古典概型复习教学课件和练习

1、第五节 古 典 概 型1.古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型.(1)有限性:试验的所有可能结果_,每次试验只出现其中的一个结果.(2)等可能性:每个试验结果出现的可能性_.只有有限个相同2.古典概型的概率公式如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n,随机事件A包含的基本事件数为m,那么事件A的概率规定为P（A）= = .3.互斥事件 定义：在一个随机试验中,把一次试验下_ 的两个事件A与B称作互斥事件. P(A+B)=_ 概率公式： P(A1+A2+An)= _不能同时发生P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+P(An)4.对立事件的概率在每一次试验中,相互对立的事件

2、A和事件 不会同时发生,并且一定有一个发生,对立事件也称为逆事件.其计算公式：P( )=_.1-P(A)判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）我们所说的试验都是古典概型.( )（2）“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.( )（3）掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( )(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ( )(5)两个事件对立时一定互斥,但两个事件互斥时不一定对立. ( )【解析】（1）错误.在一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且每个试验结果的可能性是均等的,这样

3、的试验才是古典概型.（2）错误.它不符合古典概型的定义中每个事件发生的可能性相等.（3）错误.掷一枚硬币两次,出现“正、正”“正、反” “反、正”“反、反”,这四个事件是等可能事件.（4）错误.两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生,不一定是同时发生.（5）正确.由互斥事件与对立事件的概念可知该说法正确.答案：（1） (2) （3） （4） （5） 1从甲、乙、丙三人中任选两人参加志愿者服务,甲、乙均被选中的概率是( ) (B) (C) (D)【解析】选B.任选两人为志愿者的结果有：(甲,乙)、(甲,丙)、(乙,丙),共3种,所以甲、乙均被选中的概率是 故选B.2.连续抛掷两枚骰子得到的点

4、数分别是m,n,则向量a(m,n)与向量b(1,1)共线的概率是( )(A) (B) (C) (D)【解析】选C.由向量a(m,n)与向量b(1,1)共线,可得mn,连续抛掷两枚骰子得到的点数（m,n）的可能结果共有36种,mn的有6种,分别是（1,1）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）,所以所求概率3设a是抛掷一枚骰子得到的点数,则方程x2ax20有两个不相等的实数根的概率为( )(A) (B) (C) (D)【解析】选A.由方程x2ax20有两个不相等的实数根,得a280,故a3,4,5,6.根据古典概型的概率计算公式有4.在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(

5、假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里,他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路公共汽车、6路公共汽车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )(A)0.12 (B)0.20 (C)0.60 (D)0.80【解析】选D.“能上车”记为事件A,则3路或6路公共汽车有一辆路过即事件发生,故P(A)=0.20+0.60=0.80.5三张卡片上分别写有字母A,A,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成B,A,A的概率是_【解析】三张卡片共有6种排法,排成B,A,A有两种,故答案：6.已知集合A2,5,在

6、A中可重复地依次取出三个数a,b,c，则“以a,b,c为边恰好构成三角形”的概率是_.【解析】“在A中可重复地依次取出三个数a,b,c”的基本事件总数为238，事件“以a,b,c为边不能构成三角形”分别为(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，所以答案：考向 1 简单古典概型的概率 【典例1】(1) “十一”国庆假期,甲、乙两人一起去游玩,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观一小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )(A) (B) (C) (D)（2）（2012江苏高考）有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随

7、机抽取一个数,则它小于8的概率是_【思路点拨】（1）由于每个景点被参观的可能性相等,且构成的基本事件个数有限,因此该问题能归结到古典概型解决.（2）从等比数列的通项公式和等可能事件的概率两方面处理.【规范解答】（1）选D.若用1,2,3,4,5,6代表6处景点,显然甲、乙两人最后一小时游览的景点可能为1,1,1,2,1,3,6,6,共36种；其中满足题意的“最后一小时他们同在一个景点”包括1,1,2,2,3,3,6,6,共6个基本事件,所以所求的概率为（2）这10个数是1,-3,(-3)2,(-3)3,(-3)4,(-3)5,(-3)6,(-3)7,(-3)8,(-3)9,所以它小于8的概率等

