中考数学必考几何模型：手拉手模型

1、 手拉手模型模型手拉手图图图如图，ABC是等腰三角形、ADE是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a.结论：连接BD、CE,则有BADACAE.模型分析如图，ZBAD=ZBAC-ZDAC,ZCAE=ZDAE-ZDAC.VZBAC=ZDAE=a,AZBAD=ZCAE.在ABAD和ACAE中，AB=AC，ZBAD=ZCAE，AD=AE，图、图同理可证.这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型

2、.手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现.模型实例例1如图，AADC与AEDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE,相交于点H,问:GDAG与CE是否相等？AG与CE之间的夹角为多少度?解答：(1)AG=CE.理由如下:VZADG=ZADC+ZCDG,ZCDE=ZGDE+ZCDG,ZADC=ZEDG=90,:.ZADG=ZCDE.在ADG和ACDE中,AD=CD，ZADG=ZCDE，DG=DE，:.ADECDE.:.AG=CE.(2)VADGCDE,:.ZDAG=ZDCE.:乙COH=/AOD,:.ZCHA=ZADC=90.AAG与CE之间的夹角是90.例2如图，在直线AB的同一侧

3、作430和厶BCE,ABD和ABCE都是等边三角形，连接AE、CD,二者交点为H.求证：(1)AABE9ADBC；2)AE=DQ；ZDHA=60；AAGB竺ADFB；AEGB9ACFB；连接GF,GFIIAC；连接HB,HB平分ZAHC.证明：(1)ZABE=120,ZCBD=120。,在ABE和ADBC中，BA=BD，ZABE=ZDBC，、BE=BC，:.ABESDBC.MABE竺DBC,：AE=DC.AABE竺DBC,：Z1=Z2.:ZDGH=ZAGB.:.ZDHA=Z4=60.(4)TZ5=180Z4ZCBE=60。,.*.Z4=Z5.、：ABE台DBC,?.Z1=Z2.又：AB=DB,

4、:.AGBDFB(ASA).(5)同(4)可证EGBSCFB(ASA).(6)如图所示，连接GF.由(4)得，AGBDFB.：BG=BF.又:Z5=60,:.BGF是等边三角形.Z3=60.?.Z3=Z4.GFAC.图(7)如图所示，过点B作BM丄DC于M,过点B作BN丄AE于点N.:ABEADBC,S=SABEDBC1XAEXBN=1XCDXBM.22：AE=CD,.BM=BN.点B在ZAHC的平分线上.HB平分ZAHC.跟踪练习：1.在ABC中，AB=CB,ZABC=90,求证：BE=BF；若ZCAE=30,求ZACF度数.答案：(1)证明：ZABC=90.图CF为AB延长线上一点，点E在

5、BC上，且AE=CF.在RtAABE和RtACBF中，CF=AE，AB=CBRtABERtCBF(HL).:.BE=BF.(2)TAB=CB,ZABC=90。，AZBAC=ZBCA=45.:.ZCAE=30.ZBAE=45。一30=15.RtAABERtACBF,：.ZBCF=ZBAE=15.?.ZACF=ZBCF+ZBCA=15+45=60.2.如图，AABD与ABCE都为等边三角形，连接AE与CD,延长AE交CD于点H.C求证：(1)AE=DC；ZAHD=60。；连接HB,HB平分ZAHC.答案：(1)VZABE=ZABD-ZEBD,ZDBC=ZEBC-ZEBD,ZABD=ZEBC=60,

6、?.ZABE=ZDBC.在ABE和ADBC中,AB=DB，ZABE=ZDBC，、BE=BC，.abeadbc.AE=DC.VABEADBC,AZEAB=ZCDB.又VZOAB+ZOBA=ZODH+ZOHD,AZAHD=ZABD=60.过B作AH、DC的垂线，垂足分别为点M、N./abeadbc,S=SABEDBC即1AEBM=1CDBN.22又：AE=CD,:BM=BN.:HB平分ZAHC.3.在线段AE同侧作等边ABC和等边CDE(ZACEV120。)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点.B求证：ACPM是等边三角形.答案：证明：ABC和ACDE都是等边三角形，:.AC=BC,CD=CE.

7、ZACB=ZECD=60.:.ZBCE=ZACD.:.BCEACD.:ZCBE=ZCAD,BE=AD.又：点P与点M分别是线段BE和AD的中点，:BP=AM.在ASCP和AACM中，BC=AC，ZCBE=ZCAD，、BP=AM，:.BCPACM.:PC=MC，ZBCP=ZACM.:ZPCM=ZACB=60。.:.cpm是等边三角形.4.将等腰RtAABC和等腰RtAADE按图方式放置，ZA=90,AD边与AB边重合，AB=2AD=4.将AADE绕A点逆时针方向旋转一个角度a(0VaV180)，BD的延长线交CE于P.如图，求明：BD=CE，BD丄CE；如图，在旋转的过程中，当AD丄BD时，求CP长.图图图答案：.等腰RtABC和等腰RtADE,:.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90.VZDAB=90-ZCAD,ZCAE=90-ZCAD,:.ZDAB=ZCAE.:.ABDACE.：BD=CE.：/DBA=/ECA.：ZCPB=ZCA