理论力学原理刚体的平面运动和速度关系

1、理论力学原理刚体的平面运动和速度关系12理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY7 学时2.1 刚体平面运动的简化和运动方程2.2 刚体的角速度和角加速度2.3 平面图形运动的位移定理2.4 用速度瞬心法求平面图形上点的速度2.5 平面图形上两点的速度关系2.6 平面图形上两点的加速度关系作业 2-2 2-3 2-5 2-6 2-7 2-9 2-11 2-14 2-16 2-17 2-20 2-22 2-35 2-37 2-28* 3理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY第 2 章 刚体的平面运动 刚体平面运动的简化和运动方程1. 刚体的平面运动（平面平行运动） 刚体上任意一确定点到某一固定平面

2、的距离始终保持不变的运动称为刚体的平面运动，又称为平面平行运动。 平面运动刚体上各点的轨迹均为平面曲线。2. 平面运动的三种类型 受到约束的不同将平面运动分为三种类型：(1) 平面平移(3) 一般平面运动(2) 定轴转动4理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY(1) 平移 刚体内任一条直线在刚体运动过程中始终保持平行，这样的运动称为平移。 平移刚体内各点轨迹的形状完全相同。直线平移 当平移刚体上任一点的轨迹为直线，则称该运动为直线平移。曲线平移 当平移刚体上任一点的轨迹为曲线，则称该运动为 曲线平移。空间平移 当平移刚体上任一点的轨迹为空间曲线，则称为空间平移。平面平移 当平移刚体上任一点的轨

3、迹为平面曲线，则称为平面平移。 平面平移属于平面运动的特例。5理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY直线平移曲线平移(2) 定轴转动 当刚体作平面运动时，在运动过程中体内（或其延拓部分）始终存在一条固定不动的直线，这样的平面运动称为定轴转动，不动的直线为转轴。定轴转动 除转轴外，刚体上各点分别在与转轴垂直的各平面内作圆周运动。 平移和转动是刚体的基本运动，它们不仅是刚体的最简单的运动，而且还是刚体复杂运动的基础。6理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY(3) 一般平面运动 既不是平面平移，也不是定轴转动的平面运动称为一般平面运动。一般平面运动 在刚体作一般平面运动的情形下，刚体内各点的轨迹是形

4、状各异的平面曲线。3. 举例说明平面运动 曲柄连杆滑块机构ABC定轴转动曲线平移一般平面运动直线平移定轴转动74. 刚体的平面运动的简化 通常，平面运动刚体上各点的轨迹不同，同一瞬时其上各点的速度和加速度不等。 但在刚体内任意一条与体内各点的运动平面相垂直的直线上，各点却有相同的位移（可以根据刚体上任意两点间距离保持不变的性质用反证法得证），因此，这条直线上每一点的速度和加速度是相同的。 于是任意一个平行于某个固定平面 I 的平面 II 、平面 III 或平面 IV 等等分别将刚体截出一个平面图形，当刚体作平面运动时，这些图形在自己所在的平面内运动。 垂直于平面 I 的某条直线与各平截面的交点

5、的轨迹、速度和加速度完全相同。 因此刚体平面运动的研究，可简化为对一个平截面图形 S 在其自身平面内运动的研究。 如图所示。理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY8理论力学B 第二章刚体的平面运动BRYIIISASA 显然，在各处截得的具体平截面图形一般来说是不同的，为了使研究具有一般性，将平截面图形的大小和形状看成是不受任何限制的，可以根据需要加以延拓的平面图形。平面运动刚体 “以面代体”9理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY5. 刚体的平面运动方程(1) 方位角和平面运动刚体的自由度 已知平面图形 S 在其自身所在平面上作平面运动，若在该平面上建立固定不动的直角坐标系 Oxy ，则平面图

6、形的位置由其上任意一有向线段 确定。有向线段 的位置需要 3 个坐标， 与 x 轴正向的夹角 故平面运动刚体的自由度为 3 。方位角方位角的正向规定：从不动边 Ox 轴转向有向线段 ，转动方向即为正向。A(xA, yA)10理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY(2) 平面运动方程 平面图形的运动方程为(2-1) 上式完全确定平面运动刚体的运动规律，也可以完全确定刚体上任一点的轨迹、速度和加速度。(3) 受约束刚体的平面运动 如果平面图形还受到其他约束时，式 (2-1) 中的 3 个变量彼此不独立，自由度小于 3 。 图形的运动仍然可用式 (2-1) 描述，也可根据具体情况选取新的广义坐标来描

7、述。11理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY(1)平面平移 说明刚体上任一直线在运动过程中始终保持平行。 这是刚体作平面平移的情形，其运动方程为其自由度数为 2 。两种特殊情形：当 时，(2)定轴转动 当 时， 说明在运动过程中，刚体内过 A 点与图形 S 相垂直的直线上的点静止不动。 这是刚体作定轴转动的情形，其运动方程为其自由度数为 1 。12理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY 平面运动刚体的角速度和角加速度1. 平面图形的角位移 已知：平面图形运动时，方位角 随时间变化，即有向线段 的方位是变化的。 设 的时间间隔内，方位角的增量为 ，即通常将 称为有向线段 在 时间内的角位移。A

8、Bx(A)(B)13理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY图形的角位移ABCDx 平面图形在运动过程中其上任意两条有向线段 和 的方位角存在关系其中 为 和 的夹角。对确定的 和 ， 。显然在同一刚体上的两条线段的角位移相等，即表明：在相同的时间间隔内，图形上任意一条有向线段的角位移均与有向线段 的角位移 相等。则图形上有向线段 的角位移 也称为图形的角位移。14理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY2. 平面图形的角速度和角加速度 角速度(2-2)单位： rad/s 角加速度(2-3)单位： rad/s2刚体平面运动的角速度和角加速度 平面图形（刚体平面运动）的角速度、角加速度表示了刚体方位

9、变化的快慢。 平面运动刚体的角速度、角加速度并没有涉及具体转轴，或者说是与转轴无关的量，这与定轴转动时有明显不同。15理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY角速度与转速的关系 刚体作定轴转动时，工程中常用转速 n 作为刚体转动快慢的度量。转速 n 每分钟转过的圈数 n单位：转/分钟、r/min、rpm 。显然，平面图形的角速度、角加速度是可以用代数量表示的物理量。16理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY角速度的转向规定 设 的转向如图所示。ABx当 时， ，刚体的方位是沿着逆时针转向改变，说明 的真实转向为逆时针；当 时， ，刚体的方位是沿着顺时针转向改变，说明 的真实转向为顺时针。另外，要

10、注意 转向与 的转向不一致情形，只有当 时， 的真实转向才与图示转向一致。角加速度的转向规定 角加速度的处理方法与角速度完全相同。17理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY角速度矢量 和角加速度矢量 平面图形的角速度、角加速度也可以表示为沿 Oz 轴的矢量，ABzyxO设 Oz 轴正向的单位矢量为 ，则其中 ， 为角速度和角加速度矢量在 z 轴上的投影，是代数量。故(2-4)(2-5)18理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY角速度矢量和角加速度矢量的另一种处理方法 用矢量方法计算平面运动刚体的各运动学量时，常这样处理角速度矢量： (1) 其方向以转向的形式标在图中，其数值通过运动学方程得到。

11、 转向已知时标出真实转向；转向未知时可在图中假设其转向，一般选其为方位角的转向； (2) 如果所标出的转向是真实转向，那么通过方程解出的代数量 。 (3) 如果所标出的转向是假设的表明实际转向与图中所设一致，表明实际转向与图中所设相反。 角加速度矢量 的处理方法与角速度矢量 相同。19理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY例 刚体作定轴转动，已知刚体的运动方程为 ，试求出图中所设转向的刚体的角速度 和角加速度 的值。A(a)(b)A(c)A20理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY例 半径为 r 的圆轮沿直线轨道运动，在运动过程中，圆轮与轨道接触处无相对滑动（称为纯滚动）。已知轮心的运动规律

