新高考数学二轮专题《立体几何》第19讲 利用传统方法找几何关系建系（解析版）

1、第19讲 利用传统方法找几何关系建系一解答题（共20小题）1如图：长为3的线段与边长为2的正方形垂直相交于其中心（1）若二面角的正切值为，试确定在线段的位置；（2）在（1）的前提下，以，为顶点的几何体是否存在内切球？若存在，试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）取线段的中点为点，连接，由于四边形是正方形，为其中心，所以，又面面，所以，而，所以面，面，所以，同理可以证出，为二面角的平面角，设，则且在中，同理在中，由，得：故在线段上的靠近点的三分点位置；（2）几何体存在内切球，令球心为，若设线段的中点为点，内切球的半径为，由对称性可知：平面四边形的内切圆的圆心为，半径即

2、为，故，而，所以，得由三角形相似有：所以故其内切球心在点距离为的位置上（注：也可用分割体积法求2在四棱锥中，为棱的中点，平面，为棱的中点（）求证：平面；（）若二面角为，求直线与平面所成角的正切值【解答】解：（） 证明：连接交于点，连接，且，又，线段是的中位线，面，面，面；（），四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；又平面，；以为坐标原点，为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，0，0，0，2，1，0，1，；设平面的一个法向量为，由，得；令，得，取平面的一个法向量为，0，；，由二面角为，得，解得；平面，就是直线与平面所成角，在中，直线与平面所成角的正切值为3如图（1），在等腰梯形中，是梯

3、形的高，现将梯形沿，折起，使且，得一简单组合体如图（2）示，已知，分别为，的中点（）求证：平面；（）若直线与平面所成角的正切值为，则求平面与平面所成的锐二面角大小【解答】证明：（）连，四边形是矩形，为中点，为中点在中，为中点，故平面，平面，平面（）依题意知，且平面，在面上的射影是就是与平面所成的角故在中：设且，分别以，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面与平面的法向量令，即取则平面与平面所成锐二面角的大小为4三棱柱中，侧面为矩形，二面角的正切值为（）求侧棱的长；（）侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由【解答】解：（）取的

4、中点，的中点，则四边形为平行四边形，侧面为矩形，平面，则，则 是二面角的平面角，则，则，设，又，在中，即，平方整理得，得或（舍，即侧棱的长为2；（）建立以为坐标原点，分别为，轴的空间直角坐标系如图：过作底面，则，则，则，0，0，则，设平面的法向量为，由，则，令，则，即，0，0，设，0，0，与平面所成角的正切值，即，平方得，得，即在处即在侧棱上存在点，使得直线与平面所成角的正切值为5如图，在四棱锥中，底面四边形内接于圆，是圆的一条直径，平面，是的中点，（1）求证：平面；（2）若二面角的正切值为2，求直线与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：，是的中点，是的中点，是的中位线，平面平面，平面，平面

5、，平面；（2）是圆的一条直径，平面，则平面，则，则是二面角的平面角，若二面角的正切值为2，则，即，建立以为坐标原点，垂直于平面的直线分别为，轴的空间直角坐标系如图：则，0，0，则，0，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，0，则直线与平面所成角的正弦值，6如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，点，为棱，中点，二面角的平面角的余弦值为（1）求棱的长；（2）求与平面所成角的正切值【解答】解：（1）如图，取中点，连接，底面是边长为2的菱形，且，平面，为的中点，平面平面，平面，建立如图所示的坐标系，设，平面的法向量为，则，1，取，取平面的法向量为，0，则，；（2）平面的法向量为，0，设与

6、平面所成角为，则，7在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，（）求证：；（）求平面与平面所成的锐二面角的正切值；（）若点在线段上，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围；并求该正弦值取最大值时，多面体的体积【解答】证明：平面平面，平面平面，平面，平面，结合平面，得，中，即，平面；平面，建立如图空间直角坐标系，则，则由题意得，0，0，0，2，2，2，4，1，设平面的法向量为，由，得，令，则，即，1，设平面的法向量为，由，得，则，则，即，1，则，即平面与平面所成的锐二面角的正切值为（3）由题设则，由（2）知平面的法向量，1，设与平面所成的角为，则，当时，当时，直线与平面所成的角的正弦值

7、的取值范围为，当时，此时与重合平面，四边形为平行四边形，故平面，多面体的体积8如图，在多面体中，侧面底面，四边形是矩形，（1）求证：；（2）当二面角的正切值为2时，求的值【解答】解：（1）证：由题意，取的中点为，连接，由于，可得出，且，所以， 又在多面体中，侧面底面，四边形是矩形，面，又面，即是矩形，所以，即可得，连接，由于，是中点，故，由线面垂直的判定定理可以得出面，又面，故可得；（2）设，平面的一个法向量为，则，取，1，设平面的一个法向量为，所以，则，取，二面角的正切值为2，二面角的余弦值为，即，解得：，9如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面（）证明：（）

8、若，且二面角所成角的正切值是2，试求该几何体的体积【解答】（）证明：是圆的直径，又平面，又，平面，又平面，（）解：设，以，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示则，0，0，0，由（）可得，平面，平面的一个法向量是，设，为平面的一个法向量，由条件得，0， 即， 不妨令，则，又二面角所成角的正切值是2，解得该几何体的体积是810如图所示，平面，为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）若与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值【解答】（）证明：因为为等边的边的中点，所以依题意，且、四点共面，所以 分又因为平面，平面，所以平面 分（）解：因为，所以平面，故与平面所成的角即为分不妨设，则

9、由于，所以分（方法一）在等腰中，过点作于点，再在中作于点（图1所示）因为，所以平面，可得又，所以即为二面角的平面角 分由题意知，所以，即二面角的正切值是分（方法二）以点为坐标原点，为轴，建立如图2所示的空间直角坐标系则，0，0，0，则，若设，和，分别是平面和平面的法向量，则，可取同理，得，分所以，故二面角的余弦值是，其正切值是分11在等腰梯形中，分别是，的中点，现将梯形沿折起，并记平面与平面所成二面角的平面角为，中点为（1）当时，求证：平面；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正切值【解答】解：（），是二面角与平面的平面角，即，为等边三角形又为的中点，所以在等腰梯形中，、分别是、

10、的中点，于是，则平面，又与交于一点，平面（2）的面积是个常数，要使三棱锥的体积取得最大，则只需到平面的距离最大，即平面即可，此时平面平面，平面，就是与平面所成的角，则，则，即12已知直角三角形，分别是，上的动点，且，将沿折起到位置，使平面与平面所成的二面角的大小为，设，（1）若且与平面所成的角的正切值为，求二面角的大小的正切值；（2）已知，为的中点，若，求的取值【解答】解：（1）由题意，平面，为直线与平面所成的角，设，与平面所成的角的正切值为，即为的中点，在图1中，设在上的射影为，则，为二面角的平面角，二面角的大小的正切值为；（2），为的中点，又为的中点，又，故是等边三角形，故13已知和是两个

11、有公共斜边的直角三角形，并且，（1）若是边上的一点，当的面积最小时，求二面角的平面角的正切值；（2）能否找到一个球，使，都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接圆柱的表面积的最大值【解答】解：（1）取之中点为，连接，则，又，则，在中，则，且，在中，则，又，且，平面，则平面作于，于，连，平面，得，则是二面角的平面角，设，时，最小，此时，则，过点做于，连接，得，则是二面角的平面角，因为之中点，且，则，设二面角的平面角为，则，即二面角的平面角的正切值为（2）取中点，和是两个有公共斜边的直角三角形，则，则存在以为球心，半径的球，设该球的内接圆柱的底面半径为，高为，则有令，所以该球的内接圆柱

12、的表面积的最大值为14如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是，的中点（）证明：平面；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值【解答】（）证明：由四边形为菱形，可得，为正三角形因为为的中点，所以（2分）又，因此因为平面，平面，所以（4分）而，所以平面（5分）（）解：设为上任意一点，连接、由（）知：平面则为与平面所成的角（7分）在中，所以当最短时，最大，（8分）即当时，最大，此时因此又，所以，于是（10分）因为平面，平面，所以平面平面过作于，则由面面垂直的性质定理可知：平面，所以，过作于，连接，平面，所以，则为二面角的平面角（12分）在中，又是的中点，且在中，又（13分）

13、在中，即二面角的余弦值为（14分）15在三棱锥中，平面，点在棱上，且（1）试证明：面；（2）若，过直线任作一个平面与直线相交于点，得到三棱锥的一个截面，求面积的最小值；（3）若，求二面角的正弦值【解答】（1）证明：平面，平面，又，平面，平面，面（2）解：当时，面积最小，此时设，以为原点，过在平面内作有垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，解得，面积的最小值为（3），设平面的法向量，则，取，得，1，又平面的法向量，0，设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值为16如图1所示，在边长为12的正方形中，点，在线段上，且，作，分别交，于点，作，分别交，于点，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如

14、图2所示的三棱柱（1）求证：平面；（2）若点为四边形内一动点，且二面角的余弦值为，求的最小值【解答】解：（1）在正方形中，三棱柱的底面三角形的边，四边形为正方形，而，平面（4分）（2），两两互相垂直以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，0，3，7，设平面的一个法向量为，则由，令，得所以设点，则，设平面的法向量，由，得，二面角的余弦值为，得：的最小值为点，到线段： 的距离（13分）17如图，在边长为4的菱形中，点、分别在边、上，点与点、不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面，点满足（1）求证：平面；（2）求的最小值，并探究此时直线与平面所成的角是否一定大于？【解答】（1）证明：菱形的

15、对角线互相垂直，平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，平面（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系设，因为，所以为等边三角形，故，又设，则，所以，0，0，2，故，2，所以当时，此时，设平面的法向量为，则，取，解得：，所以设点的坐标为，0，则，0，0，所以，设直线与平面所成的角，又，因此直线与平面所成的角大于，即结论成立18在中，分别为，边上的点，且，沿将折起（记为，使二面角为直二面角（1）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值；（2）当的长度最小时，求二面角的大小【解答】解：（1），为二面角的平面角，设，则当时，即为中点，此时为中点时，有最小值（2）过 作于，连接，是二面角的平面角，二面角的大小为19如图，在四棱锥中，面，四边形是菱形，是上任意一点（1）求证：；（2）当面积的最小值是9时，求的长（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点，使与面所成角的正切值为2？若存在，求出的值，若不存在，说明理由【解答】解：（1）面，四边形是菱形，面（2）设与交点为，由（1）知，当面积的最小值是9时，取得最小值3在中，当时，最小，此时由得，解得（3）以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则而而面的法向量由已知得，解得存在靠近点的三等分点满足题意20如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，分别是，的中点（）证明：；（）设为线段上的动点，若线段长的最