年导数及其应用

1、(2009年广东卷文)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-二,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2厂：)(2009全国卷I理)已知直线y=x+1与曲线y=In(x，a)相切，则a的值为()A.1B.2C-1D.-23.(2009安徽卷理)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x8x-8，则曲线y二f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()A.y=2x_1的切线方程是()A.y=2x_1B.y=xc.y=3x-2D.y=-2x34.(2009江西卷文)若存在过点4.(2009江西卷文)若存在过点15(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2x-9都相切，则

2、a等4A.A.2564、21B.-1或4c.4或-64A.5.(2009江西卷理)设函数f(x)=g(x)x2，曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x1，则曲线1y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为A.4b.C.2D.42x6.(2009全国卷n理)曲线y在点1,1处的切线方程为()答案B2x-1A.x-y-2=0B.xy-2=0C.x4y-5=0D.x-4y-5=0答案A7.(09湖南卷文)若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数则函数y=f(x)在区间a,b上8.8.(2009辽宁卷理)若Xx1满足2x+2=5,X2满足2x+2log2(x1)=5,X1+

3、X2=(B.37C-D.4答案C29.9.(2009天津卷理)设函数f(x)=1x-3lnx(x0),则y=f(x)A在区间A在区间C在区间1(,1),(1,e)内均有零点。e1一(,1)内有零点，在区间e1B在区间(,1),(1,e)内均无零点。e1(1,e)内无零点。D在区间(一，1)内无零点，在区间(1,e)内有零点。e二、填空题10.(2009辽宁卷文)若函数f(x)xa在x=1处取极值，则a二-1y轴的切线，则实数a的取值范围是解析解析由题意该函数的定义域-10,由fx=2ax。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率x,1为0,问题转化为x.0范围内导函数fx=2ax存在零点。x1解法

4、1(图像法)再将之转化为gX-2ax与hx存在交点。当a=0不符合题意，当a.0时，如图1,x数形结合可得显然没有交点，当a：0如图2，此时正好有一个交点，故有a：0应填一:：,0或是:a|a:0?。TOCo1-5hz1解法2(分离变量法)上述也可等价于方程2ax0在0内有解，显然可得a2,0 x2x12.(09江苏卷)函数f(x)=X3-15x2-33x6的单调减区间为.(-1,11)。亦可填写闭区间或半开半闭区间。(2009江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:x3-10 x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.答案：a.13(2009福建卷理

5、)若曲线f(x)=ax十InX存在垂直于y轴的切线，贝y实数a取值范围是答案(亠，0)n*(2009陕西卷理)设曲线y=x(nN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为人,令anlgxn，则aaHa99的值为.答案-2解析：点(1,1)在函数y=xn1(nN*)的图像上，(1,1)为切点，y=xn1的导函数为y(n1)xn=y|x厂n仁切线是：y-1=(n1)(x-1)令y=0得切点的横坐标:令y=0得切点的横坐标:xna.a?299畑瘁2.必9弋岸丄鴛聲乜舟2399100100(2009四川卷文)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V；v,aV，记a的象为f(a)。若映射f:

6、VV满足：对所有a、bV及任意实数J都有f(ab)=f(a)f(b),则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：设f是平面M上的线性变换，a、V，则f(abf(apf(b)若e是平面M上的单位向量，对aV设f(a)=ae,则f是平面M上的线性变换；对aV设f(a)=_a，则f是平面M上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，aV，则对任意实数k均有f(ka)二kf(a)。其中的真命题是(写出所有真命题的编号)答案解：令，=1，则f(a-b)=f(a)f(b)故是真命题同理，：令怎二0，则f(ka)=kf(a)故是真命题：/f(a-a,则有f(b)二-bf(ab)=一(，ab)(_a)(b)f(a

7、)f(b)是线性变换，故是真命题：由f(a)二ae，则有f(bbef(，a：；._b)=(-b)e-(ae)(be)-e-f(a)：.二f(b)-e：e是单位向量，e丰0,故假(2009宁夏海南卷文)曲线y=xex2x1在点(0,1)处的切线方程为。答案y=3xT三、解答题(2009全国卷I理)本小题满分12分。(注意:.在试题卷上作答无效).设函数fx=x33bx23cx在两个极值点xx2，且x,-1,0,x21,2.(I)求bc满足的约束条件,1并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点b,c的区域；(II)证明：-10_fx2分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的

8、能力。大部分考生有思路并能够得分。fx=3x26bx3c由题意知方程fx=0有两个根、x2且-1,0,x1,2.则有-1:0,f00,f10,f2-0故有1r71t/i(11A1LLAi1r71t/i(11A1LLAi2b-c-l0c02+c+l0(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标fx2=x233bx223cx2中的b，(如果消c会较繁琐)再利用x2的范围，并借助(I)中的约束条件得c一2,0进而求解，有较强的技巧性。TOCo1-5hz解析由题意有f(x2)=3x22+6bx2+3c=0.又f(x2)=x23+3b

9、x22+3c/.3ci消去b可得fX2X23X2.又；x21,2，且c-2,0-10fx2)-223219.(2009浙江文)(15分)已知函数f(x)=x，(1-a)x-a(a2)xb(a,bR)(I)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a,b的值；(II)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.解(I)由题意得f(x)二3x22(1-a)x-a(a2)(n)函数f(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数f(0)=b=0f(0)=-a(a2)=_3f(x)在(-1,1)既能取到大于a-3或a=10的实数，又能取到小于的实数即函数f(x)在(-1,1

10、)上存在零点，根据零点存在定理，有f(一1)f(1):0,即：32(1a)a(a2)3-2(1a)-a(a2)：0整理得：(a-5)(a1)(a-1)2:0，解得一5：a：-120.(2009北京文)(本小题共14分)设函数f(x)=x3-3ax-b(a=0).f(x)的单调区间与极值点I)若曲线y=f(x)在点(2,f(x)处与直线y=8相切，求a,b的值；(n)求函数(I)fx=3x2-3a,.曲线y=f(x)在点(2,f(x)处与直线y=8相切,f2=034-a1=0a=4,=f2=88-6ab=8b=24.2(n)vfx=3xaa=0,当a：0时，fx0，函数f(x)在-:上单调递增，

11、此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由fx=x=a,当x三二，“a时，fx0,函数f(x)单调递增，当x三ia,a)时，f(x)a2bx1令f(x)=0,得ax22bx0,f(x)要取得极值,方程2222ax2bx1=0必须有解，所以=4b-4a0,即ba,此时方程ax2bx0的根为-2b-4b2-4a2ax2-2b、4b2-4a2a，所以f(x)二a(x-xj(x-X2)X(-m,X1)X1(X1,X2)X2(X2,+8)f(x)+0一0+f(X)增函数极大值减函数极小值增函数当a:0时,xf(x)f(x)(4,x?)减函数x20极小值(x2,X1)+增函数X10极大值(X1,+8)减函数

12、所以f(X)在x1,x2处分别取得极大值和极小值所以f(X)在X1,X2处分别取得极大值和极小值ax2bx1在0(0,1上恒成立即综上，当a,b满足b2a时，f(X)取得极值.要使f(x)在区间(0,上单调递增，需使f(x)21、TOCo1-5hza(x-)ax1ax1ax1a1ab,x(0,1恒成立，所以b_()max设g(x),g(x)2具2x22x22x22x2x111ax1令g(x)=0得x：=或x：(舍去),当a1时,01,当x(0,=)时g(x).0,g(x)单JaJaaJa22xax11调增函数；当X-(=,1时g(x)0,g(x)单调减函数，所以当x时,g(x)取得最大，最大值

13、为Va22xTaiaxig()=-、a.所以b_-、a当0：a空1时，1,此时g(x)_0在区间(0,1恒成立所以g(x)在.a.a22x区间(0,1上单调递增，当x=1时g(x)最大，最大值为g(1)=_，所以b_-皂综上，当a1时，b_i、a；2当01(I)讨论f(x)的单调性；(n)若当xC0寸，f(x)0恒成立,3求a的取值范围。解(I)f(x)=x2-2(1a)x4a=(x-2)(x-2a)由a1知，当x：2时，f(x)0,故f(x)在区间当x2a时，f(x)0,当x2a时，f(x)0,(-：,2)是增函数；当2：x：2a时，f(x)：0，故f(x)在区间(2,2a)是减函数;故f(

14、x)在区间(2aJ是增函数。综上，当a1时，f(x)在区间(-：,2)和(2a,=)是增函数，在区间(2,2a)是减函数。(II)由(I)知，当X0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值。1132432f(2a)=(2a)(1+a)(2a)+4a2a+24a=a+4a+24af(0)=24a由假设知f(2a0,3(0)0,a1,4即a(a3)(6)0,解得1a0,(I)讨论的单调性;(H)设a=3，求11在区间1，丁上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数f(x

15、)在le21上的值域。a1解析(1)由于f(x)=12-令t得y=2t2-at1(t=0)XXx当厶二a2-8一0,即0：a一2、2时，f(x)_0恒成立.f(x)在(一,0)及(0,+)上都是增函数当8即a22时由2tat10得或t:x:x:或x:0或x-a亠，；a2-84又由2t2-ar0得a-,a2-84a,a2-84a-a2-8a亠、a2-8x22综上当0：a:22时，f(x)在(-：,0)及(0,七)上都是增函数.当a：2、2时，f(x)在a_Ja2_8a_Ja2_8aa2-82)上是减函数，在(_oa,0)(0,a.a2-82-：)上都是增函数当a=3时，由(1)知f(x)在【1,

16、2】上是减函数.在？,e2上是增函数.又f(1)=0,f(2)=231n2v0.函数f(x)在|1,e2上的值域为2-31n2,e2-|-5_-e39226.(2009江西卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)二xx，6x-a.(1)对于任意实数x,f(x)一m恒2成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求a的取值范围.解析(1)f(x)=3x29x6=3(x1)(x-2),因为x(：，：)，f(x)一m,即3x29x(6-m)一03恒成立，所以，=81-12(6-m)一0,得m-，即m的最大值为-一4(2)因为当x：1时，f(x)0;当1：x：2时，f(x)：0;当x

17、2时，f(x)0;所以当x=1时，f(x)取极大值f(1)a；当x=2时，f(x)取极小值f(2)=2-a；2故当f(2)0或f(1)：0时，方程f(x)=O仅有一个实根解得a：2或a丁xe27.(2009江西卷理)(本小题满分12分设函数f(X)二x(1)求函数f(x)的单调区间；(2若k0,求不等式f(x)k(1-x)f(x)0的解集1x1解析(1)f(x)2exex2ex,由f(x)=0,得x=1.因为当x：0时，f(x)：0；当0：x：1xxx时，f(x)：0；当x1时，f(x)0；所以f(x)的单调增区间是：1J；单调减区间是：(-：，0),(0,1.2jx-1kx-kxx(x-1)

18、(-kx1)xf(x)k(1-x)f(x)2e2e0得：(x-1)(kx-1)：0.TOCo1-5hzxx1故：当0k1时，解集是：x1ex；当k=1时，解集是：0；当k=1时，解集是：彳一vxd.kk32228.(2009天津卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)xx(m-1)x,(R,)其中m0(I)当3m=1时，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率(n)求函数的单调区间与极值；(川)已知函数f(x)有三个互不相同的零点O,x1,x2，且x1：x2。若对任意的xx.!,x2,f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围。答案(1)f(x)在(-：,1-m)和(1m,：)内减函数，在(

19、1-m,1m)内增函数。函数f(x)在x=1-m处321取得极大值f(1m)，且f(1m)=mm函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1m)，且TOCo1-5hz33x2,f/(x)=x3x2,f/(x)=x22x,故f(1)=1所以曲线3211f(1-m)=mm解m=1时，f(x)x33y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为1.(2)解析f(x)=-x22xm2-1，令f(x)=0,得到x=1-m,x=1m因为m0,所以1m1-m当x变化时,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:1-m(1-m,1m)(1m,：)f(x)f(x)极小值极大值f(x)在(-：,1-m)和(1m

20、,二)内减函数，在(1-m,1m)内增函数。2m2函数f(x)在x=1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)=2m33知1)2(b1)2122综上,对任意的b、11c都有M而当，b=0,c时，g(x)=22-x212-在区间1,1上的最大值M22-K对任意的b,c恒成立的k的最大值为122321函数f(x)在X=1m处取得极小值f(1m)，且f(1_m)=一m3m2-TOCo1-5hz3221(3)解析由题设，f(x)=x(xxm-1)x(x-xj(x-x2)332242所以方程x2xm2-1=0由两个相异的实根x1,x2，故x1x3，且J：二1(m21).0，解得311m(舍)，m.-21因

21、为x1:x2,所以2x2x1x3,故x21若捲_1沐2,则f(1)(1-捲)(1-x2)_0，而3f(X1)=0，不合题意若1：X1：X2,则对任意的X1,X2有x-X1_0,x-X2_0,1则f(x)x(x-xj(x-X2)_0又f(xj=0，所以函数f(x)在XEX,X2的最小值为0，于是对任意31,3J3的xx1,x2，f(x)f(1)恒成立的充要条件是f(1)=m20，解得m:33综上，m的取值范围是厂2330.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)(注意：在试题卷上作答无效)1”2在R上定义运算：P：qp-cq-b4bc(b、c为实常数)。记t-2c,f?r丄2b,34R令f=f1

22、：f2；如杲函数f在=1处有极什-一，试确定b、c的值；3(II)求曲线y=f()上斜率为c的切线与该曲线的公共点；(Hi)记g(x)=f(x)|(1兰x兰1)的最大值为M.若M-k对任意的b、c恒成立，试示k的最大值。当b时，函数y=f(x)得对称轴x=b位于区间1,1之外此时M=maxg(1g,(g)b由f-f(-1)=4b,有f(b)-f(_1)=(bm1)2一0若1zb0,则f(1)f(-1)aln1x2=x2-(2x2+2x2)ln1x2、221设hx=x-(2x2x)ln1x(x)，则hx=2x-2(2x1)ln1x-2x=-2(2x1)ln1x1-2In241-2In2411(,

23、0)时，hx0,h(x)在-？,0)单调递增；当x(0,：)时，hx：0,h(x)在(0：)111_2ln2单调递减。.当x(,0)时，hx、h()故fX2=h(X2)33.(2009湖南卷文)(本小题满分13分)已知函数f(x)=x3bx2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(i)求b的值;2解：(i)f(x)=3x(n)若f(x)在x二t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域。2bxc.因为函数(x)的图象关于直线x=2对称，所以-一=2，于(n)由(i)知,6f(x)=x3-6x2cx,f(x)=3x2-12xc二3(x-2)2c-12.(i)当c_12时，f(x

24、)_0,此时f(x)无极值。(ii)当c12时,f(x)=0有两个互异实根,x2不妨设vx2，则xv2vx2.当xv咅时，f(x)0,f(x)在区间(-二必)内为增函数;当X1vxvX2时，f(x)=0,f(x)在区间(X1,X2)内为减函数；当xx?时，f(x)0,f(x)在区间(x2：)内为增函数.所以f(x)在X=为处取极大值，在X=X2处取极小值因此，当且仅当c1时,1_2a：-1x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(_：,1_2a)(1-2a,-1)(-1,:)f(x)+一+f(x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(：,1-2a)和，单调减区间为

25、(1-2a,-1)。当a=1时，1-2a-1此时有f(x)-0恒成立，且仅在x-1处f(x)=0，故函数f(x)的单调增区间为R当a1时，1-2a.-1同理可得，函数f(x)的单调增区间为(-：，-1)和(1-2a：)，单调减区间为(-1,1-2a)综上：当a1时，函数f(x)的单调增区间为(-：，1-2a)和，单调减区间为(1-2a,-1)；当a=1时，函数f(x)的单调增区间为R；当a01m：53(-1)6-(m-4m4)-0等价于22即m或m：-1,解得2m:53m-6m-(m-4m+4)A0m汨m1又因为-1：:m乞3,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.TO

26、Co1-5hzx2(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)设f(X)=e(axX1)，且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行。求a的值，并讨论f(x)的单调性；证明：当日乏0,=时，f(cos日)_f(sing)0从而f(x)在(-：，-2)，(1,：)单调减少，在(-2,1)单调增加.6分()由(I)知f(x)在0,1单调增加，故f(x)在0,1的最大值为f(1)=e，最小值为f(0)=1.从而对任意x1，x0,1，有f(xj-f(x2)|兰e1c2.10分而当v0,时，cosv,sinv0,1.2从而f(cost)-f(sinR|；：212分(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)2

27、已知函数f(x)=x-ax+(a1)lnx，a1。2(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若ac5，则对任意x1,x2(0,+处),xx2，有f(“)-1。解析(1)f(x)的定义域为(0,二)。f(x)=x-a口J?-axTy分xxx(i)若a-1=1即a=2,则(x)(x-1)2x故f(x)在(a-1,1)单调减少，在(0,a-1),(1,：)单调增加。(iii)若a-1-1,1卩a2,同理可得f(x)在(1,a-1)单调减少，在(0,1),(a-1,：)单调增加.(II)考虑函数g(x)二f(x)x2x-ax(aT)lnxx2_(a_1)=1_(、禹_1)2a1则g(x)=x-(a

28、T)2故f(x)在(0,v)单调增加。(ii)若a-1-1,而a-1，故1：a：；2,则当(a-1,1)时，f(x)：0；f(x)0当x(0,a-1)及x(1,：)时,f(x)f(x)+x-xA0f(x)f(x)+x-xA0故f(x1)-f(x2)x,-x20%：X2时，有12分f(xj-f(X2)_f(X2)-f(xjXiX2XiX2X2_x(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)已知函数f(x(x33x2axb)e(1)如a=b=，求f(x)的单调区间;(1)若f(x)在(-：，),(2,J单调增加，在(，2),(-：)单调减少，证明(i)当a二b二-3时，f(x)=(x33x2-3x

29、-3)e，故f(x)=-(x33x2-3x-3)e(3x26x-3)e二-e(x-9x)=-x(x-3)(x3)e当x：-3或0：x:3时,f(x)0;当一3：x:0或x3时,f(x)：0.从而f(x)在(-二，-3),(0,3)单调增加，在(-3,0),(3,：)单调减少.2v2xx3(n)f(x)-(x3xaxb)e(3x6xa)e-ex(a-6)xb-a.由条件得：f(2)=0,即232(a-6)b-a=0,故b=4-a,从而f(x)=-ex3(a-6)x4-2a.因为f(：)=f(J=0,所以x3(a-6)x4-2a=(x-2)(x-：)(x-)=(x-2)(x2-(二心)x】“).将

30、右边展开，与左边比较系数得，-2,-a-2.故：-二.，(、用)24J124a.又-2)(-2):0,即-2(：亠卩)-40.由此可得a：-6.于是x6.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-3ax-1,a=0求f(x)的单调区间；若f(x)在x-1处取得极值，直线y=my与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。22解析(1)f(x)=3x-3a二3(x-a),当a0时，对xR，有f(x)0,当a0时，f(x)的单调增区间为(一：)当a0时，由f(x)0解得x：-、a或xa；由f(x)：0解得fa：x：-、a，当a0时，f(x)的单调增区间为(：，-、a

31、),(、a,=);f(x)的单调减区间为。(2)因为f(x)在X=-1处取得极大值，所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,a=1.所以f(xp3X-3x1,f(x)2由Xf(x)30解得x-1,x2=1。由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x=T交点，又f(：)=-19：_3,f(3)=171，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(一3,1)。1_x40.(2009陕西卷理)(本小题满分12分)已知函数f(x)=1n(ax1),x_0，其中a.01+xi若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；i11求f(x)的单调区间；(川)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围。2解(I)f(x

32、)二宀ax+1axa-2(1x)y=5x-10。(I)求函数f(x)的解析式；(II)设函数g(x)二f(x)mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取(ax1)(1x)2f(x)在x=1处取得极值，f(1)=0,即a7-2=0,解得a=1.5养芥:50,-ax10.当a_2时，在区间(0,：)上,f(x)0,f(x)的单调增区间为(0,：).，由f(x):0解得x:当0:a:：:2时，由f(x)-0解得xf(x)的单调减区间为(0,店3),单调增区间为(川)当a一2时，由(n)知，f(x)的最小值为f(0)=1;当0：a：2时，由(n)知,当0：a：2时，由(n)知,f(x)在x-号处取得最小

33、值厂：f(0)=1,综上可知，若f(x)得最小值为1，则a的取值范围是2,：).3241.(2009四川卷文)(本小题满分12分)已知函数f(x)二x2bx，cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是21当函数有极值时，则讥亠0，方程3x_4x1m=0有实数解，由厶=4(1-m)_0，得mil.3当m=1时,当m=1时,TOCo1-5hz2g(x)-0，故函数g(x)无极值g(x)-0，故函数g(x)无极值g(x)=0有实数x，在x左右两侧均有311.当m：1时，g(x)=0有两个实数根x1(2好1-m),x2(2亠：1-m),g(x),g(x)情况如下表:3xxi)X1(捲必)X2(X2+旳)

34、g(x)+00+g(x)/极大值极小值/TOCo1-5hz1,1,所以在m(1)时，函数g(x)有极值；当x(2-1-m)时，g(x)有极大值；当x(21-m)时，g(x)33有极小值；12+42.(2009湖北卷文)(本小题满分14分)已知关于x的函数f(x)=x3+bx+cx+be,其导函数为f(x).令g(x)3=1f+(x)I，记函数g(x)在区间-1、1上的最大值为M.(I)如果函数f(x)在x=1处有极值-，试确定b、e3的值：(H)若IbI1,证明对任意的e,都有M2:(川)若MBK对任意的b、e恒成立，试求k的最大值。I)解=-x22bxe由f(x)在x=1处有极值-4可3f(

35、1)j2beb=1b114得彳,或彳f(1)bebee=-1c=333若b=1,c二1，则f(x)二-x22x-(X-1)2岂0，此时f(x)没有极值;若b1,c=3，则f(x)x2-2x3=(x1)(x-1)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-二，-3)-3f(x)-0f(x)极小值-12(-3,1)1(1/:)+0:匚4极大值-3匚的最值在两端点处取得。故M应是g(_1)和g(1)中较大的一个假设M2，则g(J)圧2b|”gQ|车2b|2上述两式相加得：4_1-2bc|-12bc|_4|b|.4，导致矛盾，.M.2将(川)解法1：g(x)=|f(x)|=|(xb)2b2c

36、|(1)当|b|1时，由(n)可知M.2；(2)当|b|1时，函数y=f(x)的对称轴x=b位于区间一1,1内,此时M=maxfg(1),g(1),g(b)1由f(1)一f(一1)=4b,有f(b)-f(_1)=b(千1)2_0若一1乞b乞0,贝Uf(1)空f(一1)空f(b),.g(-1)1,则|f(a)|=12a212a故当x1,4a时|f(x)|辽12a不恒成立.14所以使|f(x)|_12a(x1,4a)恒成立的a的取值范围是(，.544.(2009天津卷理)(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x2ax-2a23a)ex(xR),其中aR2(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(

37、1,f(1)处的切线的斜率；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间与极值。3(I)解当a=0时，f(x)=x2ex,f(x)=(x22x)ex，故f(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为3e.(II)解：f(x)=x2(a2)x-2a24aex.2令f(x)=0,解得x=2a，或x=a-2由a知，-2a=a-2.以下分两种情况讨论。32(1)若a-，贝U-2ava-2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：3x-：，-2a-2a-2a，a-2a-2a-2，：+0一0+/极大值极小值/所以f(x)在(-:，-2a),(a-2，：)内是增函数，在(-2a，a

38、-2)内是减函数.函数f(x)在x二-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)tae.函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea3-2aa-2，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:0极小值0极大值a-2),(-2a，内是增函数，在(a-2,-2a)内是减函数。函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea3函数f(x)在x一-2a处取得极小值f(-2a),且f2a3aea.*af(n)(I)求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；(II)若nN求lim；(III)当a=e(e为自然对n*an+a

39、数的底数)时，设h(x)=(1-ef(x)(x2-m1)，若函数h(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。解析(I)由题意知1-ax0当0：a:1时，f(x)的定义域是(0,：);当a.1时,f(x)的定义域是(f(x)=f(x)=-axlna1-axglogae=axax-1当0：a：1时，x(0,因为ax-1：0,ax0,故f(x)1时，xe(t0),因为ax-1c0,a0,故fx)0,因为n是正整数，故a1a0a1.所以limn=limnYa+aYa+a(川)h(x)二ex(x2m1)(x：0),所以h(x)=ex(x22xm1)令h(x)=0,即x2x-m1=0,由

40、题意应有-0,即m_0当m=0时，h(x)二0有实根X-1，在X-1点左右两侧均有h(x)0故无极值当0：m：1时，h(x)=0有两个实根N一1-;；m,x2厂-1.m当x变化时，h(x)、h(x)的变化情况如下表所示:xx1(0X2)x2(X2,0)h(x)+0-0+h(x)/极大值极小值/-h(x)的极大值为2e4m(Vm)，h(x)的极小值为2em(1-m)当m_1时，h(x)=0在定义域内有一个实根，x-T-m同上可得h(x)的极大值为2e_m(Vm)综上所述，m(0,二)时，函数h(x)有极值；当0：m:1时h(x)的极大值为2e_m(V.m)，h(x)的极小值为2e丄七m(1_jm

41、)当mzl时，h(x)的极大值为2eAm(Vm)13246.(2009福建卷文)(本小题满分12分)已知函数f(x)xaxbx,且f(_1)=0(l)试用含a的代数式表3示b;(n)求f(x)的单调区间；(川)令a=1,设函数f(x)在x1,x2(x1:x2)处取得极值，记点Md，f(xj),N(X2,f(X2)，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点;解法一：(D依题意，得f(x)二x22axb由f(一1)=1-2ab=0得b=2a-11322由(得f(xH3xax(2a)x(故m2ax2a(x1)(x2a)令f*(x)=0，贝Ux-1或x=12a当a.1时,当a.1时,1-2a

42、：-1当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:(-2a,-1)(-1：)f(x)f(x)f(x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(q1-2a)和(-1：)，单调减区间为(1-2a,-1)由a=1时，1_2a-1，此时，f(x)_0恒成立，且仅在x-1处f(x)=0，故函数f(x)的单调区间为R当a：1时,1-2a-1，同理可得f(x)的单调增区间为(-：，-1)和(1-2a,=)，单调减区间为(-1,1-2a)综上：当a1时，函数f(x)的单调增区间为(-：，1-2a)和(-1：)，单调减区间为(1-2a,-1)；当a=1时，函数f(x)的单调增区间为R；当a

43、：1时，函数f(x)的单调增区间为(-：，-1)和(1-2a,=)，单调减区间为(-1,1-2a)1(川)当a-1时，得f(x)x3-x2-3x由f(x)二x3-2x-3=0,得石=1,x2二33由(n)得f(x)的单调增区间为(：，-1)和(3,=)，单调减区间为(-1,3)所以函数f(x)在X1=-1.X2=3处58取得极值。故M(-1,一).N(3,-9)所以直线MN的方程为yx-133L122y=x-x-3x3y8x-1L3得-3x2x3=0令F(x)=x3-3x2-x3易得F(0)=30,F(2)-3：0，而F(x)的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线,故F(x)在(0,2)内存

44、在零点Xo，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点解法二：(I)同解法一(H)同解法一。TOCo1-5hz1322(川)当a1时，得f(x)x-x-3x，由f(x)二x-2x-3=0,得x,=-1,x2=33x由(n)得f(x)的单调增区间为(-：，-1)和(3,：)，单调减区间为(-1,3)，所以函数f(x)在捲=一1公2=3处8取得极值，故M(-1,),N(3,-9)所以直线MN的方程为yx-133132qyx-x-3x332由得x3xx*3=0解得Xr=-1,X2=1.X3=38yyX=-1|X2-11x3=3115113所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,-丄

45、)y3,y2-3,幽二-9349.(2009重庆卷理)(本小题满分13分，(1)问5分，(n)问8分)2设函数f(x)=axbl1时，g(x)0在F上恒成立,x2故函数g(x)在R上为增函数故函数g(x)在R上为增函数(2)当厶=4-4k=0,即当k=1时，g(x)=0(x=0)(x+k)K=1时，g(x)在R上为增函数(3)-4_4k-0,即当0k1时，方程x22xk=0有两个不相等实根x1=1-，1-k,X2=.1-k当X(-：,1-一d)是g(x)0,故g(x)在(-：，1-、存)上为增函数当x(1-、1-k,1J-k)时，g(x)0解得3,：所以实数a的取值范围：a三is3(n)因x-

46、1时函数y=g(x)取得极值,故有g(_1)=0即3-2a-1=0,解得a=221又g(x)=3x24x1=(3x1)(x1)令g(x)=0,得论=-1,x2：当x(-：,-1)时,g(x)0,故g(x)在(-：,-1)上为增函数-1-31g(x)0,故g(x)在(-，：)上为增函数3-1-31g(x)0,故g(x)在(-，：)上为增函数311X(-1,)时，g(x)g(x)，那么下列情形不可能.出现的是a.0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值C.0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值f(x)g(x)，那么下列情形不可能.出现的是a.0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值C.0是

47、f(x)的极大值，但不是g(x)的极值()答案CB.0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值D.0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值(2006年天津卷)函数f(X)的定义域为开区间(2006年天津卷)函数f(X)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(a,b)内有极小值点(C.3个D.4个答案A函数f(x)在开区间(a,b)内有极小解析函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,1个，选A.1个，选A.值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有二、

48、填空题(2008年全国二14)设曲线y=eax在点(0,)处的切线与直线x2y0垂直，则a二答案212.(2008年江苏卷8)直线yx-b是曲线y=1nxx0的一条切线，则实数b=答案ln21.(2007年江苏13)已知函数f(x)=x3-12x8在区间-3,3上的最大值与最小值分别为M,m，则M-m=_321(2007年湖北文13)已知函数y二f(x)的图象在点M(1,f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)，f(1)二323(2007年湖南理13)函数f(x)=12x-X3在区间-3,3上的最小值是.答案-163218.(2007年浙江文15)曲线y=x-2x-4x2在点(1,-3)处的切

49、线方程是.答案5x，y-2=019.(2006年湖北卷)半径为r的圆的面积S(r)=7：r2,周长C(r)=2二r，若将r看作(0,+)上的变量，则(二r2)丄2二r,式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0,+)上的变量，请你写出类似于O的式子：式可以用语言叙述为：。43432432V球=R,又(R3)=4二R故0式可填(R3)=4二R，叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。33320.(2005年重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为答案8/3三、解答题3221.(2008年全国一19)已知

50、函数f(x)=xaxx1,aR.(i)讨论函数f(x)的单调区间;(n)设函数f(x)在区间-2,-1I133丿内是减函数，求a的取值范围.解析(1)f(x)=x3ax2x1求导：f(x)=3x22ax1当a20,f(x)在R上递增当a23,f(x)=0求得两根为a3即f(x)在-a-a2-3一：，_3递增，-a-.a2-3-a.a2_333递减,-aa2-33,+比递增(2)-a-a3233，且-a；a31孑33a23解得：a-422.(2008年北京卷18)已知函数f(x)2x-b2，求导函数f(X)，并确定f(x)的单调区间.(x-1)2解析f(x)_2(x-1)(2xb)(x-1)-2

51、x2b-22x-(b-1)(x-1)4(x-1)3(x-1)3令f(x)=0，得x=b_1.当b_1：1，即b:2时，f（x）的变化情况如下表:x(一“,b-1)b-1(b-1,1)(1,=)f(x)当b-11，即b2时，f（x）的变化情况如下表:f(x)（1,b-1)b-1(b-1,=)所以，当b:2时，函数f（x）在（_：:,所以，当b:2时，函数f（x）在（_：:,b-1）上单调递减，在（b-1,1）上单调递增，在（1,：）上单调递减.当b2时，函数f（x）在（-：,）上单调递减，在（1,b_1）上单调递增，在（b_1,：）上单调递减.2当b-1=1，即b=2时，f（x），所以函数f（x

52、）在（-：:,1）上单调递减，在（1,：）上单调递减.x-1（I）当a=-10时，讨论函数3（I）当a=-10时，讨论函数323.（2008年天津卷21）（本小题满分14分）已知函数f（x）=x+ax+2x1所以f（x）在（0,）,（2,：-）内是增函数，在（-：-,0）,（,2）内是减函数.2（u）解析f（x）二x（4x23ax4），显然x=0不是方程4x23ax4=0的根.24.（2005年安徽卷）设函数fXi；=XbxX（X，R），已知g（x）二f（X）-f（x）是奇函数。（I）求b、c的值。（u）求g（x）的单调区间与极值。解（i）：fx=x3bx2cx,fx二3x22bxc.从而+b

53、（R）,其中a,bRf（x）的单调性；（H）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围;（山）若对于任意的a-2,2，不等式fx-1在-1,1上恒成立，求b的取值范围.(I)解析f(x)二4x33ax24x二x(4x23ax4)101当a时，f(x)=x(4x2-10 x4)=2x(2x-1)(x-2)令f(x)=0，解得x=0,x2,x3=22当x变化时，f（X）,X（-：,0）f（x）的变化情况如下表：12（如）2(2,01(0匚2f(X)-0+00+f(X)极小值/极大值极小值/32232g(x)二f(x)-f(x)二xbxcx_(3x2bxc)=x(b_3)x(c_2b)x_c是

54、一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3；u)由(i)g(x)=x6x，从而g(x)=3x26，由此可知，(一2,=2)和(、,2,：)是函数g(x)是单调递增区间；(-J2,、.2)是函数g(x)是单调递减区间；g(x)在x=-2时，取得极大值，极大值为4、2，g(x)在x=.2时，取得极小值，极小值为2。25.(2005年全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解设容器的高为x，容器的体积为V,1分_则V=(90-2

55、x)(48-2x)x,(0W24)5分=4x3-276x2+4320 x/V=12x2-552x+43207分由V=12x2-552x+4320=0得刘=10，X2=36/x0,10 x36时，V36时，所以，当x=10,V有极大值V(10)=196010分又以当x=10,V有最大值V(10)=196012分V0,V(0)=0,V(24)=011分所2009年联考题一、选择题1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分g(x)=1nxf(x)的零点所在的区间是D.(2,3)答案C2.(2009天津重点学校二模)已知函数y=f(x)是定义在式f(x)xf(x):0成立，若a=

56、30.311c二(log3)f(log3)，则a,b,c的大小关系是99A.abcb.cbac.cabd.acb答案下列图像中有一个是函数f(x)ax2(a2_1)x1(aR,a=0)的导数f(x)的图3.(2009嘉兴一中一模)像，则f(一1)二c.715或答案33y=x-4-2=2x4.(2009年乐陵一中)图中，阴影部分的面积是()A.16答案二、填空题5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为2,心)，部分对应值如下表，(X)为f(x)的导函数，函数y=f(x)的图象如右图所示，若两正数a,b满足f(2ab)1，a+3.答案37、I13二aZ1

57、，a?.a的取值范围是a_1.12分18.(2009厦门大同中学)设函数f(x)x2a)-3x1318.(2009厦门大同中学)设函数f(x)x2a)-3x130：a：1(1)求函数f(x)的极大值；(2)若x1a,1-al时，恒有x1a,1-al时，恒有-a-f(x)_a成立(其中fx是函数fx的导函数)，试确定实数a的取值范围.22f(x)-x4ax3a，且0：a：1，1分当f(x)0时，得a：x：3a；当f(x)：0时，得x:a或x3a；f(x)的单调递增区间为(a,3a)；f(x)的单调递减区间为(,a)和(3a,：)故当x=3a时,f(x)有极大值，其极大值为f3a=1.4分(2)v

58、fx=-x24ax=-x-f1-a=-8a6a-1,21，当0：a时，1-a2a，3f(x)h=f1乜=2a1.f(x)在区间1a,1a内是单调：a乞f(x)，二：a乞f(x)，二；2-8a6a-1_a,此时,2a-1-_a.1当3时，煮x)max=f2a-a：-a一f(x)一a,a2空a,2a-1X-a2弋a+6aTa0乞a空1,a斗167-后1611此时，1_a3.7.17一16.13分综上可知，实数a的取值范围为卩，7*1714分169月份更新1.(2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考)已知函数f(x)二kx3-3(k1)x2k24，若f(x)的单调减区间恰为(0,4)o(I

59、)求k的值：(n)若对任意的t-1,1，关于x的方程2x2+5x+a=f(t)总有实数解，求实数a的取值范围。2|解：(1)f(x)=3kx-6(k1)x又f(4)=0,k=12(n).f(t)=3t12t1：t：0时f(t)0;0：t：1时f(t)：0且f(一1)=一5,f(1)=-3,2.(2009天津六校联考)其定义域内是增函数，求最值：2x25xa_8_25吐25空5解得a空-15812已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax5x2=0)(1)若a=-2时，函数h(x)=f(x)-g(x)在b的取值范围；(2)在(1)的结论下，设函数(x)二e2xbex,x0,In2求函数(x)的-当

60、X，0,21时,f(x)的值域是f(X1)-g(x)=0,0,|Ag(x)二ax2_a2.当一三MN亠兰iZEfififc7在1“2JJL人豳區歡二才一N-=dVU弘：2-XJW932(2009汉沽一中第六次月考)已知f(x)二ax3x-x1,aR.(i)当a=-3时，求证：f(x)在R上是减函数；(n)如果对-xR不等式f(x)乞4x恒成立，求实数a的取值范围.解I)当a二-3时，f(x)二3x33x2-x1f/(x)=-9x26x-1=-(3x-1)2乞0/f(x)在R上减函数(n)/-xR不等式f(x)空4x恒成立即-xR不等式3ax26x-1_4x恒成立.一xR不等式3ax2,2x-1