传热学教学课件：稳态导热

1、传 热 学（Heat Transfer）第1页，共139页。2-1 导热基本定律第2页，共139页。2-1 导热基本定律第3页，共139页。2-1 导热基本定律第4页，共139页。2-1 导热基本定律第5页，共139页。2-1 导热基本定律第6页，共139页。2-1 导热基本定律第7页，共139页。2-1 导热基本定律第8页，共139页。第二章导热基本定律及稳态导热2.1 导热基本定律2.2 导热问题完整的数学描写2.3 典型一维导热问题分析解(通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热)2.4 肋片导热的求解与应用2.5 具有内热源的导热及多维导热第9页，共139页。2-1 导热基本定律第

2、10页，共139页。2-1 导热基本定律第11页，共139页。等温面与等温线等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇。 等温面与等温线的特点：温度不同的等温面或等温线彼此不能相交。在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完 全封闭的曲面（曲线），或者就终止于物体的边界上。物体的温度场通常用等温面或等温线表示2-1 导热基本定律房屋墙角内的温度场（等温面）对称温度场（等温线）第12页，共139页。2-1 导热基本定律第13页，共139页。温度梯度(Temperature gradient ）2

3、-1 导热基本定律沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限:gradt直角坐标系下:(Cartesian coordinates)注:(a)温度梯度是向量，正向朝着温度增加的方向；等温面上没有温差，不会有热量传递；不同的等温面之间，有温差，有热量传递；grad t t j kx iyzt t (d). t t n s第14页，共139页。4. 热流密度矢量（Heatflux）直角坐标系中：热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量；当前无法显示此图像。q当前无法显示此图像。热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热流密度q2-1 导热基

4、本定律不同方向上的热流密度的大小不同q W m2 q qx i qyj qz kq qc o s 第15页，共139页。二.导热基本定律(Fouriers law of heat conduction)1822年，法国数学家傅立叶（Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 傅立叶定律。2-1 导热基本定律让巴普蒂斯约瑟夫傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768 1830），法国著名数学家、物理学家。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理 工科大学校务委员会主席，主要贡献是在研究热 的传播时创立了一套数学理

5、论。傅立叶生于法国中部欧塞尔一个裁缝家庭，8岁时沦为孤儿，就读于地方军校， 1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑 器重，回国后被任命为格伦诺布尔省省长。傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文热的传播，向巴黎科学院呈交，傅立叶在论文中推导出 著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示， 从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。1822年，傅立叶出版专著热的解析理论。傅立叶应用三角级数求解热传导方程，为了处理无穷区域的热 传导问题又导出了当前所称的“傅立叶

6、积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。傅立 叶的工作迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激 了集合论的诞生。因此，热的解析理论影响了整个19世纪分析严格化的进程。第16页，共139页。2-1 导热基本定律第17页，共139页。2-1 导热基本定律第18页，共139页。2-1 导热基本定律第19页，共139页。2-1 导热基本定律注：傅立叶定律只适用于各向同性材料;各向同性材料：热导率在各个方向是相同的。导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温度 梯度，方向与温度梯度相反。q -grad t Wm2 : 热导率（导热

7、系数）（Thermal conductivity）W(m C)直角坐标系中：t ttq qxi qy j qz k x i y j z kxyzq t ;q t ;q txyz第20页，共139页。有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层金属 板，其导热系数随方向而变化 各向异性材料各向异性材料中：xx xx yx zyy xy yy zzz xz yz z t t t q x t y t z t q x t y t z t q x y z2-1 导热基本定律第21页，共139页。3.热导率(Thermal conductivity) 物质的重要热物性参数热导率的数值表征物质导热能

8、力大小，可由实验测定。影响热导率的因素：物质种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。热导率的相对大小：q-g radt热导率的物理意义：物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量 W(m C ) 。2-1 导热基本定律金属 非金属;固相液相 气相第22页，共139页。不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同(1) 气体的热导率 0.0060.6 W(mC)气体0 C : 0.0244W (m C) ;20 C :空气空气 0.026 W(m C)2-1 导热基本定律气体导热机理：分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递。第23页，共139页。2-1 导热基本定律温度对气体热导率的影

9、响t气体第24页，共139页。(2)液体的热导率液体导热机理：主要依靠晶格的振动。晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点阵。 0 .07 0 .7 W(mC )液体20 C : 0.60 W(mC);30 C : 0.62 W(m C)水水温度对液体导热系数的影响？2-1 导热基本定律晶体晶格第25页，共139页。2-1 导热基本定律温度对液体热导率的影响t甘油绝大部分液体水第26页，共139页。(3)固体的热导率纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动（主要依靠前者）。 金属导热与导电机理一致，故良导电体为良导热体。a 金属的热导率： 12418 W(mC)金属银 铜 金 铝

10、T 晶格振动的加强干扰自由电子运动10K:Cu 12000 W(mC)15K : Cu 7000 W(mC)2-1 导热基本定律第27页，共139页。b 非金属的热导率：非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；数值变化范围大，在液体和气体之间。例如建筑隔热保温材料： 0.0253 W(m C)T 大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构。 多孔材料的热导率与密度和湿度有关 、湿度 2-1 导热基本定律第28页，共139页。2-1 导热基本定律导热系数对温度的依变关系第29页，共139页。第二章导热基本定律及稳态导热2.1 导热基本定律2.2 导热问题完整的数学描写2.3 典型一维导热问题分析解

11、(通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热)2.4 肋片导热的求解与应用2.5 具有内热源的导热及多维导热第30页，共139页。2-2 导热问题的数学描写傅立叶定律：确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:q -grad t Wm2 t f ( x,y,z, )确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务。2-2-1 导热微分方程式导热问题完整数学描写：导热微分方程+单值性条件第31页，共139页。定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导 热物体中的温度场应满足的数学表达式，称为导 热微分方程。假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质热导率、比热容和密度均为已知物体内具有内热源；强

12、度qv W/m3;内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热体在 单位时间内放出的热量2-2-1 导热微分方程式第32页，共139页。一、导热体内取一微元体热力学第一定律：Q=UWQ ：微元体与环境交换的热 ：微元体热力学能（内能）的增量W ：微元体与环境交换的功W = 0, Q = U2-2-1 导热微分方程式第33页，共139页。2-2-1 导热微分方程式d 时间内微元体中：导入与导出净热量+ 内热源发热量= 热力学能的增加导入与导出净热量Q = U导入与导出净热量Q内热源发热量第34页，共139页。dQx= qx dydzdJd 时间内、沿x 轴方向、 经x+dx 表面导出的热量：dQx+

13、dx= qx+dx dydz dJxxdxqqxdx qx d 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：1、导入与导出微元体的净热量d 时间内、沿x 轴方向、 经x 表面导入的热量：Jx qxdxdydz dxdQ dQxdx2-2-1 导热微分方程式第35页，共139页。d 时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：xqxdQx dQxdx dxdydz dy qy dxdydz ddQ dQyy dyzqdQz dQz dz zdxdydz d导入与导出净热量:xyzqz )dxdydz

14、dqy1 ( qxJJJJ2-2-1 导热微分方程式第36页，共139页。2-2-1 导热微分方程式导入与导出净热量:傅里叶定律：xxq tyyq tzzq txyzqz )dxdydz dqy1 ( qx1 ( t ) ( t ) ( t )dxdydzdxxyyzzJJ第37页，共139页。2-2-1 导热微分方程式导入与导出净热量内热源发热量热力学能的增加2、 微元体内热源的发热量d时间内微元体中内热源的发热量：2 qvdxdydz d3、微元体热力学能的增量Jd 时间内微元体中热力学能的增量：3 mcdt dxdydz c td3 c t dxdydz d导入与导出净热量+ 内热源发热

15、量 =热力学能的增加第38页，共139页。2-2-1 导热微分方程式2 qvdxdydz d3 ct dxdydz dvc t( t ) ( t ) ( t ) qxxyyzz由1+ 2= 3：导入与导出净热量+ 内热源发热量= 热力学能的增加1+2=31 ( t ) ( t ) ( t )dxdydzdxxyyzz第39页，共139页。2-2-1 导热微分方程式笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。vc t ( t ) ( t ) ( t ) qxxyyzz非稳态项源项扩散项导热微分方程式第40页，共139页。2-2-1 导热微

16、分方程式若物性参数、c 和 均为常数：式中， a /( c)-热扩散率，m2/s.（Thermal diffusivity）vc t ( t ) ( t ) ( t ) qxxyyzzqc a t vt2) v a(x2y2z 2ct2t2t2tq或2 拉普拉斯算子热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ）与 沿途物质储热能力（ c ）之间的关系。简化该式：第41页，共139页。2-2-1 导热微分方程式热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度 趋向于均匀一致的能力。在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体 内部各处的温度差别越小。a木材=1.5107 m2/s ,a铝= 9.

