划艇比赛成绩模型

1、划艇比赛的成绩问题重述：赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。现在考虑八人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg）,建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。T.A.McMathon比较了各种赛艇19641970年四次2000m比赛的最好成绩（包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛），见表5第1至第6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。艇种2000砒成绩t(min)艇长l(m)艇宽b(m)l/b艇重w0

2、kg）桨手数n1234平均单人7.167.257.287177.217.930.29327.016.3双人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486136.3211.750.57421.0181八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7表5各种艇的比赛成绩和规格模型分析：赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。船靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分的动力。建模目的是寻求桨

3、手数量与比赛成绩（航行一定距离所需时间）之间的数量规律。如果假设艇速在整个赛程保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的。为了分析所受阻力的情况，调查了各种艇的几何尺寸和重量如表5。观察第7至10列给出的这些数据，可以看出，桨手数n增加时，艇的尺寸l,b及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0/n变化不大.若假定l/b是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系。若假定w0/n是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系。此外还

4、需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型。模型假设：1各种艇的几何形状相同，艇的尺寸l,b,lib为常数；艇重w0与桨手数n成正比。这是艇的静态特性。2.艇速v是常数，前进时受的阻力f与sv2成正比（s是艇浸没部分面积）。这是艇的动态特性。3桨手数为n=8不变，每个桨手体重记作w;在比赛中每个桨手的划桨功率p保持不变，且p与w成正比。这是桨手的特征。假设的合理性说明：假设1是根据所给数据作出的必要且合理的简化。假设2中，根据物理学的知识，运动速度中等大小的物体所受阻力f符合假设2中f与sv2成正比的情况。假设3中，w,p为常数属于

5、必要的简化，而p与w成正比可解释为：p与肌肉体积、肺的体积成正比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与体重w成正比。模型构成：有n名桨手的划艇的总功率np与阻力f和速度v的乘积成正比,即npgfv有假设2,3，fgfv2，Vwgs丿代入（1）式可得(1)pgw3(2)由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积S与艇的某特征尺寸C的平方成正比（sgC2），则艇排水量体积A必与c的立方成正比（Agc3），于是有SgA2（3）3又根据艇重U与桨手数目n成正比，所以艇和桨手的总重量W=U+nw（4）而由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量W成正比，即2SXW3AxW(5)(3)，(5)，式给出(6)因

6、为比赛成绩t(时间)与V成反比，所以tX1/T(7)综上得：V=k(U+nW),S二kV2/357模型求解：如果八人艇分为重量级组和轻量级组，规定重量级组运动员体量为86公斤，轻量级组运动员体重为73公斤。表列八人艇是重量级组的成绩,请推断说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%。设：轻量级组的运动员体重,划艇浸没面积,艇速和成绩分别为W,S,v,T,相应的重量级组为W,S,v,T。根据前面得到的艇速的模型,，有12222二(WW)1/3(S.S)1/3r12v(nWS)1/3ccrcv(nWS)1/3v=k(nW/S)1/3111，V2=k(nW2/S2)1/3因此根据浸没面积与排水体积的模型

7、S=kV2/3，和排水体积与人数模型Vk(U+nW)，5S1S2(U+nW)2/31-(U+nW丿2(W)2/3IW2zs1亍2s可得(W/W)1/9(T/T)T0.896498211221S2由于W/W=86/73=1.178则有1.018(T/T)1.056。2112所以重量级组的成绩比轻量级组大约好5%，成立。四、实验步骤为了利用数据实现最小二乘法的拟合，需两边同时取对数，即logt=loga+b*logn,把它作为一次项多项式用polyfit函数进行运算，程序如下:n=l,2,4,8;t二7.17,6.77,6.13,5.73;tl二7.21,6.88,6.32,5.84;p=poly

8、fit(log(n),log(t),1);p1二polyfit(log(n),log(t1),1);a二exp(p(2)b=p(1)a1=exp(p1(2)b1=p1(1)t1二a*n.6;plot(n,t,，+，,n,t1,，_，)五、实验结果结果求得a=7.2146,b=-0.1114,a1=7.2842,b1=-0.1035;实际数据与计算结果的图像如下所示：六、实验讨论、结论书中给出的实验结果是用第四列的时间来计算得到的，再利用第五列的平均时间计算可得到al和bl的值。单纯的只运用比例的建模方法推导出得函数关系可能不太精细，也得不到具体的关于速度的表达式，但对于解决这个问题-人数和时间关系而言已经足够了，由图可知基本符合实际情况。七、参考资料艇种2000m成绩t(min)艇长l(m)艇宽b(m)l/b艇重w0(kg)/桨手数n1234平均单人7.167.257.287.177.217.930