河北省衡水中学高一下学期期中数学试卷(理科)

1、2016-2017学年河北省衡水中学高一（下）期中数学试卷（理科）、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）V37 WABCD- A1B1GD 中,E、F分别为BG BB的中点，则下列直线中与直线EF2.如图，在正方体A.直线 AA B.直线 AB C.直线 AD D,直线 BC 3.在空间中，设m, n为两条不同直线，a , 3为两个不同平面，则下列命题正确的是 （A.若 m/ a 且 a / 3 ,则 m/ 3B.若m? a , n? 3,则01 nC. 若 mla

2、且 00由3,则m|13D,若m不垂直于a ,且n? a ,则m必不垂直于 n 4.如图， OAB是水平放置的 OAB的直观图，则 OAB的周长为（A. 10+2反 B. 3M C. 10+4 后 D. 12 TOC o 1-5 h z .若正四棱锥的侧棱长为 泥,侧面与底面所成的角是 45。，则该正四棱锥的体积是（）A.B, C D.已知正三角形 ABC的三个顶点都在球心为 。半彳至为3的球面上，且三棱锥 O- ABC的高为2,点D是线段BC的中点，过点 D作球O的截面，则截面积的最小值为（）15 冗77TA. B. 4兀 C. - D. 3兀 HYPERLINK l bookmark76

3、o Current Document 42.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）日班荒 剜展刑A. 48+ 兀B. 48-tt C. 48+2 兀 D. 48 2 兀.已知棱长为1的正方体 ABCD-ABGDi中，E,F,M分别是ABAD.AA的中点，又P、Q分别在线段 AiBi、A1D上，且AiP=AQ=x, 0Vx OC,0c-Oi C-2.OOXT面 ABGOC?平面ABC球的半径R=3, OO=2 .RtOOC 中,OC$又D为 BC的中点，RtODC中，Oid .RtOOD 中，OD=21过D作球O的截面，当截面与 OD垂直时，截面圆的半径最小，当截面与 OD垂直

4、时，截面圆的面积有最小值.此时截面圆的半径r=Jg-马=，可得截面面积为 $=兀2=耳V 424故选A.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（2,高是5的正四棱柱内部挖去5的正四棱柱内部挖去一个半径A. 48+ 兀B. 48-ttC. 48+2 兀D. 48 2 兀【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是一个半径为1的半球.然后利用正方体的表面积及球的表面积求解【解答】解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2,高是为1的半球.其表面2X2X24-4X2X5-KX1+X 4冗 X J48+ 兀.故选：A.已知棱长为1的正方体 AB

5、CD- ABGD中，E, F, M分别是AB AD AA的中点，又 P、Q分别在线段 ABi、AQ上，且AiP=AQ=x, 0Vx1,设面MEFH面MPQ=l,则下列结论中不成立的是（）A. l /面 ABCD B. l ACC.面ME内面MPX垂直D.当x变化时，l不是定直线【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系；LP:空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】画出直线l ,然后判断选项即可.【解答】解：如图作出过 M的中截面，二.棱长为 1的正方体ABCD- ABCD中，E, F, M分别是 AR AQ AA 的中点，又 P、Q分别在线段 AiBi、AQ上，且 AP=AQ=k 0V x

6、1, QP/ EF,EF/中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面MEF面MPQ=l由平面与平面平行的性质定理可知：l /面ABCD几何体是正方体，AC! EF,由三垂线定理可知：l AC过ACCAi的平面如图，面 ME*面MP/垂直，当 Q P与Di, Bi重合时，面 ME也面 MPQB直，直线l与EF平行， 是定直线.D错误.故选：D.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A.B.C. 3兀 D. 4Tt【考点】L!:由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，根据图中数据求出几何体的表面积与体积, 从而求

7、出其内切球的半径 r,再计算内切球的表面积.【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥,如图所示,3则几何体的表面积为S=2 x 春 2黑 2V3+2Xy x 诉义正该几何体的体积为-一 -.!设其内切球半径为r,则求得, - j所以内切球的表面积为S球=4兀1=4兀X 喏产=竽故选：B.如图，等边 ABC的中线 AF与中位线 DE相交于 G,已知 A ED是 AED绕DE旋转过程A.动点A在平面ABC上的射影在线段 AF上B.恒有平面A G吐平面BCEDC.三锥A e EFD的体积有最大值D.异面直线A E与BD不可能垂直【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】由斜线的射影

