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1、3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示 第三章 空间向量与立体几何1问题提出1.空间向量基本定理是什么？ 若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.2.在空间直角坐标系中，确定向量p的坐标的基本原理是什么？若pxe1ye2ze3，则p(x，y，z).23.空间向量可以用坐标表示，从而空间向量的运算和向量的关系也可以用坐标表示，其相关结论，我们将逐一探究.3空间向量运算的坐标表示4探究（一）：向量运算的坐标表示 思考1：向量ab用基底 i，j，k如何表示？ab的坐标是什么？ 设i，j，k为单位正交基底，向量 a(x1，y1，

2、z1)，b(x2，y2，z2). ab(x1x2，y1y2，z1z2) 思考2：根据上述原理，向量ab的坐标是什么？ ab(x1x2，y1y2，z1z2) 5思考3：设为实数，向量a用基底 i，j，k如何表示？a的坐标是什么？ a(x1，y1，z1) 思考4：利用ax1iy1jz1k，bx2iy2jz2k，ab等于什么？ abx1x2y1y2z1z2 6探究（二）：向量关系的坐标表示 设向量 a(x1，y1，z1)， b(x2，y2，z2). 思考1：若a/b，则向量a，b的坐标满足什么关系？x1x2，y1y2，z1z2(R). 思考2：若ab，则向量a，b的坐标满足什么关系？ x1x2y1y

3、2z1z2 07思考3：利用向量a的坐标如何求|a|？ |a|思考4：利用向量a，b的坐标如何求它们的夹角？cosa，b 8思考5：若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则向量 的坐标是什么？A、B两点间的距离如何计算？ (x2x1，y2y1，z2z1)， 思考6：已知点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，若 ，则点P的坐标是什么？9大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点10 例1 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求异面直线BE与DF所成角的余弦值.理论迁移xyzEABCA1FB1C1D1D11 例2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点， 求证：EFA1D.xyzEABCA1FB1C1D1D12 1.空间向量的坐标运算是在空间向量基本定理和空间向量的坐标表示的基础上建立起来的理论，它与平面向量的坐标运算的算法原理是一致的，其不同点体现在空间向量是三维坐标运算，平面向量是二维坐标运算. 小结作业13 2.求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，若向量的起点在原点，一般用几何法；若向量的起点和终点是一些特殊点，一般用差向量法，即终点坐标减起点坐标；若向量的具体位置不确定，一般用待定系数法. 3.对立体几何中的某些证明或计算

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