常微分方程复习课件

1、复 习 课常微分方程 Ordinary differential equation第1页，共30页。第一章 绪 论第二章 一阶微分方程的初等积分法第三章 一阶微分方程的解的存在定理第四章 高阶微分方程第五章 线性微分方程组第六章 定性理论初步第七章 一阶线性偏微分方程第2页，共30页。第一章 绪 论 微分方程概述 /Sketch of ODE/ 基本概念 /Basic Conception/第3页，共30页。 1. 常微分方程和偏微分方程 2. 一阶与高阶微分方程 3. 线性和非线性微分方程 4. 解和隐式解 5. 通解和特解 6. 积分曲线和积分曲线族 7. 微分方程的几何解释-方向场第4页

2、，共30页。定义：一个或几个包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数（或微商）的关系式，称之为微分方程 。 常微分方程/ODE / 在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程 称为常微分方程。 偏微分方程/ PDE/ 自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。第5页，共30页。微分方程的阶/Order/ 在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。 当n=1时，称为一阶微分方程； 当n1时，称为高阶微分方程。的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。如果方程第6页，共30页。若方程的解是某关系式的隐函数

3、，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。 常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。 第7页，共30页。初值条件/Initial Value Conditions/对于 n 阶方程初值条件可表示为n阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示一阶和二阶方程初值问题（Cauchy Problem）的表示第8页，共30页。积分曲线和积分曲线族 /Integral Curve(s)/一阶微分方程的解平面的一条曲线，我们称

4、它为微分方程的积分曲线，而微分方程的通解表示表示平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。第9页，共30页。练习题编号微分方程自变量未知函数常或偏阶数是否线性1234第10页，共30页。练习题编号函数微分方程初始条件1234第11页，共30页。2.1 变量分离方程与变量变换2.2 线性微分方程与常数变易法2.3 恰当微分方程与积分因子2.4 一阶隐式微分方程与参数表示第二章 一阶微分方程的初等解法第12页，共30页。变量分离方程的求解1、形式:2、求解方法：分离变量、两边积分、考虑特殊情况3、方程 的解为：第13页，共30页。可化为变量分离方程类型的求解I. 齐次微分方程1、形式：2、求解

5、方法：作变量代换化其为变量分离方程、方程求解、变量还原第14页，共30页。II. 形如的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由 I 可化为变量分离方程.的情形第15页，共30页。且C1、C2不同时为零的情形第16页，共30页。2.2 线性微分方程与常数变易法第17页，共30页。第18页，共30页。形如伯努利方程：解法:的方程，关于z, x的线性微分方程第19页，共30页。称微分方程是恰当方程.1. 定义恰当方程 2. (1)是 恰当方程的充要条件第20页，共30页。3、恰当方程的求解1). 不定积分法（ ？）第21页，共30页。2. 分组凑微法 采用“分项组合”的方法

6、, 把微分方程中本身已构成全微分的项分出来, 再把余项凑成全微分.- 应熟记一些简单二元函数的全微分.如第22页，共30页。第23页，共30页。非恰当方程如何求解?对一些非恰当方程,方程两边乘上一个因子后, 可变为恰当方程.I. 积分因子的定义II. 积分因子的确定积分因子第24页，共30页。积分因子的确定微分方程这里第25页，共30页。这里第26页，共30页。一阶隐式方程求解 采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型.主要研究以下四种类型第27页，共30页。第三章一阶微分方程的解的存在定理 利普希茨（Lipschitz）条件 皮卡逐步逼近函数序列 第28页，共30页。第四章 高阶微分方程一、两类二阶微分方程的解法