17、45105 m2/s ，a铝 / a木材 600a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量a /( c)第42页，共139页。2-2-1 导热微分方程式若物性参数均为常数，且无内热源 a()t2t2t2tx2y2z2t2 a t或 vc t ( t ) ( t ) ( t ) qxxyyzz简化该式：若物性参数均为常数，且无内热源 ，稳态导热若物性参数、c 和 均为常数：vct a(2t2t2t) qv或t a2t qx2y2z2c2t2t2t 0 x2y2z22t 0或第43页，共139页。几点讨论：(1) 若物性参数 、c 和 均为常数： 热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力

18、（ ）与沿 途物质储热能力（ c ）之间的关系。 a 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分一旦获 得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向 于均匀一致的能力。2 v ; v a()tt2t 2t 2t qor a tqx2y2z2ccca 热扩散率（导温系数） m2 s（Thermal diffusivity）2-2-1 导热微分方程式第44页，共139页。 a 反应导热过程动态特性，研究非稳态导热重要物理量。 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的 温度差别越小。a1.5107 m2s，a 9.45105 m2s木材

19、铝a铝 1600a木材2-2-1 导热微分方程式第45页，共139页。2-2-1 导热微分方程式二、其他坐标下的导热微分方程z k )r ir jq gradt t ( t 1t t1. 对于圆柱坐标系 （r, , z）x = r cos ; y = r sin ; z = zvr 2zzr rrc t 1(r t ) 1(t ) ( t ) q第46页，共139页。2-2-1 导热微分方程式2. 对于球坐标系（r, , ）x = r sin cos ; y = r sin sin ; z = r cos1tr sin k )r ir jq gradt t ( t 1t v11r 2( t )

20、 qr 2 sin2 ( sin t ) r 2 sin (r 2 t ) rrc t1第47页，共139页。温度梯度(Temperature gradient ）2-1 导热基本定律grad t t j kx iyzt t 热流密度矢量（Heatflux）导热微分方程式qc a t vt2) v a(x2y2z 2ct2t2t2tq或第48页，共139页。2-2-1 导热微分方程式三、导热过程的单值性条件导热微分方程式的理论基础： 傅里叶定律+ 热力学第一定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条

21、件的唯一解单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件， 包括四项：几何、物理、初始、边界完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件第49页，共139页。几何条件说明导热体的几何形状和大小如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。物理条件如：物性参数 、c 和 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。说明导热体的物理特征时间条件说明在时间上导热过程进行的特点稳态导热过程不需要时间条件 与时间无关对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布时间条件又称为初始条件（Initial conditions）t 0f( r )2-2-2 导热过程的单值性条件第50页，共139页。2-2

22、-1 导热微分方程式及定解条件第51页，共139页。2-2-1 导热微分方程式及定解条件第52页，共139页。2-2-1 导热微分方程式及定解条件第二类边界条件相当于已知任何时刻 物体边界面法向的温度梯度值。稳态导热：非稳态导热：qw constq wf ( )w特例：绝热边界面： q t 0 t 0 n n ww第53页，共139页。2-2-1 导热微分方程式及定解条件第54页，共139页。2-2-1 导热微分方程式及定解条件第55页，共139页。四、导热过程的求解方法导热微分方程式的求解方法:积分法、杜哈美尔法、格林函数法、拉普拉斯 变换法 、分离变量法、积分变换法、数值计算法导热微分方程

23、单值性条件求解方法温度场2-2-1 导热微分方程式及定解条件第56页，共139页。2-2-1 导热微分方程式及定解条件五、傅里叶定律及导热微分方程的适用范围第57页，共139页。第二章导热基本定律及稳态导热2.1 导热基本定律2.2 导热问题完整的数学描写2.3 典型一维导热问题分析解(通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热)2.4 肋片导热的求解与应用2.5 具有内热源的导热及多维导热第58页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热通过本节的学习，学生需了解求解传热问题的基本步骤：建立导热微分方程和相应的定解条件求解导热微分方程，得到温度分布；根据要求，求传热量

