2021年高考北师版(理科)数学一轮复习讲义：第7章第4节垂直关系

1、第四节垂直关系考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中 线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 间图形的垂直关系的简单命题.抓基础自主学习|知识植理i/i1.直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意二条直线都垂直，那么称这条 直线和这个平面垂直.(2)定理(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直 线叫作二面角的忆 这两个半平面叫作二面角的面(2)二面角的度量 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在 两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线、 这两条射线所成的角叫作二面角的平 面角.平面角

2、是直角的二面角叫作直二面角.3.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面 互相垂直.定理文字语百如果一个平闻经过另一个半闻判定的垂线,那么这两个平面互相垂定理直两个平闻垂直，那么一个半闻内性质垂直于交线的直线与另一个平定理面垂直符号语言l X a? al. 0l BaX 0l BaA 0= ala学情自测.(思考辨析)判断以下结论的正误.(正确的打“，错误的打X ) TOC o 1-5 h z (1)直线l与平面a内的无数条直线都垂直，那么l，a()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)假设两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行.(

3、)(4)假设两个平面垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()答案(1)X (2)X (3)X (4)X.(教材改编)设%B是两个不同的平面，l, m是两条不同的直线，且la, m 0()A .假设U 3那么al. BB.假设a B,那么UmC .假设l / 3那么all BD.假设all &那么l / mA UB, l a, a，氏面面垂直的判定定理)，故A正确.（2021浙江高考）互相垂直的平面 % B交于直线1,假设直线m, n满足 ml/ % n 3 那么（）A. m / 1B . m / nC. n1D. mnC aA 0= 1, 10; n & n1.4.如图7-

4、4-1, PAL平面 ABC, BCXAC,那么图中直角三角形的个数为图 7-4-14 PAL平面 ABC, PAXAB, PAX AC, PAXBC,那么PAB, PAC为直角三角形.由 BCXAC,且 ACAPA=A,.BCL平面 PAC,从而 BCXPC.因此 ABC, APBC也是直角三角形.5.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，那么折叠后 AC 的长为.【导学号:57962336】a 如下图，取BD的中点O,连接AO,CO,那么/AOC是二面角A BD-C 的平面角.即/AOC=90,又 AO = CO = a, . A C =a2a22+万=a,即折叠后AC的长(A

5、C)为a.明考向题型突破|.上一.线面垂直的I考向1 I促与性质一卜例口 如图7-4-2,在三棱锥A-BCD中，AB，平面BCD, CDXBD.D图 7-4-2(1)求证：CD，平面ABD;(2)假设AB=BD = CD=1, M为AD中点，求三棱锥 A-MBC的体积.解(1)证明：因为AB，平面BCD, CD 平面BCD, TOC o 1-5 h z 所以ABLCD.2分又因为 CDXBD, ABABD = B,AB 平面ABD, BD 平面ABD,所以CD,平面ABD.5分(2)由 ABL平面 BCD,得 ABXBD.1 C 1又 AB= BD = 1,所以 Saabd= 2/3,由余弦定

6、理得 CD2=DB2+ BC2-2DB BCcos 30 = 3,所以 CD2+DB2=BC2,即 CDXAO.8 分因为PDL平面ABC, CD 平面ABC,所以PDXCD,由PDA AO=D,得CD,平面FAB,又PA 平面PAB,所12分以 PAX CD.|考向2 |面面垂直的判定与性质例（2021郑州调研）如图7-4-4,三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,分别为AC, BC的中点.图 7-4-4求证：BD/平面FGH;(2)彳贸设CFBC, ABXBC,求证：平面 BCD,平面EGH.证明(1)如下图，连接DG, CD,设CDAGF=M, 连接MH.在三棱台DEF-ABC中，AB=

7、 2DE, G为AC的中点，可得 DF / GC, DF = GC,所以四边形DFCG为平行四边形.那么M为CD的中点，又H为BC的中点，所以 HM / BD,由于HM 平面FGH, BD7平面FGH ,故BD/平面FGH.(2)连接 HE, CE, CD.因为G, H分别为AC, BC的中点，所以 GH / AB.由 ABXBC,得 GHXBC.又H为BC的中点，所以 EF/ HC, EF = HC,因此四边形EFCH是平行四边形，所以 CF / HE.由于CFXBC,所以HEXBC.又 HE, GH 平面 EGH, HEAGH = H.所以BCL平面EGH.又BC 平面BCD,所以平面BC

8、D，平面EGH.12分规律方法1.面面垂直的证明的两种思路：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条 垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明 面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.垂直问题的转化关系：II判定 判定 3线线垂直告线面垂直二亍面面垂直T 性.度性豆性窟|变式训练2 如图7-4-5,在三棱锥P-ABC中，平面PAB，平面ABC,PA的中点.图 7-4-5PAXPB, M, N 分别为 AB,(1)求证：PB/平面MNC;(2)假设AC=BC,求证：PAL平面MNC.证明(1)因为M, N分别为AB, PA的中点，

