新高考数学二轮专题《数列》第10讲 数列单调性问题（解析版）

1、第10讲 数列单调性问题 一选择题（共3小题）1已知数列与满足，在数列中，设数列中的最小项是第项，则等于A30B28C26D24【解析】解：数列与满足，在数列中，叠加可得，最小，故选：2在数列中，则此数列最大项的值是A103BCD108【解析】解：对应的抛物线开口向下，对称轴为，是整数，当时，数列取得最大值，此时最大项的值为，故选：3设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是ABCD【解析】解：函数，数列满足，且数列是递增数列，解得：，即：，故选：二填空题（共4小题）4已知是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是【解析】解：对于任意的，恒成立，是递增数列，又当时，最小，

2、故答案为：5已知数列是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是【解析】解：是递增数列，且对于任意的，都有成立，数列是递增数列，对于任意，化为：，恒成立数列单调递减，恒成立故答案为：6已知数列满足，对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围，【解析】解：，两式相减得：，对于任意的，都有恒成立，对于任意的，都有恒成立，对于任意的恒成立，当时，；当时，；综上所述，实数的取值范围是：，7数列满足数列满足，则中的最大项的值是【解析】解：由，得，取，求得；由，得，两式作差得，即，又，数列构成以为公比的等比数列，则，则，当时，当时，当时，而当时，中的最大项的值是故答案为：三解答题（共11小题）8已知

3、数列，前项和满足，（）求的通项公式；（）若，求数列的前项和；（）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围【解析】解：（）由已知，且，当时，也适合，当时，且也适合，（），设，当为偶数时，当为奇数时，且也适合综上得（），使数列是单调递减数列，则，对都成立，则，当或2时，9已知数列中，为非零常数），其前项和满足：（1）求数列的通项公式；（2）若，且，求、的值；（3）是否存在实数、，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）由已知，得，则有，即，两式相加得，即，故数列是等差数列又，（2）若，则，由，得，即，是质数，解得，（3）由

4、，得若，则，不合题意，舍去；若，则不等式成立的最大正整数解为，即，对任意正整数都成立，解得，此时，解得故存在实数、满足条件，与的取值范围是，10设数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列中的最大项的值【解析】解：（1），当时，则，当时也成立，（2），由于，可得，2，3时，；当时，数列中的最大项为，可得11已知是定义在实数集上的不恒为0的函数，对任意实数，有，当时，有（）求的值，并证明恒正；（）判断在实数集上单调性；（）设为数列的前项和，为正整数）令，问数列中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由【解析】解：（）由，令，则，当时，有，（2分）当时，由于所以，综上

5、可知，恒正；（4分）（）设，则，又由（1）可知所以故在实数集上是减函数；（8分）（）由题意，数列为以首项，公比为的等比数列，（12分）由此可知，随着的增大而增大，再根据（2）可得随着的增大而减小，所以数列为递减数列，从而存在最大项，其为（14分）12已知数列满足：，2，3，（1）求证：数列是等比数列；（2）令，2，求数列的最大项的值；（3）对第（2）问中的数列，如果对任意，都有，求实数的取值范围【解析】（1）证明：由题可知：，可得（3分）；即：，又（5分），所以数列是以为首项，以为公比的等比数列（4分）（2）解：由（1）可得，故，设数列的第项最大，则有，故数列的最大项是（8分）（3）解：由（2

6、）可知有最大值是，所以，对任意，都有，对任意，都有，即成立，（11分），解得或实数的取值范围是，（12分）13已知无穷数列满足：，对任意正整数，记对任意，2，3，对任意，（）写出，；（）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；（）求集合【解析】（）解：根据题意可得，；（）证明：当时，对任意，都有，所以，所以数列是递增数列，因为，所以，令，则，所以，所以存在正整数，使得；解：由题意得，对任意，都有且由（）可得，当时，存在正整数，使得，所以，所以若，则，又因为，所以若，则，所以若，则，即下面证明当时，对任意，都有下证对任意，假设存在正整数，使得令集合，则非空集合存在最小数因为，所以因为，所

7、以所以，与矛盾所以对任意，所以当时，当时，下证对任意，假设存在正整数，使得令集合，则非空集合存在最小数因为，所以，所以因为，所以，且，所以，与矛盾所以当时，所以当时，对任意，都有所以，即因为，且，所以14设数列的前项和为，（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和满足若，求证：；若数列为递增数列，求的范围【解析】（）解：，当时，两式作差得，当时，则，数列是等比数列，；（）证明，若，则，当时，；当时，综上，；解：，当时，由，得，当时，函数在时取得最小值为12，又，数列为递增数列时，的范围为15若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有为常数），则称数列为“类等比数列”已知数列满足：，对于任意的，

8、都有（1）求证：数列是“类等比数列”；（2）求通项公式；（3）若是单调递增数列，求实数的取值范围【解析】解：（1）证明：因为，所以，所以，所以数列是“类等比数列”（2）由已知得，故结合（1）可知，该数列的奇数项、偶数项分别构成以，为首项，且公比皆为2的等比数例故，（3）若是单调递增数列，则满足，即，即，解得16已知数列的前项和为（1）求证：数列为等差数列；（2）试讨论数列的单调性（递增数列或递减数列或常数列）【解析】解：（1）由已知，得，（3分）又，（2分）所以，数列为公差为的等差数列（1分）（2）由，得当时，数列为递增数列；（2分）当时，数列为常数列；（2分）当时，数列为递减数列（2分）17已知函数，（1）求证：对任意，；（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？【解析】（1）证明：由题意，可知，则，则，对任意，都有恒成立，故命题得证（2）由题意，可知，则，即，数列是递增数列18已知数列满足：，为数列的前项和（1）若是递增数列，且，成等差数列，求的值；（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，令，求数列的前