12、xC = xC (t) ，试求圆轮的角速度、角加速度及轮边缘上任一点 M 的速度和加速度。解1. 运动分析 圆轮沿水平直线作纯滚动，其自由度为 1 。建立图示直角坐标系CMOxy不失一般性，设 t = 0 时，点 M 与坐标系原点 O 重合，取 xC 为广义坐标，图示 为方位角。CM21理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY2. 建立运动关系由已知条件和所建立的坐标，有(1)CMOxyCM点 M 的运动方程为(2)3. 求 ， ， ， 设 ， 的转向如图所示，则(3)22理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY当 时，结论：即当点 M 与地面接触瞬时，其速度为零，而加速度却不为零。加速度的方向垂

13、直向上，大小为 。这个结论在以后解题中很有用。23理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY 平面图形运动的位移定理欧拉 沙尔定理（位移定理） 平面图形在其自身平面内的任何非平移的位移，可看作是绕图形或其延拓部分上某点 D 的一次转动而达到，点 D 称为转动中心。这个定理也称为欧拉 沙尔定理。证明ABIABIID注意 欧拉 沙尔定理所描述的平面图形由一个位置运动到另一个位置的过程，与真实的运动过程不同。但是，时间间隔 越短，其所描述就越能接近于图形的真实运动情况。24理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY 用速度瞬心法求平面图形上点的速度 由平面图形运动的位移定理（欧拉 沙尔定理）可知 当 时，

14、，转动中心 D 趋于某一确定的位置点 P ，直线段 AB 在 t 瞬时的运动可视为绕点 P 的转动，其瞬时角速度为于是，该瞬时图形上任意一点 M 的速度可表示为(2-6)速度瞬心（瞬时速度中心） 平面图形上（或平面图形延拓部分上）点 P 在 t 瞬时的速度为零，点 P 称为瞬时速度中心，简称速度瞬心 。25理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY结论 平面图形上各点速度的大小与该点至速度瞬心的距离成正比，方向与该点和速度瞬心的连线相垂直，指向与瞬时角速度 的转向相一致。 图形上各点的速度分布情况与图形在该瞬时以角速度 绕速度瞬心 P 转动时一样。 过速度瞬心且垂直于平面图形的轴，称为刚体的速度瞬

15、时转轴。PMP26理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY注意 (1) 平面运动刚体在某一瞬时，其上或其延拓部分上存在且唯一存在速度为零的点，即速度瞬心。 (2) 平面运动刚体在不同瞬时，对应有不同的速度瞬心。即速度瞬心只是瞬时不动。 (3) 平面运动刚体的速度瞬心的速度为零，其加速度并不等于零。瞬时定轴转动 一般平面运动刚体，在每一瞬时，刚体好像是绕速度瞬心作定轴转动，但时刻不同，转轴也不同。从整体过程看，它并不是定轴转动。称平面运动每一瞬时的这种定轴转动为瞬时定轴转动。速度瞬时法 利用速度瞬心求解平面图形上任意一点速度是比较简便且常用的方法，称为速度瞬心法。27理论力学B 第二章刚体的平面运

16、动BRY速度瞬心的确定方法 (a) 速度瞬心必在过平面图形上某点且垂直于该点速度方向的直线上； (b) 平面图形沿该垂直线上各点速度的大小为线性分布。 在某一瞬时 t ，已知平面图形上 A、B 两点的速度方向。(1) 不平行于APB且 不垂直于(2)PBA瞬时平移(3)PBAPBA28(4)PBA(5) 平面图形沿某固定曲线作纯滚动，其速度瞬心为接触点。P瞬时平移理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY瞬时平移 刚体的角速度 ，即刚体“瞬时不转”，在 t t + dt 的时间间隔内，刚体上的各点没有角位移（否则 了），只有平移位移且相等（否则两点之间的距离将发生变化，就不是刚体的模型了），说明刚