9、所以MN/PB,2分又因为MN 平面MNC, PB?平面MNC,5分7分10分所以PB/平面MNC.(2)因为 PAXPB, MN/PB,所以 PAXMN. 因为 AC=BC, AM = BM,所以 CMXAB.因为平面PABL平面ABC,CM 平面ABC,平面PABA平面ABC=AB.所以CM,平面PAB.因为PA 平面PAB,所以CMXPA.12分又MNACM = M,所以PAL平面MNC.1考向3|I：门 事平行与垂直的综合问题?角度1多面体中平行与垂直关系的证明卜例奥(2021江苏高考)如图7-4-6,在直三棱柱ABC-AiBiCi中，D, E分 别为AB, BC的中点，点F在侧棱Bi

10、B上,且BiDLAiF, AiCiXAiBi.图 7-4-6求证：(i)直线DE/平面AiCiF；(2)平面 BiDEL平面 AiCiF.证明(i)在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AiCi / AC.在 ABC中，因为D, E分别为AB, BC的中点， TOC o 1-5 h z 所以 DE /AC,于是 DE/AiCi.3 分又因为DE?平面AiCiF, AiCi 平面AiCiF,所以直线DE /平面AiCiF.5分(2)在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AiAL平面 AiBiCi.因为AiCi 平面AiBiCi,所以AiAXAiCi.7分又因为 AiCiXAiBi, AiA 平面

11、 ABBiAi, AiBi 平面 ABBiAi, AiAAAiBi = Ai,所以 AiCi，平面 ABBiAi.因为BiD 平面ABBiAi,所以AiCiXBiD.i0分又因为 BiDXAiF, AiCi 平面 AiCiF, AiF 平面 AiCiF, AiCiAAiF=Ai, 所以BiD，平面AiCiF.因为直线BiD 平面BiDE,所以平面BiDEL平面AiCiF.i2分规律方法i.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进展线线、线面、 面面垂直间的转化.2.垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.?角度2平行垂直中探索开放问题(2021秦皇岛调研)如图7-4-7

12、(1)所示,在RtzXABC中,/C = 90,D, E分别为AC, AB的中点，点F为线段CD上的一点，将 ADE沿DE折起到AiDE的位置,使AiFXCD,如图7-4-7(2)所示.(1)(2)图 7-4-7求证：AiFXBE;线段AiB上是否存在点Q,使AiC,平面DEQ?并说明理由.【导学号：57962337证明(i)由，得 ACLBC,且 DE/BC.所以 DELAC,那么 DELDC, DEXDAi,因为 DCADAi = D,所以DEL平面AiDC.2分由于AiF 平面AiDC,所以DELAiF.又因为 AiFCD, CDADE = D,所以AiF，平面BCDE,又BE 平面BC

13、DE,所以AiFBE.5分线段AiB上存在点Q,使AiC,平面DEQ.6分理由如下：如图，分别取AiC, AiB的中点P, Q,连接PQ,那么PQ/ BC.又因为DE / BC,那么DE / PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.9分由(1)知，DE，平面AiDC,所以 DELAiC.又因为P是等腰三角形DAiC底边AiC的中点，所以 AiCXDP.又 DPA DE=D,所以AiC，平面DEQP.从而AiC，平面DEQ.故线段AiB上存在点Q,使得AiC，平面DEQ.i2分规律方法i .对命题条件探索性的主要途径：(i)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索

14、出命题成立的条件，再证明充分性.2.平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜想点的位置再 给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个， 也可以根据相似 知识建点.I考问4|一线面角的求法与应用1一四一(202i浙江高考)如图7-4-8, 三棱台ABC-DEF中，平面BCFE，平(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.解(i)证明：延长AD, BE, CF相交于一点K,如下图.i分因为平面BCFE，平面ABC,且 ACXBC, TOC o 1-5 h z 所以AC,平面BCK,3分因此，BFXAC.又因为EF/BC, BE=EF = FC=1, BC=2,所以4BC

15、K为等边三角形，且 F为CK的中点，那么BFXCK.所以BFL平面ACFD.5分(2)因为BFL平面ACK,所以/BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分在 RtABFD 中，BF=3, DF = |,彳# cos/ BDF=p,所以直线 BD 与平面ACFD所成角的余弦值为 零.12分规律方法1.利用综合法求空间角的步骤：(1)找：根据图形找出相关的线面角或二面角.(2)证：证明找出的角即为所求的角.(3)算：根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角.2.线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要 把线面角转化到一个三角形中求解.变式训练3 如图7-4-9,在四棱锥P

16、-ABCD中，PAL底面ABCD,ABAD, ACXCD, /ABC=60, PA=AB=BC, E 是 PC 的中点.图 7-4-9求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE，平面PCD.解在四棱锥P-ABCD中，. FA，底面 ABCD, AB 平面 ABCD,故 FALAB.又 ABLAD, PAAAD=A,从而AB，平面PAD,2分故PB在平面FAD内的射影为FA,从而/ APB为PB和平面PAD所成的角.在 RtzXPAB 中，AB=PA,故/APB=45.PB和平面PAD所成的角白大小为450.5分证明：在四棱锥P-ABCD中，. PA，底面 ABCD, CD 平面 ABCD,故 CDXPA.由条件 CDXAC, PAAAC = A,CD,平面 PAC.7 分又 AE 平面 PAC, a AEXCD.由 PA=AB=BC,/ABC = 60,可得 AC=PA.E是PC的中点,AEXPC.10 分又 PCn CD=C,故AEL平面PCD.12分名喊微博多思想与方法1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a与a内任一直线都垂直？ a a；m, n a, mA n=A(2)判定定理1 :? U a；Um, ln(3)判定定理