq r(2)，又eq o(AM,sup6()(aeq r(2)，aeq r(2)，1)，eq o(AM,sup6()naeq r(2)aeq r(2)eq r(2)0，aeq f(r(2),2)，即Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).方法二设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，所以AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，所以M为线段EF的中点在空间直角坐标系中，E(0,0,1)，F(eq r(2)，eq r(2)，1)由中点坐标公式，知点M的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，f(r(2),2)，1).13(多选)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱A