科大数模课件mm03-种群模型

1、数学建模种群模型1数 学 建 模 从自然走向理性之路 数学建模2种群模型第三讲 种群模型【主要内容】 介绍动物群体的种群模型，包括单 种群模型、多种群模型。【主要目的】 了解如何建立微分方程模型，以及 微分方程稳定性理论在数学建模中的应用。 建模目的是研究充分长时间以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。 数学建模3种群模型 单种群模型 本节介绍Malthus 模型、Logistic 模型及可开发的单种群模型，应用微分方程的数学工具来研究种群的增长与变化规律。 数学建模4种群模型 1.1 Malthus 模型 设 p(t) 一给定的物种在时刻t的总数 r(t,p)该物种在时刻t出生率与死亡率之差

2、， 称为自然增长率。 假设r为常数，则种群的增长规律可以用以下微分方程表出 （1） 数学建模5种群模型 上式称为单一种群的Malthus 模型，若设初值为 p(t0)=p0 ,则（1）式的解为 由于其增长形式为指数形式，故该模型又称为指数增长模型。 数学建模6种群模型 1.2 Logistic 模型 Malthus 模型的不合理性在于，它没有反映出这样的事实，即当种群群体庞大到一定程度时，群体中个体之间要为有限的生存空间及资源而进行竞争。因此线性微分方程（1）必须再加上一个竞争项。 有人用某种昆虫做实验，结果表明，单位时间内两个成员发生冲突的次数的统计平均与p2成比例，故这个竞争项的一个合理的

3、选择是-bp2，其中b是常数。 数学建模7种群模型 此模型称为阻滞增长模型，是由荷兰生物数学家Verhulst在1837年提出的，又称为Logistic 模型。 当初值p(t0)=p0给定时，（3）的解为 其变化曲线见下图。 数学建模8种群模型 注意到 于是，不论初值怎样，群体规模总是小于并且趋于极限值 r/b, 这个极限值的实际意义是环境资源对该种群的最大容纳量，记 N = r/b, 则方程（3）可以写为更常见的形式 数学建模9种群模型 其中r是固有增长率，N是环境资源对该种群的最大容量。 有人曾用上述Logistic 模型对17901950 年美国人口的数量作过预测，与实际数据相当吻合，误

4、差不超过2.5%。 数学建模10种群模型1.3 可开发的单种群模型 考察一个渔场，我们要建立一个在有捕捞条件下鱼的总量所满足的方程，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量最大。 模型假设 记t时刻渔场鱼的总量为p(t)，r为固有增长率，N为环境资源允许的最大鱼量。 数学建模11种群模型 1) 在无捕捞条件下， p(t)服从Logistic 模型 2) 单位时间的捕捞量h与渔场鱼量成正比，比例系数为 k，表示单位时间捕捞率。于是 数学建模12种群模型 模型建立 ，则在有捕捞条件下渔场鱼量的增长模型为 数学建模13种群模型 模型讨论 由本问题的目标出发，我们关心的是渔场中鱼量达到稳定的平衡状

5、态时的情形，而不必知道每一时刻的鱼量变化情况，故不需要解出方程，只需要讨论方程(7) 的平衡点并分析其稳定性。 平衡点：满足 的点称为方程(7) 的平衡 点。 数学建模14种群模型解得(7) 的两个平衡点为：容易算出 : 数学建模15种群模型 称平衡点 p*是稳定的是指：对方程(7) 的任 一个解p = p (t)，恒有 判断平衡点p*是否稳定，可以通过（8）式判别，但这需要解方程（7）。 另一种判别法是根据一阶近似方程判断 ： 数学建模16种群模型 近似方程(9) 的一般解为：于是有下述结论： ，则p*是稳定平衡点。 ，则p*不是稳定平衡点。 数学建模17种群模型回到我们的问题，由于所以，

6、当k r 时， 是稳定平衡点, p0不是 ； 数学建模18种群模型 结果分析 当捕捞适度(即： k r ）时，渔场产量将减至 p1 = 0，破坏性捕捞，从而是不可持续的。 数学建模19种群模型 进一步讨论 如何控制捕捞强度k ,使得持续产量 h(p0 ) = kp0最大？ 数学建模20种群模型对应的 结论 控制捕捞强度k = r/2，使渔场产量pm保持在最大鱼量N 的一半时，可以获得最大的持续产量hm = rN / 4。 数学建模21种群模型 多种群模型 多种群模型包含相互竞争模型、相互依存模型及弱肉强食模型，前两个模型可以统一用微分方程组描述为 数学建模22种群模型 在该系统中，的不同取值便