8、定理可判断A正确；由面面垂直的判定定理，可判断 B正确；由三棱锥的体积公式，可判断 C正确；由异面直线所成的角的概念可判断D不正确【解答】解：= A D=A E, ABC是正三角形，.A在平面ABC上的射影在线段 AF上，故A正确；由A知，平面A GF一定过平面BCEM垂线，恒有平面 A GFL平面 BCED故B正确；三棱锥A - FED的底面积是定值，体积由高即 A到底面的距离决定，当平面A DEL平面BCED寸，三棱锥 A - FED的体积有最大值，故 C正确； 当（A E） 2+EF2= （A F） 2时，面直线 A E与BD垂直，故错误.故选：D.11.已知边长为=16M n3AB2的

9、正方形 ABCD的四个顶点在球O的球面上，球 O的体积为 V球,则OA与吓回ABC所成的角的余弦值为（）V100 An 入5CD-【考点】MI:直线与平面所成的角.【分析】过球心 O作平面ABCD勺垂线OG则G为正方形中心，/ OAG OA与平面ABC所成的角，求出球的半径 OA再求出AG即可得出所求角的余弦值.【解答】解：如图，设球。的半径为R,由V 土求=&冗R?31 R=2.v i得 ；： 设正方形 ABCD勺中心为 G连接OG则OGL平面ABCD且 agao|x2/ UU，OA与平面ABCDM：的角的余弦值为 毁壬牛.0A 25 10故选：A.12.在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于

10、底面的棱柱）ABC- A1B1C1中，AB=2 AA=3,点D为棱BD的中点，点 E为A, C上的点，且满足 AE=mEC（ mC R）,当二面角 E- AD- C的余弦值为四 时，实数m的值为（）A. 1 B. 2 C D. 32【考点】MT二面角的平面角及求法.【分析】由题意画出图形， 在正三棱柱 ABC- A1B1C中，取AC中点Q以O为坐标原点，以OBOC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，求出平面 AED的一个法向量（用含有 m 的代数式表示），再求得平面ADC的一个法向量，结合二面角E-AD- C的余弦值为逐 列 式求得m值.【解答】解：在正三棱柱 ABC- A1B1G中

11、，取AC中点O,以O为坐标原点，以 OR OC所在直线为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系,. AB=2 AA=3,点D为棱BD的中点, .A (0, - 1, 0), C (0, 1),A (0, T, 3),又点E为AC上的点，且满足AE=mEC( m R),AEEC设 E ( x , y , z则:一EC=(-xt l-yr -z)x,y+1, z 3)=(一ITl1-1mx, m- my, mz),得 x=0, y= mHE (0ini-13mH),则一0),瓦二（o,磊，条） nrFl idtI设平面AED的一个法向量为z) 一- -in AD-；港之Hr ni=(W5，1，gm),

12、取 x= -Vsz=0平面ADC勺一个法向量.0,1)|cos1=1m nin I I n1=12IZpxiL |10解得：m=1.故选：A.X二、填空题（每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上） TOC o 1-5 h z 13.在棱长为1的正方体ABC。A1B1CD中，点A到平面AiDB的距离为逅 .-3【考点】L2:棱柱的结构特征.【分析】利用等体积法，即=VAl-AED，求点A到平面ADB的距离.【解答】解：构造三棱锥 A- ADB,并且有VA_A BD=VA.-AED,因为 AlAED=sh= X、X 1X1X1=,J J XO所以 VA-A. BD=VA.-AED=y -1o设

13、点A到平面ADB的距离为x,又因为：,.：!1=-j1- X Sa1B? x=-j1- X号 X （近）2Xx=j ,所以x=W1,即点A到平面ADB的距离为华 .JJ故答案为：14.在三棱锥 A- BCDK 侧棱AB, AC, AD两两垂直， ABC ACD ABD勺面积分别为 2比2加、2a/G ,则三棱锥A- BCD勺外接球的体积为&、自兀.【考点】LG:球的体积和表面积.【分析】利用三棱锥侧棱 AR AC AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方 体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，从而求出对角线长，即可求解外接球的体积.【解答】解：三棱锥 A- BCD中，侧棱 AB

14、 AC AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是 同一个，长方体的对角线就是球的直径， TOC o 1-5 h z 设长方体的三度为 a, b, c,则由题意得：ab=4我,ac=4/ ,bc=4/,解得：a=2 在 ,b=2 班 ,c=2,所以球的直径为：二=2 一所以球的半径为&,所以三棱锥A- BCDB勺外接球的体积为 鱼冗（遍尸=8代兀-3故答案为：8近兀.15.如图，三棱锥 A- BCD的顶点B C、D 在平面 a 内，CA=AB=BC=CD=DB=4D=2 ,若将该三棱锥以 BC为轴转动，到点A落到平面“内为止，则 A D两点所经过的路程之和是【考点】G7:弧长公式.AOM直角,求

