代数课程思想方法介绍和理论

1、代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论 本科的代数类课程有三门：高等代数，近世代数和初等数论 （暂且列入） 本次讲座谈谈代数课的发展历史思想方法和现代研究的方向代数课程思想方法介绍和理论 高等代数是数学专业一年级学生的专业基础课，是进入大学学习的数学专业学生的承上启下的课程；近世代数课程则是进一步研究学习近代数学的入门课程代数课程在学习和掌握其中的基础理论和基本方法的同时，更重要的是学习培养抽象思维，逻辑推理和空间直观想像这三种基本的数学思维代数课程思想方法介绍和理论 代数学是以数、多项式矩阵和它们的运算，以及群环域和模等为研究对象的学科简单地说，代数学是研究代数系统（带有一些运

2、算的集合）的下面从几个问题谈这门课程的几个方面代数课程思想方法介绍和理论一公理化方法 公理化方法是数学演绎或数学思想方法的逻辑上的严谨化发展的结果，在数学理论中的概念定义和定理命题的证明必须从一些已经被大家熟知的概念和已公认正确的结论出发，这些“约定”的概念为基本概念，“约定”公认成立的结论成为公理基本概念和公理组成的一个逻辑体系称为某一理论的公理系统基本概念公理命题定理理论体系逻辑推理代数课程思想方法介绍和理论 典型的古典平面几何立体几何 就是一个公理体系最严谨的体系是由希尔伯特在Euclid的几何原本基础之上完成的 希尔伯特的几何公理体系： 基本概念点直线和平面，三种关系：属于，介于和合同

3、于第一组结合公理（关联公理从属公理）共8条代数课程思想方法介绍和理论 对于两点A，B，存在通过这两点的直线a； 对于两点A，B，至多存在一条直线通过这两点； 每条直线上至少有两点至少存在三点不在同一 直线上； 对于不在同一直线上的三点A，B，C，存在通过三点 的平面 ，在每个平面上至少有一个点代数课程思想方法介绍和理论 对于不在同一直线上的三点A，B，C，至多 有一个平面 通过这三点； 如果直线a和两点A，B在平面 上，那么直 线a的每个点都在平面 上； 如果两个平面 ， 通过一点A，那么它们 还通过另一个点B； 至少存在四个不在同一平面上的点代数课程思想方法介绍和理论 第二组顺序公理 ，共4

4、条 第三组合同公理，共5条 第四组平行公理，只有一条 如果a是任意直线，A是不在a上的一点，那么在a 和A确定的平面上，只有一条直线通过A，且不与a相交代数课程思想方法介绍和理论 第五组连续公理，有2条 公理化的三要素：完备性 相容性 独立性 Hilbert在所著几何基础中从上述5组公理出发，纯粹按照形式逻辑，不借助其它概念，方法和直观，严格地推论出欧氏几何的全部命题，使几何学成为一纯粹的逻辑演绎体系代数课程思想方法介绍和理论 希尔伯特几何公理体系成为一个典范促使数学公理化方法的形成，对20世纪的数学起了很大的推动作用 欧氏几何中的平行公理改成罗氏公理（改成过直线外的一点可以做两条直线与该直线

5、平行），就可以得到罗巴切夫几何 数学公理化方法在中学数学教科书中也有体现，平面几何和立体几何都提出了基本概念和公理通过逻辑推理得到命题和定理代数课程思想方法介绍和理论 欧氏几何是平面几何和立体几何高等代数中的线性代数部分是Weyle于1918年用代数学中的向量空间（公理化）建立了几何学的向量结构 用集合论的观点，用公理化方法建立向量空间的理论体系： 向量空间 线性相关， 两个运算 “+”，“ ” 线性无关，坐标，基 运算法则 维数，代数课程思想方法介绍和理论 欧氏空间 实数域 上的向量空间，还有内积 长度两向量的夹角， 向量的正交性 高代课程中还有一些概念是直观定义的，没有严格公理化 如 代数

6、课程思想方法介绍和理论 公理化方法是现代数学最基本的思想方法，它深刻地影响了现代社会的思想观念社会科学中典型例子 （1）法制社会中的宪法刑法以及各种法律文件是现代社会的公理体系，由此推理演绎出的法制法规条款每一次法庭判案都可看作是由这个公理体系所做的推理过程代数课程思想方法介绍和理论（2）现代选举学是由造诣很高的数学家创立的数理理论斯坦福大学教授阿罗（1922年诺贝尔经济学奖获得者）用公理化方法研究选举法，证明了定理（阿罗不可能性定理）：绝对公平的选举系统是不存在的代数课程思想方法介绍和理论 Hilbert的一个宏伟目标是，将数学的全部理论公理化但是奥地利数学家， ，证明了任何形式化公理系统内

