55定积分的应用96432课件

1、平面图形的面积立体的体积经济应用问题5.4 定积分的应用1第1页，共21页。o正、负号不定.o5.4.1 平面图形的面积o2第2页，共21页。X-型区域Y-型区域o3第3页，共21页。若在区间上不满足则面积的计算公式若由两条连续曲线及直线所围成的平面图形的面积为4第4页，共21页。 设椭圆在第一象限部分的面积为解则整个椭圆的面积为例2. 求椭圆所围图形的面积.其中例1.计算 在上与轴所围成的平面图形的面积解S5第5页，共21页。例3 求曲线直线图形的面积.所围成的平面解：由于图形关于轴对称，从而小块图形面积的两倍，所以所求面积S是第一象限内两两曲线焦点的横坐标为6第6页，共21页。(平方单位)

2、7第7页，共21页。画草图.取 x 为积分变量，练习.所围成图形的面积.计算由解 得交点 (0, 0) 和 (1, 1)解方程组另解.取 y 为积分变量，积分区间为0,1，积分区间为0,1，18第8页，共21页。画草图.得交点取y 为积分变量, 计算抛物线与直线所围成图形的面积.例4解.由所求面积为:积分区间为-2, 4.-24-4取x为积分变量, 积分区间为0, 8.9第9页，共21页。微元分析法：5.4.2 立体的体积微元分析法的具体步骤：1.设U是与某个变量x的变化区间有关的量;U对于区间具有可加性，其中任一个记为相应与小区间的部分量若可近似的表示其中在x点连续,且则称为量U的微元，记作

3、即3.则所求量建立所求量的定积分表达式.2.分成若干区间;即将区间10第10页，共21页。1、平行截面面积为已知的立体的体积设一立体界于过点 x = a , x = b 且垂直于 x 轴的两平面之间,求该立体的体积.取 x 为积分变量,积分区间为所求体积为:连续函数，且垂直于 x 轴的截面面积 A(x) 为 x 的过任意点A(x)11第11页，共21页。2、旋转体的体积 都是旋转体.球体圆台体圆柱体圆锥体就是由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.旋转体:12第12页，共21页。1. 求由 绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积V.围成的曲边梯形,2. 由 绕 y 轴

4、旋转一周围成的曲边梯形,取 x 为积分变量,积分区间为而成的立体的体积为:13第13页，共21页。 a=b 时, 得半径为 a 的球体的体积:(旋转椭球体) 的体积.计算由椭圆例1.解分别绕 x 轴与 y 轴旋转产生的旋转体由对称性知，所求体积为：同理14第14页，共21页。例2 求由直线与曲线所围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积.解所求旋转体的体积等于及x轴围成图形绕x轴旋转所产生的旋转体的体积减去由曲线直线及x轴围成图形绕x轴旋转所产生旋转体的体积由直线15第15页，共21页。例3. 求圆形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积.解. 所求体积为:yxo-4415习题32(4)16第

5、16页，共21页。例4.一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解取平面与圆柱体的底面的交线为 x 轴,底面上过圆中心且垂直于 x 轴的直线为 y 轴,则底圆的方程为立体中过点 x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形,两条直角边的长分别为:截面面积(习题34)17第17页，共21页。5.4.3 经济应用问题总成本函数:边际成本:总收益:边际收益:总成本函数:(其中总收益:边际成本:边际收益:总利润:边际利润:边际利润:总利润:18第18页，共21页。例1 已知某产品总产量的变化率是时间 t (单位：年)的函数求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少？解： 设总产量是 F ( t ) ，是变化率 f ( t ) 的原函数，所以第一个五年和第二个五年的总产量分别为19第19页，共21页。例2、某商品日产量为x单位时，固定成本为20元,边际成本为 (元/单位)，求总成本函数 若销价为 18 元/单位，且产品可全部销出，求总利润函数 并问日产量为多少时才能获得最大利润 。解：又总收益所以由得而所以日产量为40单位时才能获得最大利润 , 最大利润为20第20页，共21页。2.已知贴现率求现金流量的贴现值现值法：把不同时间内的货币换算成它的“现在”值.设时间t离散取值，t=0,1,2,一般取年作为时间单