常微分方程第三章一阶微分方程的解的存在定理(3.13.2)课件

1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理第1页，共55页。第2页，共55页。需解决的问题第3页，共55页。3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法第4页，共55页。一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题第5页，共55页。(1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.证明思路(2) 构造(3.5)近似解函数列第6页，共55页。(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)第7页，共55页。这是为了即第8页，共55页。第9页，共55页。下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.积分方程第10页，共55页。

2、命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程证明:即第11页，共55页。反之故对上式两边求导,得且第12页，共55页。构造Picard逐步逼近函数列问题: 这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?注第13页，共55页。命题2证明:(用数学归纳法)第14页，共55页。第15页，共55页。命题3证明:考虑函数项级数它的前n项部分和为第16页，共55页。对级数(3.9)的通项进行估计第17页，共55页。第18页，共55页。于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有第19页，共55页。现设命题4证明:第20页，共55页。即第21页，共55页。命题5证明:由第22页，共55页。第23页，共55

3、页。综合命题15得到存在唯一性定理的证明.第24页，共55页。一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题第25页，共55页。命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题2第26页，共55页。命题3命题4命题5第27页，共55页。2 存在唯一性定理的说明第28页，共55页。第29页，共55页。第30页，共55页。第31页，共55页。3 一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件第32页，共55页。三 近似计算和误差估计求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里第33页，共55页。注:上式可用数学归纳法证明则第34页，共

4、55页。例1 讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)第35页，共55页。第36页，共55页。例2 求初值问题解的存在唯一区间.解第37页，共55页。例3 利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为第38页，共55页。其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为第39页，共55页。3.2 解的延拓第40页，共55页。问题提出对于初值问题第41页，共55页。例如 初值问题第42页，共55页。1 饱和解及饱和区间定义1第43页，共55页。2 局部李普希茨(Lipschitz)条件定义2第44页，共55页。对定义2也可如下定义注第45页，共55页。3 解的延拓定理定理第46页，共55页。证明第47页，共55页。定义函数第48页，共55页。 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直到无法延拓为止. 它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.最后得到一条长长的积分曲线,第49页，共55页。推论1则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2第50页，共55页。证明第51页，共55页。推论3第52页，共55页。例1 讨论方程解该方程