15、出OA的长度，然后利用圆的周长公式求解.【分析】由题意画出图形，可得/ CA=AB=BC=CD=DR=2AO=DO=2s ， 在AOM, AO=DO=23 ，又 AD=4cosAOD=AU 之+D。2 TM2* AO* DO(2J5产+(2)-/) 之2 X 2V3 x 2V3二0,7T则/ aod4,2，将该三棱锥以BC为轴转动，到点 A落到平面“内时，A D两点所经过的路程都是以 。为圆心，以OA为半径的工 圆周,4 A D两点所经过的路程之和是X 2 兀 X OA=23 兀故答案为：-I16.在正方体 ABCD- AiBiGDi中（如图），已知点P在直线BC上运动.则下列四个命题:三棱锥

16、A- DBC的体积不变；直线AP与平面ACD所成的角的大小不变；二面角P- AD-C的大小不变；M是平面AiBiGDi内到点D和Ci距离相等的点，则 M点的轨迹是直线 AD其中正确命题的编号是 .（写出所有正确命题的编号）【考点】L2:棱柱的结构特征.【分析】利用体积公式判断，利用向量计算夹角判断，根据二面角的定义判断，利用全等判断.【解答】解：对于，显然三棱锥A- DBC体积与P点位置无关，故正确；对于，以D为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系， 设正方体边长为i,则西二（i,i, - D为平面ACD的法向量，而靛二（i, 0, 0）,丐 二（i, T, - D, TOC o 1-5 h z

17、 cos =3，c0s V 7c，而_ 1_1=7/3=3，.AB, AC与平面ACD所成的角不相等，即当 p在直线BC上运动时，AP平面ACD所成的角会发生变化，故错误；对于，当P位置变化时，平面 PAD的位置不发生变化，故二面角 P- AD-C的大小不变，故正确；对于，设 Q为直线AiD上任意一点，则 RtAQDD RtQCD,QD=QC，M的轨迹为直线 AD,故正确.故答案为：.三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.如图，。是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一与八、(I)若弧在 的中点为D,求证：AC/

18、平面POD(n)如果 PAB面积是9,求此圆锥的表面积与体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积； LS:直线与平面平行的判定.【分析】(I)由AB是底面圆的直径，可得 AC! BC再由标 的中点为D,可得ODL BC.则AC/ OD由线面平行白判定可得 AC/平面POD(n)设圆锥底面圆半径为r,高为h,母线长为1,由题意可得h=r, 1=&工 ，由 PAB 面积是9求得r=3,代入圆锥表面积公式与体积公式求解.【解答】(I)证明：.AB是底面圆的直径，AC BC.菽的中点为D,ODL BC又 AC OD共面，AC/ OD又AC?平面POD OD?平面POD.AC/平面 POD(n)解：设

19、圆锥底面圆半径为r,高为h,母线长为l ,;圆锥的轴截面 PAB为等腰直角三角形，h=r, 1=风工,19由与XarXh二 1二9,得 r=3 ,S表面粗二兀+可nIM 后+几/=9(1+庭)冗18.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABMF DCP与刍1 童的组合体中AB=AD AB=AD.棱台体积公式：V若(S+遮1+S)h,其中S,S分别为棱台上、下底面面积，h为棱台高.(I)证明：直线 BD1平面MAC(n)若 AB=1, AiDi=2, MA唔 ,三棱锥 A- ABD的体积 V

20、=g,求该组合体的体3积.H【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积；LW直线与平面垂直的判定.【分析】(I)证明AD) MA推出MAL平面ABCD得到MAL BD.结合BD AG证明BD，平面MAC(n)设刍童 ABCD- A1BQD1的高为h,利用几何体的体积公式，转化求解即可.【解答】解：(I)证明：由题可知 ABMM- DCP底面为直角三角形的直棱柱，.ADJ面 MAB又 MA?平面 MAB AD MA又 MAL AB, ADA AB=A AD AB?平面 ABCDMAL平面 ABCD 又BD?平面ABCD MAL BD.又AB=AD，四边形ABC型正方形，BD AC,又 MAH AC=A

21、 MA AC?平面 MACBD，平面MAC(n)设刍童 ABCD- A1B1GD1的高为h,_273=3，的体积为则三棱锥A- A1B1D1体积V工乂,乂2 乂 2乂上 h=F ,故 该组合体V=619.如图1,在RtABC中，/ABC=60 , AD是斜边 BC上的高，沿 AD将4ABC折成60的 二面角B- AD- C,如图2.(1)证明：平面 ABDL平面BCDD(2)在图2中，设E为BC的中点，求异面直线 AE与BD所成的角.【考点】MT二面角的平面角及求法；LY:平面与平面垂直的判定.【分析】(1)推导出AD)CD AD! BD,从而AD1平面BCD由此能证明平面 ABDL平面BCD