24、。对于稳态导热问题，如果不要求温度分布，也可直接求 传热量。导热微分方程的获得，可以由两种方法：从通用微分方 程式出发，或取微元体，用能量平衡。关心的问题：温度分布、传热量的计算、传热热阻第59页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第60页，共139页。xxyyzzc t ( t ) ( t ) ( t ) ox单值性条件：a 几何条件：单层平板；b 物理条件：、c、 已知；无内热源c 时间条件： 稳态导热: t 0d 边界条件：第一类2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热一、通过平壁的导热由直角坐标系导热微分方程：第61页，共139页。2-3通过平壁、

25、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热xxyyzzc t ( t ) ( t ) ( t ) 第62页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第63页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第64页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况第65页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第66页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第67页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第68页，共139页。2-3通过平壁

26、、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第69页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第70页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第71页，共139页。第一层：1211211t t q 1q (t t )第二层：2232322(t t )t t q 2q 第 i 层：iii 1iii 11t)t t q iq i (tt1t2t3t4t1t4t2t3三层平壁的稳态导热2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第72页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第73页，共139页。21f 1ht tq nif 21i

27、1hi 1 W m2 单位：f1t2t3tf2t1t2t3t2三层平壁的稳态导热h1h2tf2tf1？ 多层、第三类边截条件： t传热系数如何表达？2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第74页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第75页，共139页。例12-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第76页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第77页，共139页。当圆筒壁的外半径小于长度的1/10，可认为圆筒壁只存在径向导热。(1)单层圆筒壁稳态导热问题的分析方法：1)单层圆筒壁的导热2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变

28、截面物体的导热第78页，共139页。r r )( t ) ( t ) r2 zzr rc t 1 (t 1一维、稳态、无内热源、常物性圆筒壁 导热微分方程为：t tw12w2r r 时t t第一类边界条件： r r1时d(r dt ) 0 drdr(a)(2)单层圆筒壁稳态导热温度场求解：由圆柱坐标系导热微分方程：2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第79页，共139页。对上述方程(a)积分两次:211t cln r cr dt cc2 ;tw2 c1 ln r2 c2drtw1 c1 ln r1ln r1211ln( r2r1)ln( rr )w2w1t);c2 tw1 (tt

29、w2 tw1c第一次积分第二次积分应用边界条件获得两个系数11ln( rr )ln( r2r1)t2 t1t t将系数带入第二次积分结果显然，圆筒壁温度场呈对数曲线分布。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第80页，共139页。圆筒壁内温度分布：21ln( rr ) ln( rr1 )w2t tw1 (tw1 t2121dr2ln(rr ) r 2drln(rr ) r1d 2tt t1 w1w2 dtt t w1w2 ; 课堂讨论：圆筒壁内温度分布曲线的形状？0向上凹若tw1 tw2 :dr2d 2td 2t若tw1 tw2 :dr 2 0向上凸2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其

30、它变截面物体的导热第81页，共139页。(3)圆筒壁内部热流密度和热流分布情况: W m2 q dt tw1 tw221drr ln(rr )ln(r2r1 ) 2 l 2 rlq tw1 tw2R tw1 tw2ln( r2r1 )ln( rr1 )dt tw1 tw2 1w2t tw1 (tw1 tdrln(rr ) r21虽然是稳态情况， 但热流密度 q 与半 径 r 成反比！2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热ln(r2r1)l 2 rqr2ttw1w2 tw1 tw2W长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻W/m单位长度圆筒 壁的导热热阻第82页，共139页。2）多层圆筒壁由

31、不同材料构成的多层圆筒壁，其导 热热流量可按总温差和总热阻计算。WWm11i1 niilqniirln ri1tw1 tw( n1) 2i1rln ri1tw1 tw( n1) 2 L通过单位长度圆筒壁的热流量2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第83页，共139页。ln 2f 22 2w2l r 2w1w2l1 1f 1w1l r11rt t t) q q 2r h (t t)2r1q 2r h (tWmln 2lRlt f 1t f 2 t f 1t f 2q1r1h2 2r211r h1 2r12h1h2 第三类边界条件下的圆筒壁稳态导热问题：单层圆筒壁：多层圆筒壁：1 n

