高等数学讲义教学课件第1节函数

1、第一节 函数 一、集合 区间二、函数的定义三、函数的基本特性四、复合函数与反函数五、初等函数第一章 函数 极限 连续一、集合(set)区间(interval)1.几种重要集合:(1) 常用数集N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集(2) 不含任何元素的集合称为空集.例如2.区间称为开区间,称为闭区间,(1)有限区间称为半开半闭区间,称为半开半闭区间,(2) 无限区间DefDefDef3.邻域:1. 函数概念例如 圆内接正多边形的面积圆内接正n 边形Or)二、函数(function)的定义因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域(Domain) 。 定义自变量因变量对应法则f函数的三因素:定

2、义域，值域和对应法则.结论:两个函数相同(等)的充要条件是定义域与 对应法则分别相同.函数的两要素:定义域与对应法则.例：判别下列函数是否是相同的函数？如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数多值函数、 单值分支一般只讨论单值函数x2+y2=a2 几个特殊的函数举例绝对值函数(Absolute Function)分段函数：符号函数(sign Function)1-1xyo取整函数 y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线x表示不超过x的最大整数(Rounding Functio

3、n)在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.注:分段函数的定义域应为各分段部分的并集.M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1、函数的有界性(Bound):三、函数的基本特性2、函数的单调性(Monotonic Function):xyoxyo3函数的奇偶性Even Functionyxox-xyxox-xOdd Function4函数的周期性(Periodic Function):1.函数的四则运算(combinations of functions)四、反函数与复合函数DWDW2、反函数(Inverse Function) 直接函数与反函数的图形

4、关于直线 对称.命题单值单调函数的反函数仍是单值单调，且保持直接函数的增(减)性。3、复合函数(Composite Function)定义:设函数y=f(u)的定义域为 ，如果函数 的值域为 ，则称为由函数 y=f(u) 与 构成的复合函数.Note:1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.复合函数的复合结构。1、幂函数(Power Function)（一）、基本初等函数五、初等函数2、指数函数(Exponential Function)3、对数函数(Logarithmic Function)4、三角函数(Trigonometric Function)正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5、反三角函数 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.（二）、初等函数(Elementary Function)1. 定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.如：函数的分类:函数初等函数非初等函数