新高考数学二轮专题《立体几何》第9讲 立体几何截面和交线问题（解析版）

1、第9讲 立体几何截面和交线问题一选择题（共13小题） 1在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，则过，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为ABCD【解答】解：如图，延长，分别交，的延长线于点，连结，分别交，于点，则五边形为所求截面平面平面，平面与之交线，棱长为2的正方体中，可得，则过，三点的平面截该正方体，所得截面的周长为：故选：2已知圆，过点的直线中被圆截得的最短弦长为，类比上述方法：设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为ABCD【解答】解：由题意，正方体的棱的中点与的距离为，球的半径为，最小截面的圆的半径为，最小截面的面积为，故选：3已知正方体的

2、棱长为2，为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为ABCD【解答】解：正方体中，（三垂线定理），取中点，中点，连，可知，（三垂线定理），平面，取中点，则即为截面，易求周长为，故选：4正方体棱长为4，分别是棱，的中点，则过，三点的平面截正方体所得截面的面积为ABCD【解答】解：如图所示；取正方体棱、的中点、，连接，、，则六边形是过，三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为，其面积为故选：5已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为ABCD【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成

3、的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，截此正方体所得截面最大值为：故选：6体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：设，则，体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，点为线段上一点，且，中，截面垂直于时，截面圆的半径为，截面圆面积为，以所在直线为直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为，所得截面圆面积的取值范围是，故选：7圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最

4、大值为2；则的取值范围是ABCD【解答】解：圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，设轴截面的中心角为，由条件得：，解得，的取值范围是故选：8如图，已知四面体为正四面体，分别是，中点若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为ABCD1【解答】解：补成正方体如图：由于，故截面为平行四边形，可得；又，且；，当且仅当时取等号故选：9设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面A不存在B只有1个C恰有4个D有无数多个【解答】证明：由侧面与侧

5、面相交，侧面与侧面相交，设两组相交平面的交线分别为，由，确定的平面为，作与平行且与四条侧棱相交，交点分别为，则由面面平行的性质定理得：，从而得截面必为平行四边形由于平面可以上下移动，则这样的平面有无数多个故选：10如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点，以为球心，为半径作一个球设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是ABCD【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：当；当；当当时，以为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：，且为函数的最大值；当时，以为球心，为半径作一个球，该球面与

6、正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为中弧长的一半；当以为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：，且为函数的最大值；对照选项，正确故选：11如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于ABCD【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为，则同理，所以，故弧的长为：，而这样的弧共有三条在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与

7、球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为1，所以弧的长为：于是，所得的曲线长为：故选：12已知三棱锥的棱、两两垂直，且长度都为，以顶点为球心2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于ABCD【解答】解：如图，同理，球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于故选：13已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是ABCD【解答】解：连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，四棱锥的底面是边长为4的正方形，各侧棱长均为，以为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正

8、方体；而以为球心，2为半径的球正好在正方体的内部；则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的；因此以为球心，2为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是，故选：二多选题（共2小题）14如图，在正方体中，分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是A点，到平面的距离相等B与为异面直线CD平面截该正方体的截面为正六边形【解答】解：如图，取中点，中点，则有六边形为正六边形，对于，根据正方体的对称性，可得点，到平面的距离相等，正确；对于，与为共面直线，故错；对于，在正六边形中，设，则，则，故正确；对于，平面截该正方体的截面为正六边形，故正确故选：15如图，棱长为2的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动

9、，则下列结论成立的有A存在点，使垂直于平面B对于任意点，平面C直线的被球截得的弦长为D过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为【解答】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心，对于，当为的中点时，平面，而平面，则，同理，平面，可得，平面，即垂直于平面，故正确；对于，当与重合时，平面，平面，与平面相交，此时平面不成立，故错误；对于，取的中点，由对称性可知，即到的距离为，直线的被球截得的弦长为，故正确；对于，设截面圆的半径为，到平面的距离为，则，当到平面的距离最大时，截面圆的半径最小，到平面的距离小于等于到的距离，当时，半径最小的圆的面积为，故正确故选：三填空题（共17小题）16正方体的

10、棱长为4，分别是和的中点，经过点，的平面把正方体截成两部分，则截面的周长为【解答】解：如图所示：过点作交于，由题意可得，易知，可得，所以点为的四等分点，可得，所以，过点作交于点，则，所以，解得，所以截面与的交线段长为，可得截面的周长故答案为：17如图正方体的棱长为2，为的中点，为线段的中点，过点，的平面截该正方体所得的截面的周长为【解答】解：正方体的棱长为2，为的中点，为线段的中点，过点，的平面截该正方体所得的截面为梯形，过点，的平面截该正方体所得的截面的周长为：故答案为：18已知正方体的棱长为2，为的中点，若平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为【解答】解：正方体中，（三垂线定理），取

11、中点，中点，连，可知，（三垂线定理），平面，取中点，则即为截面，易求周长为故答案为19已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为【解答】解：设圆柱的轴截面的边长为，则由，解得，所以圆柱的底面半径为，母线长为，其表面积为：故答案为：20正方体棱长为4，分别是棱，的中点，则过，三点的平面截正方体所得截面的面积为【解答】解：如图所示；取正方体棱、的中点、，连接，、，则六边形是过，三点的平面截正方体所得的截面，该六边形是正六边形，其边长为，其面积为故答案为：21已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为【解

12、答】解：正方体的棱长为2，球与该正方体的各个面相切，则球的半径为1，如图，设、分别为球与平面、平面、的切点，则等边三角形为平面截此球所得的截面圆的内接三角形，由已知可得，平面截此球所得的截面圆的半径截面的面积为故答案为：22球为正方体的内切球，分别为棱，的中点，则直线被球截得的线段长为【解答】解：连结，取的中点，连结是正方体的中心，是，的中点，又，球的半径为，被球截得弦长为故答案为：23如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，两点，设，则函数的图象大致是（在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）【解答】解：由题意知，平面，则在底面上的射影是与对角线平行的直线

13、，故当动点在对角线上从点向运动时，变大变大，直到为的中点时，最大为；然后变小变小，直到变为0，因底面为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样故答案为：24如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为，则同理，所以，故弧的长为：，而这样的弧共有三条在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为1，所以弧的长为

14、：于是，所得的曲线长为故答案为：25已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为，则同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为这样的弧也有三条于是，所得的曲线长为故答案为：26已知正三棱锥侧棱长为1，且、两两垂直，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正三棱

15、锥的表面相交得到一条封闭的曲线，则这条封闭曲线的长度为【解答】解：设以顶点为球心，为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是，如图所示则，在直角三角形中，同理；在直角三角形中，在等边三角形中，则这条封闭曲线的长度为故答案为：27以棱长为2的正方体中心点为球心，以为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧）的总长度的取值范围是，【解答】解：以棱长为2的正方体中心点为球心，以为半径的球面与正方体的表面相交得到若干个圆（或圆弧），根据勾股定理可以算出：点到正方体各个面距离为1，点到八个定点的距离为，以点为球心，以为半径的球，当为1时球刚好和棱长为2的正方体六个面相切，此时若

16、干个圆（或圆弧）的总长度为0；当为时，球面和正方体的交点正好是八个定点，所以此时的若干个圆（或圆弧）的总长度为0；球与正方体表面相交的圆正好与正方体的十二个棱边相切的时候若干个圆（或圆弧）的总长度才是最大的，一共是6个圆，而且正方形的棱长为2，每个圆的直径是2，则每个周长是，圆的总长度最大为，圆（或圆弧）的总长度的取值范围是：，故答案为：，28正方体棱长为2，以其体对角线的交点为球心，为半径的球与正方体表面的交线长为【解答】解：依题意，球心到正方体表面的距离为1，设正方形的中心为，正方形所在平面裁球所得的圆的半径故球与每一个面的交线均为四段圆弧，且故四段圆弧的圆心角之和为，故一个面上的交线长，

17、则6个面的交线长为，故答案为：29已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以为球的半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有弧长的和为【解答】解：如图，不妨以为球心，则正方体的表面被该球面所截得的弧长有相等的三部分，与上底面截得的弧长，是以为圆心，以4为半径的四分之一圆周，则弧长：该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为故答案为：30如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）当时，为四边形当时，为等腰梯形当时，与的交点满足当时，为四边形当时，的面积为【解答】解：如图当时，即为中点，此时可得，故可

18、得截面为等腰梯形，故正确；由上图当点向移动时，满足，只需在上取点满足，即可得截面为四边形，故正确；当时，如图，延长至，使，连接交于，连接交于，连接，可证，由，可得，故可得，故正确；由可知当时，只需点上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故错误；当时，与重合，取的中点，连接，可证，且，可知截面为为菱形，故其面积为，故正确故答案为：31如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是，【解答】解：在上取点使得，在上取点，使得，连接，则为的中位线，四边形是矩形，四边形是平行四边形，故截面多边形为梯形，设，则，取的中点，过作

19、，过作，则可证，则，梯形的面积为，故答案为：，32如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截正方体所得的截面为，当时，的面积为【解答】解：当时，与重合，取中点，则菱形就是过点，的平面截正方体所得的截面，过点，的平面截正方体所得的截面为：故答案为：四解答题（共5小题）33如图，在正三棱锥中，平行于、的截面分别交、于点、（1）判定四边形的形状，并说明理由（2）设是棱上的点，当为何值时，平面平面，请给出证明【解答】解：（1）面，面面，面（2分）同理，四边形是平行四边形（3分）三棱锥是正三棱锥，在底面上的射影是的中心，四边形是矩形（5分）（2）当时，平面平面（7分）证明如下：作于

20、点，连接，面（10分），面，面面面，在中，（12分）34如图所示，在正方体中，点在棱上，且，点、分别是棱、的中点，为线段上一点，（）若平面交平面于直线，求证：；（）若直线平面求三棱锥的表面积；试作出平面与正方体各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面与棱交于点，求三棱锥的体积【解答】解：（1）在正方体中，因为平面平面，平面平面，所以，因为点、 分别是棱、 的中点，所以，所以（2）因为直线平面，平面，所以，又因为，所以，所以，因为，所以三棱锥的表面积为作图步骤如下：连接，过点作于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点交的延长线于点，再连接交于点，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点，再连接，则图中，即为平面与正方体各个面的交线设，