自动控制原理：第8讲（第三章 二阶系统时域分析）

1、第8讲 二阶系统时域分析2022/8/21 二阶系统：二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统。微分方程：传递函数：2022/8/22 二阶系统基本参数描述1、二阶系统描述Simulink仿真：观察K、T分别取不同的值，会出现什么样的变化？通过研究K、T的变化可以得到不同的系统性能表现。为了更具一般性，把系统表示为标准形式。2022/8/23闭环传递函数化为：2022/8/24自然振荡频率（或无阻尼振荡频率）阻尼比 是二阶系统两个重要的参数，系统的响应特性完全由这两个参数来描述。结构图：-开环传递函数标准形式：2022/8/25二阶系统的闭环特征方程为特征方程的两个根（闭环极点）回忆：系统运动特

2、性与什么有关系？系统的特征根表明二阶系统的运动特性由特征参数 的大小决定！2022/8/26 二阶系统特征根一对共轭复数特征根（闭环极点）：实部为负两个相等的实根两个不相等的实根实部为零，即纯虚根，实部为正，系统不稳定，避免！无阻尼2022/8/27欠阻尼临界阻尼过阻尼（1）欠阻尼闭环特征根：衰减系数阻尼振荡频率二阶系统单位阶跃响应特性2022/8/282、二阶系统阶跃响应特性分析取 simulink仿真衰减正弦振荡输入：输出：2022/8/210 理论分析拉氏反变换： P640，24滞后角度：2022/8/211a. C(t)为衰减正弦振荡过程；b. 稳态分量为1；c. 瞬态分量为阻尼正弦振

3、荡项，振荡频率为 衰减速度取决于共轭复极点实部的绝对值 ，该值越大，即共轭复极点距离虚轴越远时，欠阻尼响应衰减得越快。瞬态分量在 一定时，其衰减程度(速度的快慢)由 中的 决定( 越大，衰减越快，响应速度越快）分别为1、2、3、4时的响应曲线。 一定时，系统的超调量不变。随 的增大，响应速度加快。响应衰减振荡例子例4 0.20.30.10.40.8 一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢，超调量减小。响应衰减振荡例子例5 结合Simulink仿真和理论分析，怎么理解欠阻尼？2022/8/214思考题（2）临界阻尼闭环特征根：2022/8/215取无振荡，直观上是单调上升的！2022/8/216

4、 simulink仿真系统的传递函数：输出:拉氏反变换：2022/8/217 理论分析2022/8/218a. C(t)为单调上升过程；b. 响应过程在t0时的变化率为零，随着时间的推移，响应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当时间趋于无穷时，变化率趋于零，响应过程趋于常值1，即稳态分量为1。临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是一个无超调的单调上升过程 一定时，随 的增大，系统的响应速度变快。响应无振荡2022/8/219例子例6 结合Simulink仿真和理论分析，怎么理解临界阻尼？2022/8/220思考题（3）过阻尼闭环特征根：2022/8/221两个不相等的负实根2022/8/222取

5、simulink仿真无振荡，直观上是单调上升的！跟一阶阶跃响应类似。输入为单位阶跃函数 时，系统输出拉氏反变换2022/8/223 理论分析s1，s2 代入上式2022/8/224a. 2个衰减指数项；b. 当阻尼比远大于1时，系统简化为一阶系统，近似单位阶跃响应c. 系统响应不会超过稳态值1。时的响应曲线。 一定时，随 的增大，系统的响应速度变慢。2022/8/225例子例7 2022/8/226例子时的响应曲线。例8 一定时，随 的增大，系统的响应速度变快。2022/8/227例子例9 （4）无阻尼闭环特征根：2022/8/228两个不相等的纯虚根2022/8/229取 simulink仿

6、真输入为单位阶跃函数时 ，系统输出拉氏反变换2022/8/230 理论分析a. 二阶系统无阻尼时的单位阶跃响应是一个正（余）弦形式的等幅振荡（幅值为1）;b. 系统属于不稳定系统。2022/8/231例子例10 单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面） 等幅周期振荡一对共轭虚根 2022/8/232（5）2022/8/233 时，系统输出无超调，系统的响应速度随 的增大而变慢，随 的增大而变快。 时，系统输出有超调，且 决定了超调量的大小和响应的速度， 决定了系统的响应速度。二阶系统中 和 的作用 越大，超调量越小，响应速度

7、越慢；决定了系统振荡特性 越大，响应速度越快。时，系统输出不稳定。2022/8/2342022/8/2353、欠阻尼二阶系统动态过程分析（1）延迟时间td（00.5h()）利用曲线拟合，近似求出2022/8/236 阶跃响应 延迟时间欠阻尼二阶系统的特征参量=cos 0 s1 n-n s2 j jd因为，有即近似解一定时，n 越大，tr 越小n一定时， 越大，tr 越大取 k=1,得（2）上升时间 tr （0.1h()0.9h()）2022/8/238（3）峰时间 tp 根据定义，t 取最小正值峰值时间是阻尼振荡周期的一半；tp 随 的增大而增大， 随 的增大而减小。2022/8/239 仅与

8、阻尼比有关。越大， 越小，系统的平稳性越好. = 0.40.8 = 25.4%1.5%。依定义，将 代入上式得最大超调量百分比（4）超调量单位阶跃响应进入 误差带的最小时间（5）调节时间 ts c(t)t01包络线通常用包络线代替实际曲线估算 ts，如右图一对包络线包络线 指数响应曲线 c(t) 始终在包络线内取令为实际响应与稳态输出之差，则通常取调节时间 与闭环极点的实部 成反比。保持 不变，增大 可在不改变超调量的情况下减小ts。R(s)(-)C(s)标准形式即有 n2=K/Tm=25 , 2n=1/Tm=5 解：闭环传递函数：解得 n=5, =0.5例11 已知图中Tm=0.2，K=5，

9、求系统单位阶跃响应指标。例子例12 ：设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。 解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。 0t(s)11.30.1c(t)例子例13：系统及阶跃响应曲线如图示,求K1、K2和a。k1R(s)C(s)_(a)(b)C(t)t(s)2.18200.8解：由图(b) 得系统输出得K2=24.46 , a=6.01。 得K1=2。是闭环传函在, s=0的值，即阶跃响应的稳态输出值由超调量和峰值时间公式得例子2022年8月2日例14 一位置随动系统，K4。求该系统的阻尼比、

10、自然振荡角频率和单位阶跃响应；系统的峰值时间、调节时间和超调量；若要求阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大系数K值。C(s)R(s) _ 解 系统的闭环传递函数为和标准式比较得：例子2022年8月2日 从上可以看出，降低开环放大系数K值能使阻尼比增大、超调量下降，可改善系统动态性能。但在以后的系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大。 3、二阶系统单位斜坡响应特性分析斜坡响应：系统对斜坡输入的响应单位斜坡响应等于该系统对阶跃输入响应的积分线性定常系统对输入信号导数(积分)的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数(积分)。证明：r(t)和c(t)满足方程，两边求导后知：

11、 和 也满足方程。输入 R(s)=1/s2输出取拉式反变换，可得到不同值下的二阶系统单位斜坡响应 过阻尼：1 临界阻尼：=1 无阻尼：=0 欠阻尼：0 1（1）欠阻尼 稳态输出 瞬态输出 稳态误差 误差响应单位斜坡响应稳态误差有什么特点？稳态误差由2个参数决定！回忆：当阻尼比减小，系统响应会如何变化？当自然频率增大，系统响应会如何变化？实际中，阻尼比 不宜太小，所以要减小稳态误差 ，就要有足够大的自然频率 。二阶系统单位阶跃响应的稳态误差是多少？ (a) 误差响应求导并令为零进一步分析误差响应 误差的最大偏差误差响应的峰值误差响应求导并令为零，得误差峰值时间进一步分析误差响应 (b) (c)

12、令阻尼比等于0.8，则达到5%误差带，即 (d) 稳态误差(a)、峰值时间(b)、最大偏离量(c)和调节时间(d)表示二阶系统单位斜坡响应性能（2）无阻尼 误差响应（3）临界阻尼 稳态输出 瞬态输出 稳态误差 误差响应根据误差响应，利用数值解法，求调节时间由终值定理求得稳态误差例15如图，讨论K和F改变对单位斜坡响应稳态误差的影响。画小K值，中等K值和大K值时典型单位斜坡响应曲线。C(s)R(s)-E(s)解：闭环传函例子三种不同K值的典型单位斜坡响应simulink仿真模块三种不同K值的典型单位斜坡响应曲线2) 增大K或减小F会使减小，导致最大误差偏离量 增大，动态性能变坏。3）K增大一倍， 减小到原的一半，而值减小到原来数值的0.707倍，这是因为与K值的平方根成反比；若F值减小到原来数值的一半， 和分别减小到原来数值的一半。因此增大K值比减小F值较为合适。1)增大K或减小F值，可以减小 4）单位斜坡响应在瞬态响应结束而达到稳态时，输出速度与输入速度相同，但是输出量与输入量之间存在一个固定的位置误差。2022/8/2652022/8/266【课后思考】增大开环增益对系统性能有什么影响？2022/8/267【下讲提示】阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差对 值的要求正好相反，要取得一个合适的折中方案比较困难，必