7、中不可判定命题的存在性这就彻底让Hilbert的计划无法实现哥维尔不完备性定理表明，任何形式系统内不足以证明所有在系统中可以作出的判断体现在选举学中就是阿罗不可能性定理代数课程思想方法介绍和理论二数系的扩充和严格公理化定义 代数在中学中的基本内容之一是数的运算整数、有理数、实数、复数，代数学中将这个体系完全建立起来了代数课程思想方法介绍和理论数的自然扩充表： 正分数 零正无理数 负数 代数课程思想方法介绍和理论 数的逻辑扩充表：负元乘法逆元有理数基本列代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论数系扩充的方法、要求原则（1）新数系较原数系在保证运算通行方面，功能更完备（2）新数系的元素

8、，以原有数系的元素为基础，以某种方式构作而成（3）原有数系整个地“嵌入”新数系，作为其子系统代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论实数有理数无理数代数数超越数代数课程思想方法介绍和理论三代数方程的根式解和群中学数学中涉及的古老数学研究的内容是解方程一元二次方程 一元三次方程求根公式为代数课程思想方法介绍和理论根为：其中 为三次单位根，（卡尔达诺公式，1545年）代数课程思想方法介绍和理论 四次方程 归结为两个二次方程的求解 （有求根公式，根式解）代数课

9、程思想方法介绍和理论 五次方程的根式解问题，经过一百多年都没有找到根式解公式 Abel（1802-1829）研究了一般情况，想证明高于四次的方程一般没有根式解，但没有最终证出只证明一些特殊情况下的结论 伽罗华理论：伽罗华研究了这个问题，发现根式解的问题与根的对称性有关系代数课程思想方法介绍和理论设 不可约的， 为其所有根构造这些根的具有有理系数 的多元多项式：构成一个环设K中元素为考虑K的自同构 代数课程思想方法介绍和理论 可以知道 K中具有性质 的所有双射成一个群，K的伽罗华群（ 的伽罗华群），它是 的子群代数课程思想方法介绍和理论定理 相应的伽罗华群是可解群伽罗华理论是伽罗华21岁时提出的

10、，论文寄给当时一流的数学家庞加莱，他没有看懂，丢在一边 4050年后，才被发现创立了群的理论，创立了近代的代数学 代数课程思想方法介绍和理论四三等分角与数域的扩充三等分角、倍方问题和化圆为方的问题被称为古希腊的三大几何作图问题几何的可作图问题被化为代数域的扩充问题来解决这方面的知识是近世代数的内容，但其中的内容经初等知识处理后，成为高中新课程中的选修课平分已知角，可用尺规作图（尺子不带刻度）三等分角，尺规来做，两千年都没能做出来，代数方法证明了尺规三等分角是不可能的代数课程思想方法介绍和理论若想谈论尺规作图不能问题，要把含直观因素的尺规作图概念进行公理化（数学模型），用代数方法解决问题尺规作图

11、是从已知一些初等几何图形，一些线段，一些点，而求出一些初等几何图形，线段，点等 即，已知平面上的一些点，要求尺规作出另一些点来代数课程思想方法介绍和理论取定某线段为单位长的坐标系，平面上的点可以用 表示这样，尺规作图问题是：已知一些实数 ，要求用尺规作图作另一些数尺规可以作出的是：若干线段之和；两线段之差；已知三线段a，b，c，可作出x，使 ；已知二线段a ，b ，作y ，使 代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论五矩阵工具的应用，向量空间中的基本方法 线性变换的具体实现是矩阵

12、对坐标的变换 中学中的线性变换：平面解析几何中平面上的旋转，关于某条直线的翻转、变换等平面上点 点 经过 变换后的象的点线性变换都是这些的 矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影，代数课程思想方法介绍和理论“线性”的直观含义：线性（矩阵）变换把平面上的直线变成直线 中学里的很多问题可以归结到线性变换，你能发现这些问题吗？用矩阵的方法来解决这些问题矩阵也是向量空间理论的基本工具向量空间是 的抽象推广，它不仅是几何空间的推广，而且还为整个数学建立了发展的空间，其抽象的模型无处不在架构：公理化定义向量空间代数课程思想方法介绍和理论 坐标： 基底：基底间的转换：坐标间的转换：代数

13、课程思想方法介绍和理论线性代数的所有问题都可归纳为向量空间理论 解线性方程组 AX=b 解释为求 b 在变换 下的原象 二次型 是 中的几何图形的方程， 维数、秩，其中的相必然的联系向量空间欧氏空间度量空间定义内积几何度量几何空间抽象的几何空间，拓扑，泛函分析代数课程思想方法介绍和理论六同构思想与映射反演方法比较两个数学对象的方法最简单的是两个三角形的全等：怎么比较，对应顶点，对应边，先建立对应、映射代数课程思想方法介绍和理论则三角形全等的形式化为：向量空间V与W同构的定义：环R与环 R 同构的定义：代数课程思想方法介绍和理论例： 上定义加法“ ”、数乘“ ” 则 是一个向量空间，且是 上一维