8、于答案：【互动探究】在本例题(2)中，将“抽取一个数，则它小于8”改为“抽取两个数，则它们都小于8”,则结果如何？【解析】基本事件共有 =45个，都小于8的事件有 15个，所以，它们都小于8的概率为【拓展提升】 1.求古典概型的概率的基本步骤（1）算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式P(A) 求出P（A）.2.基本事件个数的确定方法(1)列举法此法适合于基本事件较少的古典概型 (2)列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法 (3)排列组合法此法适合于从多个元素中选定两个以上元素的试验【变式备选】在正四面体的6条棱中随机抽取2条

9、，则其2条棱互相垂直的概率为( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选C.总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所求概率为 ，选C.考向 2 互斥事件、对立事件的概率【典例2】（1）在一次投掷骰子的试验中,记事件A1出现4点,A2出现大于3点,A3出现小于6点,A4出现6点,下列等式中正确的是( )(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)(B)P(A1A3)P(A1)P(A3)(C)P(A2A3)P(A2)P(A3)(D)P(A1A4)P(A1)P(A4)（2）从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.

10、32,那么质量在4.8,4.85)g范围内的概率是( )(A)0.62 (B)0.38(C)0.7 (D)0.68(3)已知在6个电子元件中有2个次品，4个正品，每次任取1个进行测试，测试后不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品都找到的概率.【思路点拨】（1）由于选项中的公式只有两个互斥事件的和事件的概率才满足,所以只需判断A1与A2,A1与A3,A1与A4以及A2与A3是否互斥即可.（2）利用概率的性质及互斥事件概率的公式即可解决.(3)4次测试恰好将2个次品都找到可分为“前3次测试仅有一次取到次品,第4次测试恰好取到次品”与“前4次测试都取到正品”两种情况.【规范解

11、答】（1）选D.由题设,只有事件A1与A4是互斥事件,因此P(A1A4)P(A1)P(A4),即选D.（2）选B.设一个羽毛球的质量为 g,则P(4.8)+P(4.84.85)+P(4.85)=1.所以P(4.84.85)=1-0.3-0.32=0.38.(3)设A表示事件“前3次测试仅有一次取到次品,第4次测试恰好取到次品”，B表示事件“前4次测试都取到正品”，则因为A，B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=故经过4次测试恰好将2个次品都找到的概率是 .【拓展提升】求复杂的互斥事件的概率的两种方法（1）直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件概率的加

12、法公式计算.（2）间接求法：先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P（ ）求得,即运用逆向思维（正难则反）,特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.【提醒】应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件发生的概率,再求和.【变式训练】一个口袋里共有除颜色外其他均相同的7个白球和4个红球，现在一次取出三个球，则这三个球中至少有一个红球的概率是多少？【解析】方法一：记“三个球中至少有一个红球”为事件A，“三个球中恰有一个红球”为事件A1，“三个球中有两个红球”为事件A2，“三个球全是红球”为事件A3，则AA1A2A3，且A1，A2，A3这三

13、个事件两两互斥，故得P(A)P(A1)P(A2)P(A3)方法二：记“三个球中至少有一个红球”为事件A，则“三个球全是白球”为事件A的对立事件 ，故得考向 3 构建不同的概率模型解决问题【典例3】（1）(2013淮北模拟)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球编号为n,则nm2的概率为_.(2)(2013大连模拟)同时投掷两粒骰子,求向上的点数之和为奇数的概率.【思路点拨】(1)将两次取出的球的编号看作有序实数对,列举出基本事件及满足nm+2的事件,转化为古典概型及对立事件的概率求

14、解.（2）适当选取观察角度以减少复杂的计数.角度一：通过坐标法列出所有基本事件；角度二：把一次试验的所有可能结果取为:(奇,奇),(奇,偶),（偶,奇）,（偶,偶）；角度三：把一次试验的所有可能结果取为:点数之和为奇数,点数之和为偶数.【规范解答】(1)依题设,一切可能结果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个又满足条件n m2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共3个,所以满足条件n m2 的事件的概率为 故

