博弈论——不完全信息静态博弈

1、3不完全信息静态博弈3.1简介博弈论在1970年代之后逐渐进入主流经济学体系，主要是由于 它在不完全信息条件下的经济分析中表现出特别的优势。不完全信息指经济活动中一部分经济主体的某些特征对于其他 主体来说是不清楚的。如在拍卖商品或工程招投标中。信息不完全又称为信息不对称，即其他局中人没有特定局中人清 楚特定局中人自身的特征。不完全信息静态博弈就是假定某些局中人 具有其他局中人不清楚的某些特征的静态博弈。但对于局中人本身来说，他自身的这些不为人所知的特征对于他 自己来说是清楚的，因而称这些特征为局中人自己拥有的“私人信息”(private information)。在博弈论中，习惯地将局中人的“

2、私人信息，集中表现为局中人 的支付函数特征，也就是说，局中人的私人特征将完全通过其支付函 数特征表征出来，而不完全信息就表现为一些局中人不清楚另一局中 人的支付函数，当然，每个局中人是完全清楚自己的支付函数的。3.2理论：静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡在假定局中人拥有私人信息的情况下，其他局中人对特定局中 人的支付函数类型并不清楚，局中人不知道他在与谁博弈，在1967 年前，博弈论专家认为此时博弈的结构特征是不确定的，无法进行 分析。Harsanyi (1967、1968)提出了一种处理不完全信息博弈的方法， 即引入一个虚拟的局中人一一“自然N”。N首先行动，决定每个局中人的特征。每个局中人知

3、道自己的特 征，但不知道其他局中人特征。这种方法将不完全信息静态博弈变 成一个两阶段动态博弈，第一个阶段是自然N的行动选择，第二阶 段是除N外的局中人的静态博弈。这种转换被称为“Harsanyi转换”， 它将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈。局中人拥有的私人信息为他的“类型”，由其支付函数决定，故 常将支付函数等同于类型。用0，表示局中人的一个特定类型，H,表 示局中人所有可能类型的集合，即0住/，称H,为局中人的类型空 间，i = 1,n。不完全信息静态博弈中，局中人的类型存在多种可能，因而与局 中人相关的各种概念都随其类型的不同而不同。局中人的行动空间aI 将随类型0,而变化，即a

4、 =兮0,)。支付函数也是类型依存的，可将其 记为：u = u (a ,a，,a ,0 ) i = 1,n。 TOC o 1-5 h z i i 1in i该式给出的是在其他局中人已选定行动a,，j = 1,n，j丰i时， 局中人选行动a g A (0 )获得的支付。显然给定a时最大化u的a与0i i iji i i有关，即a * = a *(0 )，其中a *是给定a时最大化u的a。i i iiji i用“类型依存”来描述包括最优战略在内的相关概念与类型的对 应关系。对局中人,他不知道其他局中人的类型。当他选择行动a e A.(七) 时，如果给定其他局中人类型与其最优战略a 的一个对应组合a

5、 * (0.)， j 丰，j = 1,n，其支付为:u(a *(0). a *(0), a, a *(0). a *(0),0)。i 1 1i-1 i-1i i+1 i+1n n i假定局中人i认为其他局中人的 类型组合恰好为0的概率为 -ip G 0)。i -i i记事前的分布密度为P(0 ,.0，,0 )，称为“先验概率”，即局中 i 1 in人在博弈之前掌握的知识使其对0.q.0n的取值可能性判断。显然，P 0就是一种条件概率的概念，即当局中人，的类型为0,时，他认 为0取值0的概率为 iip G 0 )=P(0-i)P (0 ) p(0；,0 :) p (0 )0-. eH .j这是概

6、率论中著名的贝叶斯公式(Bayes equition)。因为i不知道0，我们这里用von NeumannMorgansterni效用函数刻画这种不确定下的支付函数，即i的期望支付为 P(0 0 )U (a * (0 ), a , 0 ) i - i i i i i i0 i显然，最大化上式的a就是i的最优战略a*，它与0 .有关，故a * = a *(0 )。当存在一组“类型依存”的最优战略a * = (a *, ., a *, ., a *)，i i i1in满足a * e arg max P 0 10 )u (a * (0 ), a ,0 )ii - ii - i - ii ii = 1,

7、，nai eAi (0i)0-i则称a *是一个(纯战略)纳什均衡，也称为贝叶斯纳什均衡(BayesNash equilibrium)。a * 是类型依存的，即 a* = a*(0)。为了减少复杂性，假定博弈开始之前各个局中人掌握的关于(6，,6 )的分布密度知识是相同的，即概率分布密度P(9 ,. ,9 )是所1n1n有局中人的共同知识。这被称为Harsanyi公理。这一公理表明所有 局中人有关自然行动的信念(belief)是相同的。贝叶斯纳什均衡(也简称贝叶斯均衡)是完全信息静态博弈纳什 均衡概念在不完全信息静态博弈上的扩展。有时也称不完全信息静态 博弈为静态贝叶斯博弈或贝叶斯静态博弈n人

8、静态贝叶斯博弈的战略式表述：局中人类型空间H ,.,H ；条件概率P,.,P ；战略空间A (6 ),./ (6 )；支付函数 (a，a ,6 ),.,(a，a ,6 )。i 知道6。用 TOC o 1-5 h z 11n n11n 1n 1n niG = !a，,A ,6 ,.,6 ,P，,P ,u，,u 表示该博弈。1n 1n 1n 1n博弈顺序为：自然N选6= (6 , . ,6 )，6 e H，局中人i观察到6，但局中人j丰i1n i ii仅知道Pj (6 .16 j)，不能观察到6,。n个局中人同时选行动(战略)a = (a ,.,a )，a e A (6 )。1ni i ii得到支

9、付u (a，,a ,6 )，i = 1,.,n。i1ni该定义不排除局中人j可能拥有关于局中人i类型的某种信息，而 当所有局中人类型空间只有一个元素时，不完全信息静态博弈就退化 为完全信息静态博弈。同时，这里假定A (6 )和u (a ,a ,6 )本身是共同知识，即尽管其他 i ii i -i i局中人不知道i的类型6，但他们知道i的战略空间和支付函数是如何 依赖于他的类型的，即当他们知道6时，就必然知道a, (.)和七(.)。n人不完全信息静态博弈G =(A ,.,A ,9，,0 ,P，P ,u，,u 的 1n 1n 1n 1n纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存战略组合L；(0 )1，满足

10、：a*(9 ) e arg max P9 19 )u (a* (9 ),a ,9 )i = 1,ni ii -i i i -i -i i iai eAi (9i)有限博弈的不完全信息静态博弈至少存在一个贝叶斯纳什均衡。纯战略只是一个行动a,如何依类型9 ,而变的规则，不是指一个具 体的结果。例市场进入博弈一个完全垄断企业B正垄断着一个行业的市场，另一个潜在的试 图进入该行业的企业A，称A为进入者，B为在位者。A不知道B 的成本特征，设B有两种可能的成本，即高成本和低成本。两种成 本情况下的博弈矩阵见下表。市场进入博弈B高成本低成本默认 斗争 默认 斗争进入A不进入40,50-10,030,80

11、-10,1000,3000,3000, 4000, 400假定B知道进入者A的成本为高成本，且与B为高成本时的成 本相同。假若信息是完全的，则当B为高成本时，唯一的精炼纳什 均衡为(进入，默认)，另一纳什均衡(不进入，斗争)是含有不可 置信的威胁。当B为低成本时，唯一的纳什均衡为(不进入，斗争), 即若A进入行业，具有低成本优势的B将通过降低价格将A逐出市 场。由于存在行业进入成本，所以A被逐出市场后将有净的10单位 进入成本的损失。当A不知道B的成本情况时，他的选择将依赖于他对B的成本 类型的主观概率或先验概率密度。设A对B是高成本的先验概率判断为p，则A认为B为低成本 的概率为i p。如果

12、A进入，其期望支付为P(40) + (1 - P)(10)如果1不进入，其期望支付为0。当且仅当P(40) + (1 - P)(-10) 0或P 5时，A选择进入；反之，当P V1时，A不进入。5于是，贝叶斯均衡为：(进入，默认)，高成本，P 1 ；5(进入，斗争)，低成本，P 1 ；5(不进入，*)，P V 15其中*表示可以是斗争，也可以是默认。例不对称信息(asymmetric information)下的古诺竞争市场中有两个企业。市场需求:P(Q) = a -Q, Q = q1 + q2.企业1成本：C1(q1) = cq企业2成本：以概率。取C2(q2) = cHq2，以概率1取C2

13、(q2) = cq。企业2的产量依赖于成本：max (a - q1* - q2) - c*2和max (a - q1* - q2) - cjq2企业1选择q1max 0(a - q1 - q2*(cH) - cq1 + (1-0)(a - q1 - q2*(cL) - cq1一阶条件(a - q1* - cH) - 2q2*(cH) = 0(a - q1* - cL) - 2q2*(cL) =00(a - q2*(cH) - c +(1-0)(a - q2*(cL) - c - 2q1*=0 解出。2*(&) = 土寻三+导(%气)2*妇= - : (% - V*一 a 2c + 0c + (

14、1 0)c1 -33.3应用例1信息不完全的性别战帕特2+ t，10，00， 01， 2+ t p歌剧 拳击歌剧克丽斯拳击类型空间:Tc = Tp = 0, x匕和tc为0, x上的均匀分布.推断（密度函数）：pc （匕）=pp （f） = 1/x直觉：分别存在临界值c与p：当tc c时，克丽斯选择歌剧，否则选择拳击.当tp p时，帕特选择拳击，否则选择歌剧.克丽斯的期望收益看歌剧：p (2 +1) + (1 - p )x 0 = p (2 +1) TOC o 1-5 h z XCxxc看拳击：p X 0 + (1 -P ) = 1 -PXXX选择歌剧最优P (2 +1) 1 - PXcX即t