7、决定了这两个种群的不同关系。 ， 0 ，表示该模型为种群间相互竞争模型； ， 0，则意味着该模型为种群间相互依存模型。若 0 , 则该模型可变化为弱肉强食模型，我们在这里只讨论第三种模型的建立及解的表现。 数学建模23种群模型 先介绍一些微分方程定性理论中的结论。考虑微分方程组 二元方程组 的根称为微分方程组（11）的平衡点。 数学建模24种群模型 设( x* , y* ) 是方程组（11）的一个平衡点 ,令 将P(x,y), Q (x,y) 在( x* , y* )附近展开，略去高阶项，可得近似线性系统： 数学建模25种群模型 设系数矩阵 的特征根为 1 ，2 ，则有以下结论： 1 ，2是同

8、号实数时： i 0 ( x* , y* )不是稳定点。 1 ，2是异号实数时， ( x* , y* )点不是稳定点，称为鞍点。 数学建模26种群模型 1 ，2是共轭复数时： 1 ，2 abi a 0 ( x* , y* ) 不是稳定点。 微分方程组（11）的平衡点( x* , y* )的稳定性，可以应用上述三条结论判定。 数学建模27种群模型 弱肉强食模型 弱肉强食模型，生态学 上称为食饵（Prey）捕食 者（Predater）系统，简称 为PP系统。 二十世纪20年代中期， 意大利生物学家DAncona研究鱼类种群间的制约关系。在研究过程中，他偶然注意到了在第一次世界大战时期，地中海各个港口

9、的捕鱼资料中，鲨鱼等（捕食者）鱼类的比例有明显的提高（见下表）。 数学建模28种群模型 他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学家V.Volterra，希望他能帮助建立一个PP系统的数学模型，来解释这种现象。 模型建立（Volterra模型） 设食饵数量为x1(t)，捕食者数量为x2(t) 。 年份191419151916191719181919192019211922鲨鱼比例11.921.4 22.1 21.2 36.4 27.3 16.0 15.9 14.8 数学建模29种群模型 第一步：只考虑食饵。假定大海的资源非常丰富，食饵之间不存在竞争，则x1(t) 将以固有增长率r1的速度无限

10、增长，即：x1 = r1 x1 . 第二步：考虑到捕食者的存在，食饵的增长将受到限制，设降低的程度与捕食者数量成正比 , 即： x1 = x1( r1 1 x2) (14)比例系数1 反映捕食者的捕食能力。 数学建模30种群模型 第三步：捕食者离开食饵无法生存，设其自然死亡率为r2(0)，则x2 = r2x2。而食饵为它提供食物的作用相当于使其死亡率降低， 促进了其增长。设这个作用与食饵数量成正比，于是： x2 = x2(- r2 2x1) (15) 比例系数2反映食饵对捕食者的供养能力。 方程（14）、（15）表示在正常的情况下，两类鱼相互之间的影响关系。 数学建模31种群模型模型分析 解方

11、程组 x1( r1 1 x2) = 0 x2(- r2 2 x1) = 0得到方程组（14）、（15）的平衡点为 仍用线性化的方法研究平衡点的稳定性。 数学建模32种群模型对于P1(0,0)点 , 两个特征根为异号实数，故P1(0,0)点不稳定。 数学建模33种群模型 对于 ： 特征方程为 此时，两个特征根是共轭复数，实部为0，故无法直接判断平衡点稳定性。 为分析解的渐进行为，一种变通方法是到相空间中去分析解轨迹的图形。在（14）、（15）中消去dt ，得： 数学建模34种群模型数学建模35种群模型定理当x1 , x2 0 时，方程 定义了一族封闭曲线。数学建模36种群模型P0T1T2T2T2

12、数学建模37种群模型轨线是一族以平衡点P0 为中心的封闭曲线,方向为逆时针方向（由导数符号确定）。封闭轨线对应着方程(16)的周期解, 所以P0 是不稳定的， 我们用一个周期内的平均值作为食饵与捕食者的近似值。 数学建模38种群模型模型解释 1. 捕食者死亡率的下降( r2 ), 或食饵对捕食者的供 养能力的增加 (2 ),都将导致食饵的减少 ( x1 )。 2. 食饵增长率的下降 （ r1 ），或捕食者的掠食能力的增加 (1 ),都将导致捕食者数量的减少 ( x2 )。 3. 周期性可以解释为当食用鱼大量增加时，鲨鱼由于有了丰富的食物而大量增加，从而大量的食用鱼被吞吃，数量急剧减少， 反过来造成鲨鱼的减少，而鲨鱼的减少又促使食用鱼大量增加，如此循环往复，形成周期性。 数学建模39种群模型 下面用这个模型解释为什么战争时期捕捞量下降有利于鲨鱼繁殖的问题。 设表示捕捞能力的系数为e ,则相当于食饵的自然增长率由r1 下降为r1 - e , 捕食者的死亡率由r2 增加为r2 + e 。用y