新高考数学二轮专题《立体几何》第13讲 立体几何空间角的大小比较（解析版）

1、第13讲 立体几何空间角的大小比较一选择题（共17小题） 1如图，已知，是的中点，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则ABCD【解答】解：当时，；当时，如图，点投影在上，连结，易得，即综上所述，故选：2如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），、分别为、上的点，分别记二面角，的平面角为、，则ABCD【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面的中心为不妨设则，0，6，0，3，6，设平面的法向量为，则，可得，可得，取平面的法向量，0，则，取同理可得：解法二：如图所示，连接，过点分别作垂线：，垂足分别为，连接，设则同理可得：，由已知可得：，为锐角故选：3如图，正四面体中，、在棱、上，且

2、，分别记二面角，的平面角为、，则ABCD【解答】解：观察可知，为钝角，均为锐角，平缓一点，陡急一点，则，故选：4已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与面所成的角为，二面角的平面角为，则ABCD【解答】解：如图，过作底面的垂线，垂足为，连接，则，取为的中点，连接，则，为二面角的平面角，等于过作的平行线，过作的平行线，相交于，则为与所成的角，等于底面，又，平面，则，在与中，有，而，得，均为锐角）；在与中，有，而，得，均为锐角）当与重合时，综上，故选：5设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点）记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为

3、，二面角的平面角为，则A，B，C，D，【解答】解：方法一、如图为的中点，在底面的射影为，则在底面上的射影在线段上，作于，易得，过作于，过作，交于，则，则，可得；，可得，方法二、由最小值定理可得，记的平面角为（显然，由三正弦定理可得；方法三、（特殊图形法）设三棱锥为棱长为2的正四面体，为的中点，易得，可得，当时，由余弦定理可得，可得，故错误故选：6如图，三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，二面角的平面角为，则不可能是ABCD【解答】解：如图，由题意，三棱锥为正三棱锥，过作，则为直线与直线所成角为，当无限靠近时，无限接近，但小于，则当棱锥的侧棱无限长

4、，无限靠近时，无限趋于但小于；二面角的平面角为，即的平面角为，由三棱锥存在，得，随着棱长无限增大，无限趋于，则不可能是故选：7如图，是边上一点，将沿折成直二面角，要使最短，则是A中边上的中线B中边上的高线C中的平分线D要视的具体情况而定【解答】解：如图所示，作，垂足为直二面角，平面时，设则，当且仅当时，即时，即为的平分线时，最短故选：8如图，正四棱锥记异面直线与所成角为，直线与面所成角为，二面角的平面角为，则ABCD【解答】解：由，可得为和所成角；过作平面，垂足为，连接，可得为直线与面所成角；取的中点，连接和，可得，可得为二面角的平面角；设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，可得，由，可得，即，则

5、，由，可得故选：9已知正四面体，为内的一点，记与平面、，所成的角分别为、，则下列恒成立的是ABCD【解答】解：当为底面的中心时，设正四面体的棱长为，则底面三角形的高为：，如图，此时：排除选项；排除当与重合时，排除故选：10已知三棱锥的底面为正三角形，平面、与平面所成的锐二面角分别为、，则ABCD【解答】解：由题意设的高为，的高为，三棱锥的高为，三棱锥的底面为正三角形，平面、与平面所成的锐二面角分别为、，根据正弦函数定义得，都是锐角，故选：11如图，已知三棱锥满足，在底面的投影为的外心，分别记直线与平面、所成的角为，则ABCD【解答】解：连结，取的三边中点，连结，是的外心，又平面，平面，又，平面

6、，为二面角的平面角，为与平面的所成角，即，同理可得：，设，且，故选：12在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面，若侧面，与底面所成的二面角分别为，则下列的结论成立的是ABCD【解答】解：侧面，是面与底面所成的二面角，侧面，与底面所成的二面角分别为，过作于，则，平面，为平面与底面所成角，过作于，则为平面与平面所成的二面角，故选：13如图，三棱锥中，分别是，的中点，记直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，平面与平面所成的锐二面角为，则ABCD【解答】解：因为，所以，所以平面，又，所以平面，过作的垂线，显然垂直平面，故直线与平面所成的角为，同理，平面与平面所成的锐二面角为，由，得，也是直线与平面

7、所成的角，由，则，所以，故选：14已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线，所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为ABCD【解答】解：由图可知，即面，即面为面，又面，设，为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，1，则，1，1，1，2，设直线与直线，所成角分别为，则，所以，所以，故选：15已知长方体的底面为正方形，且，侧棱上一点满足，设异面直线与，与，与的所成角分别为，则ABCD【解答】解：不妨取，连接、，设，取的中点，连接，在中，；在中，；在中，异面直线夹角的取值范围是，故选：16如图，矩形中，是线段上一点且满足，是线段上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则ABCD【解答】解：过作平面，交于，过作，交于，连结，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，比较，的大小即可，由直角三角形的性质得最小，最大，故最大，故选：17如图，矩形中，是线段（不含点上一动点，把沿折起得到，使得平面平面，分别记，与平面所成角为，平面与平面所成锐角为，则ABCD【解答】解：如图，过作，平面平面，且，可得平面，过作，垂足为，连接，则则，为平面与平面所成的锐角要保证折起后能使平面平面