15、满足条件n0,即p2q21.当p,qZ时,设点M(p,q),如图,直线x3,2,1,0,1,2,3和直线y3,2,1,0,1,2,3的交点,即为点M,共有49个,其中在圆p2q21上和圆p2q21内的共有5个(图中黑点)当点M(p,q)落在圆p2q21外时,方程x22pxq210有两个相异实数根所以方程x22pxq210有两个相异实数根的概率【易错误区】基本事件判断不准致误【典例】(2012广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )（A） （B） （C） （D）【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面：(1)基本事件弄错,由于0与1,2,3,9这十个数

16、字被取到不是等可能的,因此误认为本题不是古典概型；(2)寻找基本事件时,误认为0与1,2,3,9的地位是一样的,致使基本事件个数不正确.【规范解答】选D.首先确定符合条件的两位数的所有个数,再找到个位数是0的个数,利用公式求解,设个位数与十位数分别为y,x,则如果两位数之和是奇数,则x,y分别为一奇数,一偶数：第一类:x为奇数，y为偶数，共有： (种)情况；第二类:x为偶数，y为奇数，共有： (种)情况.两类共计45种情况，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以其中个位数是0的概率为：【思考点评】1.基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的.(2)

17、任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.本题中基本事件是个位数与十位数之和为奇数的两位数.2.古典概型的判断标准判断一个概率问题是否是古典概型问题,其主要依据有以下两个标准:（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.1.（2013鹰潭模拟）分别写有数字1,2,3,4的4张卡片,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )(A) (B) (C) (D)【解析】选D.从写有数字1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张,有（1,2）, （1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共6种,取

18、出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4种,故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是2.（2013合肥模拟）设函数 若a是从0,1,2三数中任取一个,b是从1,2,3,4四数中任取一个,那么f(x)b恒成立的概率为( )(A) (B) (C) (D)【解析】选A.当a0时, 因为f(x)b恒成立,所以 恒成立,若b1,则a1,2；若b2,则a1,2；若b3, 则a1,2；若b4,则a2,共7种情况；a0时, b1适合,故概率为3.(2012上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相

19、同的概率是_(结果用最简分数表示).【解析】本题中三位同学参加三个不同项目的比赛，每人都选择两个项目，则所有结果为 种，有且只有两人选择的项目相同时分三步:定哪两个人相同有 种；定哪两个项目相同有 种；定第三个人，此人必须选前两人未选的项，有 种，结果为 种，所以概率为答案：4.(2013新余模拟)甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为_【解析】由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1(10.8)(10.75)0.95.答案：0.955.(2012重庆高考)某艺校在一天的6节

20、课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各一节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课的概率为_(用数字作答).【解析】6节课共有 种排法，相邻两节文化课之间最多隔1节艺术课，排法分三类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔.可将三节课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排，排法有 种.(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种形式，其排法有 种.(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，另一节文化课与前两节文化课之间无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的

21、2节艺术课进行全排，其排法有： 种.综上可知：相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法共有144+72+216=432种.所以在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔一节艺术课的概率答案：1已知集合A(x,y）|x-2y-10,B(x,y)|ax-by+10,其中a,b 1,2,3,4,5,6,则AB的概率为( )(A) (B) (C) (D)【解析】选A.AB=,直线x-2y-1=0与直线ax-by+1=0平行,b=2a,这样的(a,b)有：(1,2),(2,4),(3,6),共3个,所求概率为2.投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( )(

22、A) (B) (C) (D)【解析】选B.(m+ni)(n-mi)=mn-m2i+n2i-mni2=2mn-(m2-n2)i,m2-n2=0,即m=n.投掷两颗骰子，得到向上的点数的所有可能情况有36种，其中点数相同的情况有6种，故所求概率为3.已知向量a(m，n)，b(1，1)，其中m，n1,2,3,4,5，则a与b的夹角能成为直角三角形内角的概率是_.【解析】a与b的夹角为直角三角形的内角，因此有 mn.而所有的情况共有25种，而mn，有5432115（种），故概率为答案：一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些