17、体上各点在该瞬时具有相同的速度，刚体此瞬时的运动称为瞬时平移。瞬时平移与平移的区别注意29理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY 平面图形上两点的速度关系两点的速度关系 由速度瞬心法知道，平面图形上两点 A 、B 的速度为两式相减得到(2-7)定义：(2-8)图形绕点 A 以图形角速度 转动时点 B 所具有的速度大小方向垂直于 A、B 两点连线，指向图形角速度 的转向则(2-9)平面图形上两点的速度关系30理论力学B 第二章刚体的平面运动BRYBA 点 A 称为基点，这种方法称为基点法。结论 平面图形上某点 B 的速度等于基点的速度与平面图形以其角速度绕基点转动时点 B 所具有的速度之矢量和。

18、矢量方程的两种求解方法 几何法 投影法31理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY例题已知杆 AB 上的 、 ，试求杆 AB 的中点 C 的速度。解方向相反普遍适用32速度投影定理理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY 同一刚体上两点的速度在其两点连线上的投影相等。BA= 0(2-10)投影定理的实质 反映了同一刚体上任意两点间距离保持不变的特性。 不仅适用于平面运动刚体，而且适用于任意运动形式的刚体。 当已知刚体上某点速度的大小和方向及同一刚体上另一点速度的方向而需求它的大小时，利用速度投影定理更加方便。33理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY矢量法矢量法解题的一般步骤1. 运动分析：2.

19、速度分析：选定两点（通常取速度已知的点为基点），写出两点的速度关系式，分析各项速度的大小和方向，并且在图中画出速度矢量图。3. 求解矢量方程：a) 通过所作速度矢量图的几何关系求解未知量；b) 建立坐标轴，通过矢量方程投影于线性无关的两根轴上，得到两个独立的标量方程，然后求解未知量。 应用式 求解任一瞬时刚体作平面运动时的速度问题，这种方法称为矢量法。分析各构件的运动形式；如果未知数不超过两个，则问题可解；34理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY例题找出机构中各构件的速度瞬心。三角板 OAB 作定轴转动点 O 为三角板 OAB 的永久瞬心点 C 为杆 BC 的瞬心点 C 为杆 BD 的瞬心由

20、杆 AE 和杆 DE 的投影定理点 E 为杆 AE 和 DE 的瞬心35理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY例题 如图所示机构，已知 OA = r ，AB = l 。试求图示瞬时的速度瞬心和滑块 B 的速度。OAB解法一两点速度关系(1) 运动分析 杆 OA 作定轴转动，滑块 B 作直线平移，杆 AB 作平面运动。单自由度系统(2) 速度分析大小方向?xy沿 x 轴方向投影36理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY沿 y 轴方向投影OABxy( )( )37理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY解法二矢量图法( )38理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY解法三速度投影定理( )速度投影定理

21、的方法无法求得杆 AB 的角速度必须用基点法或速度瞬心法求杆 AB 的角速度39理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY解法四速度瞬心法杆OA：方向杆AB：速度瞬心为P( )( )40理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY解法一两点速度关系法例题 曲柄连杆机构。已知：OA = r ，AB = l = ，圆弧半径 R = 2r 。在图示位置 时，曲柄角速度为 ，角加速度为 ， ，且 AB 与槽在点 B 的法线夹角 = 30 。试求该瞬时滑块 B 的速度和杆 AB 的角速度。(1) 运动分析：杆 OA 作定轴转动杆 AB 作平面运动滑块 B 的圆周运动(2) 速度分析：大小方向?41理论力学B 第二

22、章刚体的平面运动BRY方向方向转向如图42理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY解法二速度瞬心法杆 OA ：方向杆 AB ：速度瞬心为 P（ ）方向43理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY解法三速度投影法方向速度投影法无法求得 ，求 仍需用上述的 “基点法” 或 “速度瞬心法” 求解。小结 (1) 用 3 种方法，可见基点法是求解平面图形上各点速度的基本方法；瞬心法的应用显得简明方便；速度投影法只能求解点的速度，无法求解平面图形的角速度，因此只求速度时常用此方法。总之，对于不同问题，应选用一种便于求解的方法。44 (2) 选用某种求解速度的方法，相应地要表达清楚。 如 “基点法” ，应写清楚

