法向量求二面角精编版课件

1、3.2立体几何中的向量方法第1页，共19页。A平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.l第2页，共19页。平面的法向量：注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;l第3页，共19页。求法向量的步骤：第4页，共19页。5第5页，共19页。 例1、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0

2、），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 解得取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1)AA BOzyA1C1B1AxCDD1第6页，共19页。二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.O复习：二面角的范围：第7页，共19页。ll法向量法求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.二面角的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补。第8页，共19页。四、教学过程的设计与实施总结出利用法

3、向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果第9页，共19页。例2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1，B1C1的中点，求二面角M-EF-N的大小AD1C1B1A1NMFEDCB(2)第10页，共19页。AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（1）建系如图所示，设正方体棱长为2,则M（0，1，2）F（1，2，0） E（2，1，2） N（1，2，2） 则MF=（1,1，-2） NF=（0，0，-2） EF

4、=（-1，1，-2），设平面ENF的法向量为n=(x,y,z),EFn=0NFn=0-x+y-2z=0-2z=0则x=yz=0令x=y=1,则n=(1,1,0)2第11页，共19页。AD1C1B1A1NMFEDCBxyz解：（2）建系如图，由（1）得：面ENF的法向量为 n=（1，1，0），又MF=（1，1，-2）EF=（-1，1，-2） 设面EMF的法向量为m=（x,y,z) ，则MF.m=0EFm=0 x+y-2z=0-x+y-2z=0 x=0y=2z令z=1,则m=(0,2,1) cos=10/5 由题意可知，所求二面角为锐角，故所求二面角的大小为arccos(10/5)第12页，共19

5、页。AzyxDCBS图5例3 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，AD/BC，ABC=900，SA面ABCD，AB=BC=1， 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。第13页，共19页。解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系，AzyxDCBS图5则11显然平面SBA的一个法向量为设平面SCD的一个法向量为则第14页，共19页。则根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小的大小为第15页，共19页。 练习：在正方体AC1中，E是BB1中点，求（1）二面角A-DE-B的余弦值；ABCDA1B1C1D1EXYZ第16页，共19页。课后作业：1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ， 试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值四、教学过程的设计与实施第17页，共19页。谢谢！第18页，共19页。 已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。求证：PE AF；求点D到平面PEF的距离；求直线A