23、人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的人身上。威尔逊二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。林语堂三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。毛泽东四、拥有梦想的人是值得尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。柳岩五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。俞敏洪六、

24、将相本无主，男儿当自强。汪洙七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。方志敏八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。佚名九、很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。佚名十、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦。屠格涅夫十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。伏尼契十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。司汤达十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。鲁迅十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。雨果十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。海伍德十六、有梦者事竟成。沃

25、特十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？丁尼生十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。林语堂十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。佚名二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。歌德二十一、梦境总是现实的反面。伟格利二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。苏格拉底二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。柳岩二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。鲁迅二十五、梦是心灵的思

26、想，是我们的秘密真情。杜鲁门卡波特二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。白哲特二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。康德二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。加里宁二十九、梦想家命长，实干家寿短。约奥赖利三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。佚名三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。毛姆三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。马克思三十三、在劳力上劳

27、心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。陶行知三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。萧绛三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。佚名三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。佚名三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。俞敏洪三十八、如意算盘，不一定符合事实。奥地利三十九、志向不过是记忆的奴隶，生气勃勃地降生，但却很难成长。莎士比亚四十、如果失去梦想，人类将会怎样？热豆腐

28、四十一、无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵的品质。佚名四十二、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。古龙四十三、梦想家的缺点是害怕命运。斯菲利普斯四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。纪伯伦四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的人。佚名四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。歌德四十七、人生最苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。鲁迅四十八、浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。列宁四十九、意志薄弱的人不可能真诚。拉罗什科五十、

29、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。古龙五十一、得其志，虽死犹生，不得其志，虽生犹死。无名氏五十二、所虑时光疾，常怀紧迫情，蹒跚行步慢，落后最宜鞭。董必武五十三、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？丁尼生五十四、很难说什么是办不到的事情，因为昨天的梦想，可以是今天的希望，并且还可以成为明天的现实。佚名五十五、要用你的梦想引领你的一生，要用感恩真诚助人圆梦的心态引领你的一生，要用执著无惧乐观的态度来引领你的人生。李开复五十六、人类也需要梦想者，这种人醉心于一种事业的大公无私的发展，因而不能注意自身的物质利益。居里夫人五十七、一个人的理想越崇高，生

30、活越纯洁。伏尼契五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。阿安普罗克特五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。高尔基六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。佚名六十一、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚毅来完成它。歌德六十二、没有大胆的猜测就作不出伟大的发现。牛顿六十三、梦想，是一个目标，是让自己活下去的原动力，是让自己开心的原因。佚名六十四、人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。爱迪生六十五、一路上我都会发现从未想像过的东西，如果当初我没有勇气去尝试看来几乎不可能的事，如今我就还只是个

31、牧羊人而已。牧羊少年的奇幻之旅六十六、一个人越敢于担当大任，他的意气就是越风发。班生六十七、贫穷是一切艺术职业的母亲。托里安诺六十八、莫道桑榆晚，为霞尚满天。刘禹锡六十九、一切活动家都是梦想家。詹哈尼克七十、如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。小塞涅卡七十一、人性最可怜的就是：我们总是梦想着天边的一座奇妙的玫瑰园，而不去欣赏今天就开在我们窗口的玫瑰。佚名七十二、一个人如果已经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦？古龙七十三、一个人有钱没钱不一定，但如果这个人没有了梦想，这个人穷定了。佚名七十四、平凡朴实的梦想，我们用那唯一的坚持信念去支撑那梦想。佚名七十五、最初所拥有的只是梦想，以及毫无根据的自信而已。但是，所有的一切就从这里出发。孙正义七十六、看见一个年轻人丧失了美好的希望和理想，看见那块他透过它来观察人们行为和感情的粉红色轻纱在他面前撕掉，那真是伤心啊！莱蒙托夫七十七、努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。佚名七十八、正如心愿能够激发梦想，梦想也能够激发心愿