1.5定积分的概念课件

1、1.5 定积分的概念课本38-42页名师18页草稿纸、笔第1页，共65页。xy0直线xy0几条线段连成的折线xyo曲线1.5.1 曲边梯形的面积1.5 定积分的概念第2页，共65页。曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)求曲边梯形的面积x=ax=b第3页，共65页。第4页，共65页。 因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内“以直代曲” ）P放大再放大PP“以直代曲,无限逼近 ”的数学思想第5页，共65页。 y = f(x)bax yO A

2、1A A1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得第6页，共65页。A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A2第7页，共65页。A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4第8页，共65页。 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn 以直代曲,无限逼近 第9页，共65页。例1.求由直线x=0,x=1，y=0和曲线y=x

3、2所围成的曲边梯形的面积. 解析:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值，再取其极限值。探究思考第10页，共65页。把区间0，1等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作 分割：第11页，共65页。近似代替： 如图，当n很大时，即x很小时，在区间 上可以认为函数 的值变化很小.第12页，共65页。 把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记做 .用小矩形的面积 近似地替代 即局部小范围内“以直代曲”.第13页，共65页。则阴影部分面积求和：得到S（

4、曲边梯形面积）的近似值：第14页，共65页。取极限：第15页，共65页。 当n趋向于无穷大，即 趋向于0时， 趋向于S.从而有分割以直代曲作和逼近第16页，共65页。小结求由连续曲线y=f(x)围成的曲边梯形面积的方法（1）分割 （2）近似代替 （4）取极限 （3）求和 第17页，共65页。 在“近似代替”中，如果认为函数 在区间 上的值近似地等于右端点 处的函数值 ，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是 吗？取任意 处的函数值 作为近似值，情况又怎样？探究！第18页，共65页。1. 当n很大时，函数 在区间 上的值，可以用( )近似代替 A. B.C. D.C练 习第19页，共65

5、页。2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 上的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确C练 习第20页，共65页。1.5.2 汽车行驶的路程第21页，共65页。1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限 用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积.复习：如何求曲边梯形的面积？以直代曲第22页，共65页。从小于曲边梯形的面积来无限逼近从大于曲边梯形的面积来无限逼近第23页，共65页。 复习第24页，共65页。 引入第25页，共65页。探究思考nnSS=l

6、im 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0，t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？第26页，共65页。例题 如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为 (t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在 这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？求变速直线运动的路程第27页，共65页。分割： 在时间区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n个小区间： 记第i个区间为 ，其长度为：第28页，共65页。. . .把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作： 显然有第29页，共65页。近似代替： 当n很大，即 很小时，在区间 上，函数 的变化值很小，近似地等

7、于一个常数. 从物理意义上看，就是汽车在时间段 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度作匀速行驶.第30页，共65页。在区间 上，近似地认为速度为 即在局部小范围内 “以匀速代变速”.第31页，共65页。 由近似代替求得：求和：第32页，共65页。取极限： 当n趋向于无穷大，即 趋向于0时， 趋向于s，从而有第33页，共65页。 结论第34页，共65页。1.5.3定积分的概念普通高中课程标准实验教材选修2-2课本45-47页名师20页草稿纸、笔第35页，共65页。 从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过“四步曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都可

8、以归结为求一个特定形式和的极限.曲边梯形面积变速直线运动路程 复习第36页，共65页。一、定积分的概念 概念第37页，共65页。定积分的定义： 定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。第38页，共65页。 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为定积分的定义：第39页，共65页。1x yOf(x)=x2

9、Ov t12第40页，共65页。正确理解定积分的概念（3）.规定：第41页，共65页。二、定积分的几何意义：Ox yab yf (x) x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。第42页，共65页。 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO=-ab yf (x) y-f (x)=-S上述曲边梯形面积的负值=-S第43页，共65页。oabxyy=f(x)y=f(x)探究根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积吗？ 探究课本P46第44页，共65页。三: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 第45页，共65页。 性质

10、3 不论a，b，c的相对位置如何都有ab y=f(x)cOx y第46页，共65页。 定积分关于积分区间具有可加性性质3. Ox yab yf (x)第47页，共65页。 在区间0,1上等间隔地插入n-1个分点，把区间0,1等分成n个小区间 每个小区间的长度为 (1)分割 例题第48页，共65页。（2）近似代替，作和（3）取极限第49页，共65页。例1:用定积分表示下列阴影部分的面积. (1)S=_.题型一 利用定积分表示曲边梯形的面积第50页，共65页。 (2)S=_.S=_.第51页，共65页。例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2

11、-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1第52页，共65页。解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1第53页，共65页。解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1第54页，共65页。解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1第55页，共65页。题型二 利用定积分的几何意义求定积分例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.分析:定积分 的几何意义是:介于直线x=a,x=b

12、,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和,其中x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,所以 第56页，共65页。解：xyf(x)=sinx1-1例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.第57页，共65页。1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。2.利用定积分的几何意义，说明下列各式成立：1）2）.1）2）.练习：3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120 xy=f(x)y=g(x)aby第58页，共65页。练习4（2）:x1y面积值为圆的面积的第59页，共65页。正确理解定积分的概念几何意义第60页，共65页。 衔接高考：（2009广东（理） 8已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 和 （如图2所示）那么对于图中给定的 和 ，下列判断中一定正确的是xyA. 在 时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在 时刻，两车的位置相同D. 时刻后，乙车在甲车前面A第61页，共65页。. 求曲线下方“曲边梯形”的面积和变速直线运动的位移问题的一般步骤：课时小结.讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法.以直代曲在近似计算中的应用.