3.1 数系的扩充1

1、 PAGE 3八校联合教研活动选修2-2 3.1 数系的扩充 江苏省奔牛高级中学 周伯明教学目标：经历数的概念的发展和数系的扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学过程：一、引入投影：选修2-2 3.1 数系的扩充教师：同学们，很高兴有机会和大家一起来学习数系的扩充这一节知识.当你看到本节课的课题时，你的第一感觉是本节课要学习什么内容呢？学生：应该是和数、数集有关系，数集的扩充吧教师：你的直观感觉很正确，那我们先一起来回顾一下以前我们所学习过的数集？学生：我们已经学习了自然数集（N）、整数集(Z)、有理数集(Q)、实数集(

2、R)等集合教师：很好！那你能理出它们之间的关系吗？学生： 教师：很好！在上述包含关系中，能把包含符号改写成真包含符号吗？为什么呢？数集是怎样一步步扩充的呢？学生：可以！从整数集中除了自然数，还有负整数；有理数集中除了整数，还有分数；实数集中除了有理数还有无理数.二、了解数集扩充的必要性教师：很好！那么同学们知道为什么以上数集要一步步扩充呢？ 具体的说？教师：人类因为计数的需要才产生了自然数，形成了自然数集.但是仅有自然数是不够用的，生活和生产实践的需要也推动了数的不断发展，这里我们不妨大致回顾一下数的发展简史.首先从社会生活的角度来看数的发展.教师：这一切在今天看起来是那么的自然，然而在数学史

3、上，每一步的跨出都充满了艰难与曲折比如，“0”这个自然数的出现就比其他自然数迟了很多年；又如，在无理数诞生之前，人们发现边长为1的正方形的对角线长既不能用整数来表示，又不能用两个整数的比来表示，从而引发了一次数学危机，甚至有人为之献出了宝贵的生命.有兴趣的同学，课后可以查阅相关的资料. 教师：我们常说数学来源于生活，但是又高于生活，这句话给我们什么启发呢？所以我们再从数学发展的内部来看看数集为何要进行扩充.请同学们解以下方程：x+6=5；3x-2=0;x2-2=0.学生：-1； ； .教师：严格的说，上述答案不够准确，因为事先没有规定在哪个数集内解这些方程.在自然数集里，方程其实是无解的在自然

4、数集中，任意两个数做加法和乘法是没有问题的，但是在做减法的时候较小的数是不能减去较大的数的，所以为了满足数的运算的需要，我们引入了负数，数集扩充到整数集同理，如果在整数集中，方程也是无解的在整数集中，加法、减法和乘法总可以实施，但是，除法只能解决整除的问题，为此引入分数，数集扩充到有理数集.根据以上的分析，你知道在有理数集中方程为什么会无解吗？要想有解，该怎么办？学生：在有理数集中，加法、减法、乘法和除法（除数不为0）总可以实施.但是，开方的结果可能不是有理数，所以方程无解为此引入无理数，数集扩充到实数集教师：那么在实数集中所有的运算都能实行了吗？学生：四则运算都能实行，开方只能对非负数.三、

5、总结数集扩充的规律教师：现在我们回头反思一下数的发展历程，看看能不能从中获得一些启示：（1）每一次对数集进行扩充时，是如何解决矛盾的？学生：新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的（2）数集扩充之后，有没有影响到原有的运算及性质？学生：没有.教师：对，具体得说，将自然数集扩充到整数集的时候，我们添加了负数，那么新引进的负数可以与原来的自然数进行四则运算，而且原有的加法、乘法运算律仍然成立；将整数集扩充到有理数集时，新引进的分数可以与原来的整数进行四则运算，而且加法、乘法运算律仍然成立.那么，将有理数集扩充到实数集的时候，你们能类似的表述一下吗？学生：新引进的无理数可以与原来的有

