学案3-空间图形的基本关系与公理

1、学案3 空间图形的基本 关系与公理名师伴你行SANPINBOOK考点一考点二考点三考点四考点五名师伴你行SANPINBOOK返回目录 名师伴你行SANPINBOOK1.空间图形的基本关系（1）点与直线的位置关系有 两种；（2）点与平面的位置关系有个 两种.（3）空间两条直线的位置关系：点在直线上和点在直线外点在平面内和点在平面外返回目录 名师伴你行SANPINBOOK直线a和直线b在同一个平面内，而且没有公共点， 这样的两条直线叫作 ；直线b和c只有一个公共点，这样的两条直线叫作 ；不同在任何的一个平面内的两条直线叫作 .（4）直线与平面的位置关系直线和平面有无数个公共点称 ；直线和平面没有公

2、共点称 ；直线和平面只有一个公共点称 .（5）平面与平面的位置关系异面直线 平行直线 相交直线 直线在平面内 直线和平面平行 直线和平面相交返回目录 名师伴你行SANPINBOOK平面和平面没有公共点，称平面与平面为 ；两个平面不重合且有公共点，称两个平面为 .2.空间图形的公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内（即直线在平面内）.直线a在平面内，记作 .公理2 经过不在同一条直线上的三点， 一个平面（即可以确定一个平面）.平行平面相交平面 所有的点 a有且只有返回目录 名师伴你行SANPINBOOK 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有

3、且只有 .平面与平面的公共直线为a，记作 . 公理4 平行于同一条直线的两条直线 . 定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .相等或互补 一条通过这个点的公共直线=a 平行 返回目录 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH:HD；（2）求证：EH，FG，BD三线共点.考点一 证明共点问题 名师伴你行SANPINBOOK【分析】证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3

4、得证.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK返回目录 【解析】（1） =2，EFAC. EF平面ACD. 而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH， EFGH.而EFAC，ACGH. =3，即AH:HD=3:1.名师伴你行SANPINBOOK返回目录 （2）证明：EFGH，且 ， ，EFGH,四边形EFGH为梯形.令EHFG=P,则PEH,而EH 平面ABD，PFG，FG 平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，PBD.EH，FG，BD三线共点.名师伴你行SANPINBOOK 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点. （1）证明三线共点的依据是公理3. （2）证明三线共

5、点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK对应演练如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点.且CG= BC，CH= DC.求证：（1）E，F，G，H 四点共面；（2）三直线FH，EG， AC共点.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK返回目录 （1）连接EF，GH.由E,F分别为AB,AD中点，EF BD,由CG= BC CH= DC，HG BD，EFHG且EFHG.EF,HG可确定平面

6、,E,F,G,H四点共面.名师伴你行SANPINBOOK（2）由（1）知,EFHG为平面图形，且EFHG，EFHG.四边形EFHG为梯形，设直线FH直线EG=O，点O直线FH，直线FH 面ACD，点O平面ACD.同理点O平面ABC.又面ACD面ABC=AC，点O直线AC（公理2）.三直线FH，EG，AC共点.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK在正方体ABCDA1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:点C1,O,M共线.【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线,再证明其余点也在该直线上.考点二 点共线问题 返回目录 名师伴你行SANPINB

7、OOK【证明】如图,A1AC1C,A1A,C1C确定平面A1C.A1C 平面A1C,OA1C,O平面A1C,而O=平面BDC1线A1C,O平面BDC1,O在平面BDC1与平面A1C的交线上.ACBD=M,M平面BDC1且M平面A1C,平面BDC1平面A1C=C1M,OCM,即M,O,C1三点共线.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK返回目录 证 明若干点共线也可用基本性质3 为依据,找出两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.名师伴你行SANPINBOOK返回目录 对应演练如图所示,已知ABC在平面外,AB,BC,AC的延长线分别交平面于P,Q,R三点.求证:P,Q,R三点共线

8、.证明:设ABC所在平面为,因为AP=P,AP,所以与相交于过点P的直线l,即Pl.因为BQ=Q,BQ,所以Q,Q.所以Ql.同理可证Rl.所以P,Q,R三点共线.名师伴你行SANPINBOOK返回目录 【分析】四条直线两两相交且不共点,有两种情况:一是恰有三条直线共点;二是任意三条直线均不共点,故应分两种情况证明.考点三 共面问题 证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.名师伴你行SANPINBOOK【解析】 (1)如图,设直线a,b,c相交于O点,直线d和a,b,c分别交于M,N,P三点,份直线d和点O确定平面.O直线a,M直线a,直线a平面.同理b平面,c平面.a,b,c,d四