14、的向量空间 请同学们深刻理解此题，对数的运算法则，对数的公式都会在这个映射里代数课程思想方法介绍和理论 由于映射和一一映射的概念的建立，开辟了数学中不同分支，不同领域相互联系、相互沟通的渠道，这正是数学高度统一性的表现 映射同构及映出来的数学对象在整体上的联系，就是解决数学问题中的“关系、映射、反演方法” 代数课程思想方法介绍和理论 原象关系结构映射 映象关系结构 目标原象反演 目标映象代数课程思想方法介绍和理论？代数课程思想方法介绍和理论代数课程思想方法介绍和理论七数学结构 研究数学无非是考察对象的运算关系，次序关系和相互间的位置关系，称这些关系是数学结构 现代数学中的基本结构：代数结构，序

15、结构，和拓扑结构 代数结构：群，环，域，模，向量空间，度量空间代数课程思想方法介绍和理论序结构偏序定义：非空集合S，关系 ，称为S上偏序，若满足：（1） （自反性）；（2） （对称性）；（3） （传递性）代数课程思想方法介绍和理论对于 为a，b在 下的最小上界， 为a，b在 下的最大下界.（1）自然数按数大小排成的序：中学中出现的序. 数列的极限按此序定义.（2）实数的序（按大小顺序）代数课程思想方法介绍和理论 复数在中学中没有定义序，但也可以定义偏序（字典序）： 广义的拓扑中定义极限必须先有序代数课程思想方法介绍和理论（3）整数集中的偏序 ，定义则 为 上偏序. 其意义在于这样， 便是 上两

16、个运算符号.代数课程思想方法介绍和理论（4）集合X的子集合全体 上定义 ：则 为 上偏序，代数课程思想方法介绍和理论（5）群G的子群的全体 ，定义 ：则 为 上的偏序，代数课程思想方法介绍和理论（6） 多项式全体则 是是 中学数学中也有很多序结构，证明不等式当然是研究序结构.代数课程思想方法介绍和理论毕业论文选题的类型（1）中学数学问题（2）中学数学问题（3）数学建模问题（实际问题解决）中学理论问题（包括教学问题）中学初等问题的延伸研究创新性问题研究（有大学教学知识背景的问题深入研究）本科课程中某一理论的总结性研究课本内容中或超出课本的问题研究用课本知识解决某一创新性问题代数课程思想方法介绍和

17、理论毕业论文选题的类型 中学数学问题 中学理论问题（包括教学问题） 中学初等问题的延伸研究 创新性问题研究（有大学数学知识背景 的问题深入研究）代数课程思想方法介绍和理论 大学数学问题 本科课程中某一理论的总结性研究 课本内容中或超出课本的问题研究 用课本知识解决某一创新性问题 数学建模问题（实际问题解决）代数课程思想方法介绍和理论毕业论文参考选题（代数类） 中学数学中的问题（1）平面几何和立体几何的公理体系（教材中公理体系的处理、讨论）（2）尺规作图问题的研究 在数学模型下研究代数课程思想方法介绍和理论（3）用矩阵作工具研究平面几何中的变换（4）用矩阵作工具研究立体几何中的刚体运动（5）用同

18、构映射的思想总结研究中学数学中的“转移、反演”问题 如：平面几何中的定理与立体几何中的定理的对偶关系代数课程思想方法介绍和理论（6）数形结合思想的研究（7）在高等代数、近世代数背景下中学数学中创新性问题的研究代数课程思想方法介绍和理论 高等代数中的问题（1）用线性方程组的理论讨论空间 中多条直线和多张平面的位置关系代数课程思想方法介绍和理论（2）研究矩阵的问题 秩与维数的问题 矩阵方程的可解性 矩阵的广义逆（半群意义上） 矩阵技巧研究代数课程思想方法介绍和理论（3）向量空间中维数公式的推广研究（4）高等代数中可以公理化的定义研究代数课程思想方法介绍和理论（5）高等代数中的反例研究 （定理的逆定理不成立的反例，有些结论不成立的反例）（6）在特殊数域 上的向量空间（欧氏空间）研究（特殊性质）代数课程思想方法介绍和理论（7）欧氏空间上几何度量研究 n维多面体的体积（定义、计算） 线性流形的几何度量（定义、计算）（8）特殊的欧氏空间（Hilbert 空间、可