32、lln i 1didt f 2t f 1q1h2dn11h1d1i 1 2i2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第84页，共139页。例 2导线中允许通过的最大电流2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第85页，共139页。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第86页，共139页。球壳的稳态导热问题自己推导。2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热第87页，共139页。作业：2-1，2-2，2-11，2-17，2-25，2-28，2-33第二章导热基本定律及稳态导热第88页，共139页。第二章导热基本定律及稳态导热2.1 导热基本定律2.2 导

33、热问题完整的数学描写2.3 典型一维导热问题分析解(通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热)2.4 肋片导热的求解与应用2.5 具有内热源的导热及多维导热第89页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用由第三类边界条件下平壁的一维稳态导热公式：Wt f 1 t f 2 1 1h1 AAh2 A为了增加传热量，可以采取哪些措施?增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制。减小热阻：金属壁一般很薄( 很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略；增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的；增大传热面积 A 也能增加传热量！第90页，共139页。在一些传热设备中，在传热面上加装肋片是增大传热

34、量的重要手段。2-4肋片导热的求解与应用第91页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第92页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面第93页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用三、主要研究问题第94页，共139页。1、通过等截面直肋的导热已知：矩形直肋；肋跟温度为t0，且t0 t ；肋片与环境的表面传热系 数为 h；，h和Ac均保持不变； 求：温度场 t 和热流量 。2-4肋片导热的求解与应用第95页，共139页。分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热源、常物性、第三类边界条件的导热问题。但由于三维问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础 上

35、，将问题简化为一维问题。简化：(a)宽度 l 与 H肋片长度方向温度均匀l = 1；(b) 大、 H，认为温度沿厚度方向均匀；边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流传热 求解：这个问题可以从两个方面入手：导热微分方程能量守恒Fourier law2-4肋片导热的求解与应用第96页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第97页，共139页。能量守恒：dx xdxxc dxFourier 定律： Adtd x xd xd d x 2d 2 td x x Ac x x d xNewton冷却公式： d h(Pdx )(t t )2dthP(t t) 0cdx 2A关于温度的二阶非 齐次常微分方

36、程2-4肋片导热的求解与应用求解过程：一阶泰 勒展开第98页，共139页。(t t) 0d 2t hPcdx2A等截面直肋的导热微分方程：混合边界条件：x H时， x 0 时， 0 t0 t d 0d x引入过余温度 t t及m hP constAc2m dx2则方程可化为： d2 2-4肋片导热的求解与应用第99页，共139页。方程的通解为：mx ce mx21 c eemHemHemHemHc2 0 emH应用边界条件可得：c1 0 emH00ch(mH )em ( H x ) e m ( H x )emH emH chm(H x) 最后可得等截面内的温度分布：ex ex ex exex

37、exex ex;th(x) ;ch(x) sh(x) 22双曲余弦函数双曲正切函数双曲正弦函数2-4肋片导热的求解与应用22d dx2 m 双曲余弦函数第100页，共139页。稳态条件下：肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量mdxc00 x0 Ad A m th(mH ) hP th(mH )2-4肋片导热的求解与应用肋端过余温度： 即 x Hch(mH ) chm(H x)00emH emHem ( H x ) e m ( H x ) 第101页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用总结：Ac 为截面积； P为周长。第102页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第103页，共1

38、39页。2-4肋片导热的求解与应用第104页，共139页。 几点说明：(1)上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一 般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端 散热，取：Hc=H + /2(2)上述分析近似认为肋片温度场为一维。当 Bi=h/ 0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维 温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数 h不是均匀一致的 可采用数值计算。2-4肋片导热的求解与应用第105页，共139页。假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量0实际散热量肋片效率2、肋片效率为了从散热的角度评价加装肋片后传热效果，引进肋片效率fm0fth ( m