9、线共面.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任意三条不共点.直线ab=M,直线a和b确定平面.ac=N,bc=Q,N,Q都在平面内.直线a,b,c,d共面于.综合（1），（2）知,两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.返回目录 返回目录 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.（1）证明点线共面的主要依据：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.（2）证明点线共面的常用方法:纳入平面内：先确定一个平面，再证明有关点、线在此

10、平面内.辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面,重合.反证法.（3）具体操作方法：证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内.证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内. 名师伴你行SANPINBOOK返回目录 对应演练如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线AC1平面CC1B1B；（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1；（3）点A，O，C可以确定一个平

11、面；（4）由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1确定的平面和由A，C1， D确定的平面是同一平面.名师伴你行SANPINBOOK返回目录 (1)错误，若AC1平面CC1B1B，则A平面 CC1B1B，这与A 平面CC1B1B的几何事实矛盾.(2)正确，O，O1是这两个平面的两个公共点.(3)错误,点A，O，C在同一直线上.(4)正确，A，C1，B1不共线，确定平面.AB1C1D是平行四边形，过AD与B1C1两平行线确定一平面,又,都过不共线三点A,C1,B1，与重合.点D平面AC1B1，即A,C1,B1确定的平面是ADC1B1.(5)正确，同（4）.名师伴你行SAN

12、PINBOOK返回目录 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？（2）D1B和CC1是否是异面直 线？请说明理由.考点四 异面直线的判定和证明 【分析】（1）由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MNAC，因此AM与CN不是异面直线.（2）由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法.名师伴你行SANPINBOOK【解析】（1）不是异面直线.理由如下：M,N分别是A1B1,B1C1的中点,MNA1C1，又A1A D1D,而D1D C1C，A1A C1C，四边形A1ACC1为平行

13、四边形.A1C1AC，得到MNAC，A,M,N,C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK返回目录 （2）是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，这与正方体ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾.假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.名师伴你行SANPINBOOK返回目录 名师伴你行SANPINBOOK 判定异面直线的常用方法有：（1）定义法；（2）反证法；（3）判定定理法，应用异面直线判定定理来判定时，应注意是否满足它的“四要素”，即点A平面,B ,直线a

14、,A a,则直线AB与a异面.返回目录 如图所示，E,F在AD上，G,H在BC上，图中8条线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？先找规律性较强的直线，如AB与CD，AC与BD，AD与BC互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得EG分别与AB,AC,BD,DC成异面直线.同理，FH也与它们分别成 异面直线，EG与FH也互为异面直线.每两条异面直线称 为“一对”，则共有12对异面直线.对应演练 名师伴你行SANPINBOOK返回目录 【分析】 本题首先要考虑将题目中的直线AB与 CD所成的角是60反映在图形上 ，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.考点五 异面直线所成的

15、角 在空间四边形ABCD中，AB=CD且其所成的角是60，点M,N分别是BC,AD的中点.求直线AB与MN所成的角.名师伴你行SANPINBOOK 【解析】取AC的中点P，连结PM,PN，则有 PMAB，且PM= AB.PNCD，且PN= CD. 又AB=CD且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或60. MPN=60或30，即直线AB与MN所成的角为60或30.返回目录 名师伴你行SANPINBOOK返回目录 求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法. 利用定义法(平移法)求异面直线所成角的一般步骤为: (1)平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里

16、的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. (2)证明:证明所作的角是异面直线所成的角. (3)寻找:在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形,并解之. (4)取舍:因为异面直线所成角的取值范围是090,所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线所成的角.名师伴你行SANPINBOOK对应演练如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60,对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60.(1) 求四棱锥的体积；(2) 若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.返回目录 名师伴你行SAN

17、PINBOOK返回目录 （1）在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO=60,在RtPOB中，BO=ABsin30=1,又POOB，PO=BOtan60= ,底面菱形的面积S=2 22 =2 ，四棱锥PABCD的体积VPABCD= 2 =2.名师伴你行SANPINBOOK返回目录 (2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA.DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.在RtAOB中，AO=ABcos30= =OP,在RtPOA中，PA= ，EF= .在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE= ，由余弦定理得cosDEF= 异面直线DE与PA所成角的余弦值为 .名师伴你行SANPINBOOK返回目录 1.对于平面的三个公理，要深刻理解其含义，并能用符号准确地表述. 2.主要题型的解题方法 （1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）. （2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上，因此共线.名师伴你行SANPINBOOK返回