2021年高考北师版(理科)数学一轮复习：第7章第4节课时分层训练41垂直关系

1、课时分层训练（四十一）垂直关系A组根底达标（建议用时：30分钟）一、选择题（2021西安六校联考）m和n是两条不同的直线，a和B是两个不重合的 平面，下面给出的条件中一定能推出 m，B的是（）A . aX 0且 m aaX 0 且 m / am/ nH n pmn 且 a/ BC 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确. （2021天津河西模拟）设l是直线，a, B是两个不同的平面，那么以下说 法正确的选项是（）A.假设l / %l / 就那么all BB.假设l / %l X p,那么aX BC .假设aX B,l X o,那么l / BD.假设aX &l / a,那么l X

2、 BB A中，all B或a与B相交，不正确.B中，过直线l作平面下设aA 丫 = l，那么门/l,由l, 就知l。3从而d3 B正确.C中，l / B或l & C不正确.对于D中，l与B的位置关系不确定.如图7-4-10,在正四面体 P-ABC中，D, E, F分别是AB, BC, CA的 中点，下面四个结论不成立 的是（） fi图 7-4-10BC /平面 PDFDF，平面 PAEC.平面PDF,平面PAED.平面PDE，平面ABCD 因为 BC/DF, DF 平面 PDF,BC?平面 PDF,所以BC/平面PDF,应选项A正确.在正四面体中，AEXBC, PEXBC, DF / BC,所

3、以BCL平面PAE,那么DFL平面PAE,从而平面 PDF，平面PAE.因此 选项B, C均正确. （2021南昌二模）a, B是两不重合的平面，直线 m a,直线n, 0,那么 “%B相交是“直线m, n异面的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B 分别垂直于两个相交平面的两条直线可能异面，也可能相交，所以“a,B相交不一定有“直线m, n异面；而当直线m, n异面时，两个平面不可 能平行，否那么假设all B,那么必有m/n,与直线m, n异面矛盾.因此“% B相交是“直线m, n异面的必要不充分条件，应选 B.如图7-4-11,在三棱锥 D-AB

4、C中，假设AB=CB, AD = CD, E是AC的 中点，那么以下命题中正确的选项是（）图 7-4-11A.平面ABC，平面ABDB.平面ABD，平面BCDC.平面ABC，平面BDE,且平面 ACD，平面BDED.平面ABC，平面 ACD,且平面 ACD，平面BDEC 因为AB=CB,且E是AC的中点，所以BEXAC,同理有DELAC,于是AC,平面BDE.因为AC 平面ABC,所以平面 ABC,平面BDE.又AC平面ACD,所以平面 ACDL平面BDE.6.如图7-4-12所示，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一动点,当点M满足时，平面MBDL平面

5、PCD.图 7-4-12（只要填写一个你认为是正确的条件即可 ）DM PC（或BM，PC等）由定理可知，BDXPC.当 DMLPC（或 BMLPC）时，有 PC,平面 MBD.又PC 平面PCD,平面MBDL平面PCD.7.如图7-4-13,在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面， 点D是侧面BB1C1C的中心，那么AD与平面BB1C1C所成角的大小是 .【导学号:57962338】图 7-4-13，-取BC的中点E,连接AE, DE,那么AE，平面BBiCiC. 3所以/ADE为直线AD与平面BBiCiC所成的角.设三棱柱的所有棱长为a,在 RtAAED 中，3 aAE

6、= 2 a，DE = 2.所以 tan/ ADE=A|=也,那么/ADE = .DE3，.,一一 ，、，4 ， 冗故AD与平面BBiCiC所成的角为338. （202i全国卷H）& B是两个平面，m, n是两条直线，有以下四个命题：如果mn, m % n/机那么/0如果 m a, n/ a,那么 m n.如果all B, m a,那么mil Q如果m/n, all &那么m与a所成的角和n与B所成的角相等.其中正确的命题有 .（填写所有正确命题的编号）对于，% B可以平行，也可以相交但不垂直，故错误.对于，由线面平行的性质定理知存在直线l a,n/ l,又m &所以mil, 所以mn,故正确.