22、(2)取CD的中点F,连结EF,由EF/ BD, / AEF是异面直线 AE与BD所成角，由此能求出 异面直线AE与BD所成的角.【解答】证明：(1)二.折起前AD是BC边上的高，当折起后，ADL C口 AD BD,又 CDH BD=D - AD面 BCD. AD?平面 ABR平面 ABDL平面 BCD解：(2)取CD的中点F,连结EF,由EF/ BQ / AEF是异面直线 AE与BD所成角，连结 AF、DE,设 BD=2,贝U EF=1, AD=2/ , CD=6, DF=3 TOC o 1-5 h z 在 RtADF中，AF=Jad+I)N=质,在BCD43,由题设知/ BDC=60 ,贝

23、U BC2=BD+CD 2BD?CD?cos60 =28, . BC=2即,L/1 HYPERLINK l bookmark88 o Current Document ，BE=77,，cos/CBD=wy,在4BDE中,DE2=BD2+B- 2BD?BE?coS CBD=13在 RtMDE中，cos / AEF=/aD，DE2/ AEF=60 ,=EVF2WEF，异面直线AE与BD所成的角为60 .20.在长方体 ABCD- AiBiCiDi中，E, F分别是 AD DD的中点，AB=BC=2过Ai, C, B三点的 平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCD- AiBiGD,且这

24、个几何体的体积为40 3.(i)求证：EF/平面 AiBG;(2)求AiA的长；(3)在线段BC上是否存在点 P,使直线AP与CiD垂直，如果存在，求线段 AiP的长，如果 不存在，请说明理由.【考点】LS:直线与平面平行的判定；L2:棱柱的结构特征.【分析】(i)法一：连接DC,已知ABCH AiBiCQ是长方体，可证四边形 AiBCD是平行四边形,再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；法二：根据长方体的几何特征由平面AiAB/平面CDDCi.证得AB/平面CDDCi.(2)设AiA戈已知几何体 ABCD AQD的体积为理，利用等体积法 VABCP AQD=VABCD3-AB

25、CD-VB- ABC,进行求解.(3)在平面 CCDD中作DQ CD交CC于Q 过Q作QP/ CB交BC于点巳推出AiP GD,证明AiPCD,推出 DCMRtCCR再求求线段 AP的长.【解答】证明：(1)证法一：如图，连接 DC,ABCD- A1B1C1D1 是长方体，AiD / BC且 AD=BC.四边形ABCD是平行四边形.AiB/ DC. AiB?平面 CDDG, DC?平面 CDDG ,.AB/平面 CDDCi.证法二：: ABCD- AiBCD是长方体，平面 AiAB/平面 CDDG. AiB?平面 AiAB, AiB?平面 CDDG .AB/平面 CDDCi.4n TOC o

26、1-5 h z 解：(2)设AA=h,二.几何体ABCD- ACD的体积为当，_40 VkBCO AiCiD=VkBC AiBiCiDi VHAiBiC= ,即 Sabc* h - x SA ABC x h=- HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 33即 2X2Xh工 X X2X 2Xh=-，解得 h=4.3，3.AiA的长为4.(3)在平面 CCDD中作DQCD交CC于Q过Q作QP/ CB交BC于点 巳 则AiP CD.因为AiD，平面 CCDD, CD?平面 CCDiD,GDI AD,而 QP/ CR CB/ AD, .QP/ AiD,又 Ai

27、DiA DiQ=D, CD，平面 AiPQC,且AiP?平面AiPQGAiP GD.DGg RtAGCqJQCCcd.-0Q=1又 PQ/ B0,PQ= B0=42四边形APQD为直角梯形，且高DQ=三二2AP=.21 .如图，四棱锥 S-AB0D43, AB/ CD B00口 侧面 SAB为等边三角形，AB=B0=2 0D=SD=1(I )证明：SDL平面SAB(n)求AB与平面SB0所成的角的大小.S【考点】LW直线与平面垂直的判定；MI:直线与平面所成的角.【分析】(1)利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线 SA, SB;在证明SD与SA SB的过程中运用勾股定理即可(n )求 AB与平面 SBC所成的角的大小即利用平面 SBC的法向量:与总间的夹角关系即可，当言与凝间的夹角为锐角时，所求的角即为它的余角；当;与标间的夹角为钝角时，所求的角为【解答】(I)证明：在直角梯形 ABCD,AB/ CD BC CD AB=BC=2 CD=1ad=JBt-D)= !侧面SAB为等边三角形，AB=2SA=2.SD=1AD2=SA2+SD2SD SA同理：SD! SB S