6、理数进行四则运算，而且原有的加法、乘法运算律仍然成立教师：为什么不提减法和除法的运算性质？学生：因为减法、除法可以分别转化为加法和乘法.教师：很好！也就是说，数集的每一次扩充，新添加的数可以与原来的数进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.简单概括，即“运算照旧”. 教师：综上所述，“引进新数”和“运算照旧”可以看成是数集扩充时应遵循的两个基本原则.四、扩充数系教师：回到刚才解方程的话题，数集扩充到实数集后，是不是所有的方程都有解了呢？学生：不对教师：在学习过程中经常遇到一元二次方程无解的情况，其中最简单的一个无解的一元二次方程是x2+1=0. 教师：新的矛盾出现了，回

7、头看实数集中的运算，其实只是部分解决了开方运算，说明实数集也不够用了，如何解决？学生：再对实数集进行扩充（引进新数）教师：（也即进行数系的扩充）那么如何再对实数集进行合理地扩充呢？这是我们这节课要研究的核心问题. 在刚才的分析过程中我们发现研究数集常常和相应运算联系在一起，所以我们把一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系，所以，我们今天研究的课题是数系的扩充（板书课题）教师：现在我们把目光再聚焦在这个一元二次方程上x2+1=0类似无解的一元二次方程还有很多，比如x2+2=0, x2+3=0等等.教师：要想这些方程有解，关键是负数有平方根就行了可是有很多负数，怎么办？教师：我们发现一般的-a

8、= a （-1），（a 0），所以，关键还是方程x2 = -1有解，你打算怎么办？学生:引进一个新数教师：很好！大数学家欧拉也是这么想的，他把这个数记为i，该字母源于英文单词“imaginary”的第一个字母，是“假想的、虚构的”意思，在数学里，我们称之为虚数单位教师：根据数系扩充的原则，你认为应该给i做哪些合理的规定? 先个人思考，然后再相互交流学生：为解决矛盾，应规定：i2 = -1；为了“运算照旧”，应规定：实数可以与i进行四则运算，而且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.教师：板书虚数单位及规定.引入虚数单位“i”，并规定：（1）i2=-1（2）实数可以和i进行四则运算，进

9、行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.教师：引进新数i后方程x2=-1的解是什么呢？学生：i.教师：既然实数可以和i进行四则运算，3可以加i吗？可以减吗？可以乘吗？即有3+i , 3i等数.你还能写出其他含有的i数吗？（学生讨论，交流）教师：你能写出一个统一形式，把刚才写出来的数都包含在内吗？学生：a+bi（a，bR）教师：很好！这些数都由两个部分复合而成，一部分是实数，另一部分是实数与虚数单位的乘积，所以我们给它们取一个很形象的名字复数我们就把a+bi（a，bR）称为复数的代数形式.由所有复数构成的集合称为复数集，用C表示，该字母来源于英文单词complex.教师：a+bi（a，bR

10、）能表示实数吗？学生：若虚部为零，此时它就是实数；若虚部不为零，就把a+bi（a，bR）称为虚数.板书：当且仅当b=0时，z是实数a；当b0时，z叫做虚数，特别地，当a =0且b0时，z =bi叫做纯虚数.问题：引进复数后，复数集C与实数集R之间的关系是什么？学生： 教师：现在已知复数.若，则复数为何关系？反之成立吗？板书：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等.五、反馈练习教师：学以致用，下面我们通过几条题目来巩固一下今天学习的知识概念巩固判别下列复数是实数还是虚数？如果是虚数，则判断它们是否为纯虚数，并说明其实部和虚部.，.追问1：有没有可能和前面的某个复数相等？为什么？追问2：能否和相等？若能，你能求出相应的实数a的值吗？备用练习练习1 实数m取什么值时，复数是：（1）实数？ (2)虚数？（3）纯虚数？练习2 已知，求实数x，y的值.六、课堂小结教师：下面请同学回忆归纳一下今天这节课所学到的知识学生：（1）数系的扩充过程、扩充的必要性和扩充的规则；（2）复数的基本概念；（3）复数相等的条件.教师：今天，我们一节课就已经掌握了复数的