7、对于，因为all &所以a, B没有公共点.又m 冉所以m, B没有公 共点，由线面平行的定义可知 m/ 就故正确.对于，因为m/n,所以m与a所成的角和n与a所成的角相等.因为all & 所以n与a所成的角和n与B所成的角相等，所以m与a所成的角和n与B所 成的角相等，故正确.三、解答题9.(2021北京高考)在三棱锥 V-ABC中，平面VAB，平面ABC, zVAB为等边三角形，ACLBC且AC=BC =，2, O, M分别为AB, VA的中点.图 7-4-14(1)求证：VB/平面MOC;(2)求证：平面 MOC，平面 VAB;(3)求三棱锥V-ABC的体积.解(1)证明：因为O, M分

8、别为AB, VA的中点， TOC o 1-5 h z 所以OM/VB.3分又因为VB?平面MOC,所以VB/平面MOC.5分(2)证明：因为AC=BC,。为AB的中点，所以 OCLAB.又因为平面 VAB，平面ABC,且OC 平面ABC,所以OC，平面VAB所以平面MOC，平面VAB8分(3)在等腰直角三角形 ACB中，AC=BC=，2,所以 AB=2, OC=1.所以等边三角形VAB的面积8Avab= V3.9分又因为OC，平面VAB,所以三棱锥C-VAB的体积等于1OC SaVAB=R3.33又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC12分的体积为337

9、. 310.。的直径AB = 4,点C, D为。上两点，且/CAB = 45, F为BC的 中点.沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7-4-15).图 7-4-15(1)求证：OF/平面ACD;(2)在AD上是否存在点E,使得平面OCE，平面ACD?假设存在，试指出点E的位置；假设不存在，请说明理由. TOC o 1-5 h z 解(1)证明：由/CAB=45,知/COB = 90,1 分又因为F为BC的中点，所以/FOB=45,因止匕OF/AC,3分又AC 平面ACD, OF?平面ACD,所以OF/平面ACD.5分(2)存在，E为AD中点，因为OA=OD,所以OELAD.7分又

10、OC，AB且两半圆所在平面互相垂直.所以OC，平面OAD.9分又AD 平面OAD,所以ADXOC,由于OE, OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD，平面OCE.又AD 平面ACD所以平面OCE，平面ACD.12分B组能力提升（建议用时：15分钟）1. （2021贵州贵阳二模）如图7-4-16,在正方形ABCD中,E, F分别是BC, CD的中点，沿AE, AF, EF把正方形折成一个四面体，使 B, C, D三点重合， 重合后的点记为P, P点在4AEF内的射影为O,那么以下说法正确的选项是 （）图 7-4-16A.。是4AEF的垂心B.。是4AEF的内心C.。是4AEF的外心D.。是4

11、AEF的重心A 由题意可知PA, PE, PF两两垂直，;桨所以PA，平面PEF,从而PAXEF,g二而POL平面AEF,那么POXEF,因为POAFA=P,y/jK所以EFL平面PAO,所以EFXAO,同理可知 AEXFO, AFXEO,所以。为4AEF的垂心.2.如图7-4-17,在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1,底面ABC,底面是以 /ABC为直角的等腰直角三角形，AC = 2a, BB = 3a, D是A1C1的中点，点F 在线段AA1上，当AF =时,CFL平面B1DF.【导学号：57962339】图 7-4-17a 或 2a BiD，平面 A1ACC1, CFBiD.为了

12、使CF，平面BiDF,只要使CFLDF(或CFXBiF).设 AF = x,那么 CD2 = DF2+FC2,x23ax+ 2a2 = 0, =2或 x= 2a.3. （2021 四川高考）如图 7-4-18,在四棱锥 P-ABCD 中,PAXCD, AD / BC, / ADC=/PAB=90。，BC=CD = 2AD.图 7-4-18在平面PAD内找一点M,使得直线CM/平面PAB,并说明理由；(2)证明：平面 PABL平面PBD.解(1)取棱AD的中点M(M 平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下：连接CM,-1 _因为 AD / BC, BC = 2AD,所以 BC/AM,且 BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以 CM / AB.又AB 平面PAB, CM?平面PAB,所以CM /平面PAB.(说明：取棱PD的中点N,那么所找的点可以是直线 MN上任意一点)5分(2)证明：由，PAX AB, PAXCD, TOC o 1-5 h z 一 .1