39、H)0hPHhP th ( mH)l hP Acm 2hH 3 2HmHhP H h2l H AclP 2lmH2-4肋片导热的求解与应用第106页，共139页。31H 3 2H 2 2h2mH2hH H AL肋片的纵剖面积，则可见，肋片效率与参量有关，其关系曲线如图2-19、2-20所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用(2-41)计算，而直接由图查出 f 。然后，散热量3 AL 1AL 2h H 2 f h ( PH ) (t0 t )影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、肋片表面与周围介 质之间的表面传热系数h、肋片的几何形状和尺寸（P、A、H）。2-4肋片导热的求解与应用mHm00f

40、th ( mH)hPH hP th ( mH)第107页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用mHm00f th ( mH)hPH hP th ( mH)第108页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第109页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第110页，共139页。等截面直肋的效率曲线2-4肋片导热的求解与应用图219第111页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用3、通过环肋及三角形截面直肋的导热为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变， 需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。第112页，共139页。对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热

41、 量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋，利用肋片效 率曲线来计算。书中图2-19和2-20分别给出了三角形直肋和矩形 剖面环肋的效率曲线。2-4肋片导热的求解与应用3、通过环肋及三角形截面直肋的导热第113页，共139页。等截面直肋和三角形肋片的效率曲线2-4肋片导热的求解与应用图219第114页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用图220环肋片的效率曲线第115页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第116页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第117页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第118页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第119页，共139页。2-4

42、肋片导热的求解与应用5. 肋面总效率第120页，共139页。四、 通过接触面的导热实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容 易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触 给导热带来额外的热阻。当界面上的空隙中充满导热系 数远小于固体的气体时，接触 热阻的影响更突出。当两固体壁具有温差时，接合 处的热传递机理为接触点间的 固体导热和间隙中的空气导热， 对流和辐射的影响一般不大。 接触热阻(Thermal contact resistance）2-4肋片导热的求解与应用第121页，共139页。 几点结论：当热流量不变时，接触热阻 rc 较大时，必然在界面上产生 较大温差

43、；当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 rc的增大而下降；即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大，界面上的温差 是不容忽视的。ABcAA Bt1t 3qr13)cAABt t q ( A r B2-4肋片导热的求解与应用由接触热阻的传热公式：第122页，共139页。 t q r 158.4 Ccc接触热阻的影响因素：（1）固体表面的粗糙度（3）接触面上的挤压压力例如：（2）接触表面的硬度匹配（4）空隙中的介质的性质在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要：导热姆（导热油、硅油）、银粉末；先进的电子封装材料 （AIN），导热系数达400以上。q 6 105 Wm 2cr 2.64 10 4

44、 m 2 KW2-4肋片导热的求解与应用第123页，共139页。2-4肋片导热的求解与应用第124页，共139页。第二章导热基本定律及稳态导热2.1 导热基本定律2.2 导热问题完整的数学描写2.3 典型一维导热问题分析解(通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物体的导热)2.4 肋片导热的求解与应用2.5 具有内热源的导热及多维导热第125页，共139页。2-5 具有内热源的导热及多维导热第126页，共139页。1. 具有内热源的导热2-5 具有内热源的导热及多维导热如图所示，一无限大平板中具有均匀的内热源 ，其两侧同时与温度为tf 的流 体对流传热，表面传热系数h，现在要确 定平板中任一 x

45、处的温度及通过该处截面的热流密度。tf hx0tf htf hxt0t对称边界的处理？第127页，共139页。tfhxt0 xdx2 0dxd2t控制方程:边界条件:x 0 x x2 c1x c2 h(t tf )dt 0dxdtdx第几类？第几类？积分两次： t 2应用边界条件：c1 02h 2 c2 tf 2-5 具有内热源的导热及多维导热xxyyzzc t ( t ) ( t ) ( t ) 第128页，共139页。122t x c x c2c1 0c2 htf 2 2 与无内热源的一维稳态平板导热相比:温度呈二次曲线分布，热流密度不是常数。2-5 具有内热源的导热及多维导热f22h x ) tt (2q xdx dt xq dxdt第129页，共139页。2、二维稳态导热二维、常物性、无内热源导热问题的控制方程：上面方程的求解方法：分析解法（简单形状、线性边界条件），常用分离变量法数值计算（复杂形状、复杂边界条件）利用导热形状因子（工程计算、两个边界的温度恒定）2-5 具有内热源的导热及多维导热第130页，共139页。(1)分析解法（简单