2012立体几何最新题型

1、2012立体几何最新题型一、选择题1一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为()A8eq r(2)B8C4eq r(2)D4答案B解析球的半径Req r(1212)eq r(2)，S4R28故选B.2已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是()A.eq f(14,3) B.eq f(7,3) C14 D7分析根据三视图还原出空间几何体，按照体积计算公式进行计算 答案A解析这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，故其体积Veq f(1,3)(12eq r(1222)22)

2、2eq f(14,3).3设矩形的边长分别为a，b(ab)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为Va和Vb，则()AVaVb BVaVbCVaVb DVa和Vb的大小不确定答案B解析由题意，Vb(eq f(a,2)2beq f(1,4)a2b，Va(eq f(b,2)2aeq f(1,4)b2a，因为ab，所以VaVb.4(2010新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2 B6a2C12a2 D24a2答案B解析本题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系

3、求得球的半径由题可知，长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2Req r(4a2a2a2)，解得Req f(r(6),2)a，所以球的表面积S4R26a2，故选B.5已知三棱锥OABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC1，OAx，OBy，若xy4，则三棱锥体积的最大值是()A.eq f(1,3) B.eq f(2,3) C1 D.eq f(4,3)答案B解析由条件可知V三棱锥OABCeq f(1,6)OAOBOCeq f(1,6)xyeq f(1,6)(eq f(xy,2)2eq f(2,3)，当xy2时，取得最大值eq f(2,

4、3).6某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为()A(16)cm3 B(163)cm3C(204)cm3 D(18)cm3分析本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直观图，再利用体积公式进行求解答案B解析由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱正四棱柱的底面边长为4cm，高为1cm，其体积为16cm3；圆柱的底面半径为1cm，高为3cm，其体积为3cm3.所以该几何体的体积为(163)cm3.7若圆锥轴截面的顶角满足eq f(,3)eq f(,2)，则其侧面展开图中心角满足()A.eq f(,4)eq f(,3) B.eq

5、 f(,3)eq f(,2)C.eq f(,2) Deq r(2)答案D解析eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(,2)eq f(,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,4)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(2),2).又eq f(r,l)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(2),2)，其侧面展开图中心角eq f(r,l)2(，eq r(2)8(2010全国卷理)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若ABCD2.则四面体ABCD的体积的最大值为()A.eq f(2r(3

6、),3) B.eq f(4r(3),3) C2eq r(3) D.eq f(8r(3),3)答案B解析过CD作平面PCD，使AB平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCDeq f(1,3)2eq f(1,2)2heq f(2,3)h，当直径通过AB与CD的中点时，hmax2eq r(2212)2eq r(3)，故Vmaxeq f(4r(3),3).二、填空题9(2010天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_答案eq f(10,3)解析由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为221eq

7、 f(1,3)112eq f(10,3).10(2011广东广州)将圆心角为eq f(2,3)，面积为3的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于_答案4解析设扇形的半径为r，弧长为l，则有eq f(1,2)rleq f(1,2)eq f(2,3)r23，所以r3，l2，于是圆锥的母线长为3，底面半径为1，故表面积S13124.11(2010湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如右图所示)，则球的半径是_cm.答案4解析设球的半径为r，根据题意可得8r23eq f(4,3)r36r3，解得r4.三、解答题12已

8、知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解析作轴截面如图，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则eq blc(rc)(avs4alco1(f(h,2)2r2R2，即h2eq r(R2r2)，S2rh4req r(R2r2)4eq r(r2R2r2)4eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r2R2r2,2)2)2R2，当且仅当r2R2r2时取等号，此时内接圆柱底面半径为eq f(r(2),2)R，高为eq r(2)R，最大侧面积等于2R2.13(2010新课标卷)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABC

9、D，ACBD，垂足为H，PH为四棱锥的高(1)证明：平面PAC平面PBD；(2)若ABeq r(6)，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积解析本题综合考查立体几何的知识，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱锥的体积公式，在解决时要仔细审核题意，找准入手点进行解决，题目定位于中低档题，考查处理立体几何的常规方法解：(1)因为PH是四棱锥PABCD的高，所以ACPH.又ACBD，PH，BD都在平面PBD内，且PHBDH，所以AC平面PBD，故平面PAC平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD，ABeq r(6)，所以HAHBeq r(3).因为APBADB60，所以PAPB

10、eq r(6)，HDHC1，可得PHeq r(3)，等腰梯形ABCD的面积为Seq f(1,2)ACBD2eq r(3).所以四棱锥的体积为Veq f(1,3)(2eq r(3)eq r(3)eq f(32r(3),3).14已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，ADAA12，ABBC1，E，F分别为A1D，CD中点(1)求证：EF平面A1ACC1；(2)求证：CD平面A1ACC1，并求四棱锥DA1ACC1的体积证明(1)连A1C，E、F分别为A1D，CD中点，EFA1C，又A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1EF平面A1

11、ACC1(2)四边形ABCD为直角梯形且ADBC，ABBC，AD2，ABBC1，ACCDeq r(2)，AD2AC2CD2，CDAC，又AA1平面ABCD，CD平面ABCD，CDAA1，AA1平面A1ACC1.AC平面A1ACC1，CD平面A1ACC1CD为四棱锥DA1ACC1的高，Veq f(1,3)SA1ACC1CDeq f(1,3)eq r(2)2eq r(2)eq f(4,3).15如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE2，ACAA14，E60，点B在线段DE上(1)当点B在何处时，平面A1BC平面A1ABB1；(2)点B在线段DE上运

12、动的过程中，求三棱柱ABCA1B1C1全面积最小值分析本题属于立体几何探究问题，第(1)问解题思路是逆向的推理问题，从结论下手，寻求解题突破口；第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表达式，从而将问题解决解析(1)由于三棱柱ABCA1B1C1为直三棱锥，则AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC.而AA1ABA，只需BC平面A1ABB1，即ABBC，就有“平面A1BC平面A1ABB1”在平行四边形ACDE中，AE2，AC4，E60.过点B作BH垂直AC于H，则BHeq r(3).若ABBC，有BH2AHCH，AC4，AH1或3.两种情况下，B为ED的中点或与点D重合(2)三棱柱ABCA1B1C1全面积等于侧面积与两个底面积之和显然其底面积和平面ACC1A1的面积为定值，只需保证侧面ABB1A1和侧面B1C1CB面积之和最小即可过点B作BF垂直AC于F，则BFeq r(3).令AFx，则侧面ABB1A1和侧面B1C1CB面积之和等于4(ABBC)4eq r(3x2)eq r(34x2)其中eq r(3x2)eq r(34x