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1、第17讲 简单的数列与不等式证明 一解答题（共11小题）1设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有【解析】解：（1）当时，解得：或，数列为正数，（2分）（2），即，当时，两式相减得：，当，满足，（8分）（3）证明：，（14分）2已知数列前项的乘积，满足（1）求；（2）证明数列为等差数列，并求出；（3）记，设，求证：【解析】解（1）易知，（2分）（2），由两式相除可得：，即，即所以数列为等差数列（6分），故 （7分）（3）由（1）得，所以 （12分）3在平面上有一系列点，对每个正整数，以点为圆心的与轴及射线，都相切，且与彼此外切若

2、，且（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设数列的各项为正，且满足，求证：，（3）对于（2）中的数列，当时，求证：【解析】解：（1）点列，必在射线，为的半径，与外切，（3分）化简式得：，解得：或，数列是等比数列，则（5分）（2），而，（8分）设当时，必有当时，（13分）（3），令：，则（18分）分4设数列的前项的和，2，3，（）求首项与通项；（）设，2，3，证明：【解析】解：，2，3，时，解得时，化为：，变形为：，数列为等比数列，首项为，公比为4，可得：证明：由可得：5设数列为等差数列，且，数列的前项和为，且，（）求数列，的通项公式；（）若，2，3，为数列的前项和求证：【解析】

3、解：（）由数列为等差数列，得公差，易得，所以由得，令，则，又，所以，则由，当时，得，两式相减得，即，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是（），两式相减得，所以，从而6已知数列中，且，3，4，为数列的前项和，且，2，3，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和；（3）证明对一切，有【解析】（1）解：由已知，得，由题意，即，当为奇数时，；当为偶数时，所以数列的通项公式为，（4分）（2）解：由已知，对有，两边同除以，得，即，于是，即，又时也成立，（8分）（3）当，有，时，有当时，故对一切，有（14分）7已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足

4、，数列的前项和为，求证：【解析】解：（1）各项均不为零的数列的前项和为，且满足，则：，得：，即：，当时，解得：，所以：证明：（2）数列满足，所以：，则：，得：，解得：8设公差不为零的等差数列的前5项的和为55，且，成等比数列（1）求数列的通项公式（2）设数列，求证：数列的前项和【解析】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，即有或（舍去），故数列的通项公式为即；（2）证明：由（1），得，则故原不等式成立9已知等差数列的前项和为，（1）求；（2）设数列的前项和为，证明：【解析】（1）解：，；（2）证明：10已知等差数列的前项和为，且，（1）求及；（2）设，设数列的前项和，证明：【解析】解：（1）为等差数列，即，；（2）证明：，数列的前项和，；11已知等差数列中，（1）求的通项公式；（2）

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