23、选取哪一点为基点，写出矢量式，同时画出速度矢量图； 如 “瞬心法” ，应在图中画清楚速度瞬心位置； 如 “速度投影定理” ，应在图中画出速度矢量（或速度方位）。 只有表达清楚，才能列式计算求解。理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY45理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY 平面图形上两点的加速度关系 由平面图形上任意两点 A 、B 的速度关系，即(2-11)因为(2-12)(2-13)可见(2-14)所以(2-15)46理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY定义：切向加速度法向加速度(2-16)(2-17)AB则两点的加速度关系(2-19)(2-18)点 A 称为基点。基点法47理论力学B

24、第二章刚体的平面运动BRY切向加速度矢量的大小与方向 相当于图形绕点 A ，以图形角加速度 转动时点 B 所具有的切向加速度大小方向指向与图形角加速度 的转向相一致，画在点 B 处。法向加速度矢量的大小与方向 相当于图形绕点 A ，以图形角速度 转动时点 B 所具有的法向加速度大小方向由 B 指向 A ，画在点 B 处。两点的加速度关系表明 平面图形上任意点 B 的加速度，等于基点 A 的加速度与平面图形以其角速度、角加速度绕点 A 转动时点 B 所具有的加速度之矢量和。该方法也称为加速度基点法。48理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY加速度的投影定理AB(2-20)只有当 时，才有(2-2

25、1)可见，加速度投影定理不同于速度投影定理，加速度投影定理使用起来并不方便，因此不使用加速度投影定理。49理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY加速度的瞬心注意：加速度瞬心速度瞬心可见，加速度瞬心存在，但加速度瞬心的位置不像速度瞬心那样容易找到。M(2-22)(2-23)(2-24)50理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY加速度瞬心的相关结论 某瞬时平面图形上任一点 M 的加速度，其大小与该点至加速度瞬心的距离 MP* 成正比，其方向与 的夹角 （ 至 的转向与 的转向一致）和点 M 的位置无关（如图所示）。M速度瞬心与加速度瞬心注意 (1) 速度瞬心和加速度瞬心都是平面图形或其延拓部分上的

26、某一点，但不是同一个点； (2) 在某瞬时，速度瞬心的加速度不为零，加速度瞬心的速度不为零； (3) 不同瞬时，平面图形或其延拓部分上不同点成为加速度瞬心。51理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY三种特殊情况的加速度瞬心 (1) 若平面图形上某点速度为常矢量，则该点即为加速度瞬心； (2) 若平面图形的 ， ，则这说明，此时 ，对照速度瞬心的确定方法，此时可以与确定速度瞬心一样的办法确定加速度瞬心的位置； (3) 若平面图形的 ， ，则52这说明，此时 由点 M 指向点 P* ，只要已知平面图形（即同一刚体）上两点 A 、B 的加速度方向，则它们的延长线的交点即为加速度瞬心，且点 M 的加速

27、度大小与加速度瞬心的关系简单。理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY加速度瞬心法 用加速度瞬心确定平面图形上点的加速度的求解方法称为加速度瞬心法。加速度瞬时转轴 一般将过加速度瞬心且垂直于平面图形的轴，称为平面运动刚体的加速度瞬时转轴。53理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY中点的加速度公式 点 C 为平面图形上点 A 、B 两点连线的的中点，则54用平面图形上两点的加速度关系解题的一般步骤1. 运动分析：分析各构件的运动形式。2. 速度分析：根据问题需要分析所需构件的角速度或某点的速度。3. 加速度分析：选定两点（通常取加速度已知的点为基点），写出两点加速度关系式，分析式中各项加速度的大小和方向，并画出加速度矢量图。在图中要标出 ， 的转向，当其未知时，则必须先假设。4. 求解矢量方程。如果未知数不超出两个，则问题可解。理论力学B 第二章刚体的平面运动BRY55例题 曲柄连杆机构。已知：OA = r ，AB = l = ，圆弧半径 R = 2r 。在图示位置 时，曲柄角速度为 ，角加速度为 ， ，且 AB 与槽在点 B 的法线夹角 = 30 。