15、cX - 3因此临界值c= X-3p帕特的期望收益看拳击：(1 -f)x0 + (2 +1) = (2 +1)X X p x P看歌剧：(1 - ) + X0 = 1 - xxx由选择拳击最优tp 三-3临界值 p=X - 3 C解得 P = c和p2 + 3p - x = 0.克丽斯选择歌剧的概率1 . = x = 1 - 3 + w9 + 4 x TOC o 1-5 h z x x2 x帕特选择拳击的概率1 . p = x p = 1 3 + ，9 + 4 xx x2x当x 0时，1 - 3 + t9 + 4 x 1 1 2x3这正是完全信息下性别战博弈的混合战略纳什均衡。例 2 拍卖（a

16、n auction）拍卖方式最为流行的拍卖方式有4种：英式（增价公开）拍卖，荷兰式（减 价公开）拍卖，一级价格密封拍卖first-price sealed auction），二 价格密封拍卖（second-price sealed auction，又称Vickrey拍卖）。从 形式上说前两种是公开拍卖，后两种是密封式拍卖；从实质上来说， 英式拍卖和二级价格拍卖是（第）二价拍卖，其余两种是（第）一价拍卖。（1）英式拍卖：卖者以一个价格（可能很底）起拍，并逐步提 高这个价格。如果一个投标者放弃了，就不能在后面再参与拍卖。当 拍卖只有一个竞拍者时，他就是获胜者，并支付该时刻的价格。（2）荷兰式拍卖：

17、卖者以一个价格（高）起拍，并逐步降低这 个价格，第一个应拍的竞拍者以该时刻的价格获取拍卖品。（3）级密封拍卖：每个竞拍者拿出一个密封的竞价交给出售 者。出价最高者获胜并支付这个最高的价格。（4）二级密封拍卖：与一级密封拍卖唯一不同的是，出价最高 者获胜但支付的第二高的竞价。尽管英国式拍卖和第二价格拍卖看起来很不相同，但从它们如何 引导参与人理性决策来说，效果是一样的。因此，我们说这两种拍卖 在策略上是等价的，有些经济学家甚至借用数学语言说它们是“同构” 的。在这两种拍卖中，参与人受到要“显示私人真实评价”的激励。 在第二价格拍卖中，这是最明显的，因为每个买主直接把他们对拍卖 品的评价写在密封的

18、信封里。在英国式的拍卖中，买主则需要通过逐 渐抬高出价来慢慢接近自己的评价。考虑密封第二价格拍卖中的买主。他必须把他的出价写下来，密 封在信封里交给拍卖人。因为赢得交易的人只用付出第二高价格，所 以在信封中写下他愿意付出的最大价格将是符合买主利益的决策行动，而这时候的最大价格又等于他对拍卖品的评价。如果他赢得了拍 卖，第二高的价格将比他对拍卖品的评价低，所以这时候买主还将获 得一些额外利润或者说剩余。如果他写下的出价低于他的估计，他就 面临着不能在一个他可以接受的价格水平上获得拍卖品的风险，但如 果出价高于他的评价，他也要面临必须以一个高于他的评价的价格水 平购买拍卖品的风险。因此，在这样的拍

19、卖制度下，按自己的评价出 价依然是一个优势策略。对于一个处于英式拍卖制度下的买主，当出价不断地被抬高的时 候，他必须要作出决策，决定是出比他的竞争对手更高的价，或者退 出这场出价竞争。如果对手的出价实际低于他自己的评价，那么对他 而言，继续提出比对手更高的出价将是有利可图的。如果对手的出价 已经高于买主的评价，该买主最好的做法就是退出竞争。可以想像这 样的买主，在他的头脑中有一个最高的出价，这个价格水平等于他对 拍卖物品的评价。无论他的竞争对手怎么做，他的优势策略都将是： 必要时一直出价，直到等于他对拍卖品的评价为止。用博弈论的话来说，在这两种拍卖中，“讲真话，是每个参与人 的优势策略。由于“

20、讲真话”是每个参与人的优势策略，所以拍卖博 弈的纳什均衡具有下述性质：（1）赢得交易的最高出价，来自对拍卖品评价最高的参与人。因此，这样的配置是帕累托最优的。获得拍卖品的人，是可以从拍卖 中获得最多满足的人。而如果拍卖品到了评价较低的买主的手中的 话，那么就有进一步发生这个人和对拍卖品评价最高的人之间的互惠 交易的可能性和基础。也就是说，只要拍卖品不是由评价最高（因而出价也最高）的参与人获得，交易结果就不是帕累托最优的。之所以 说不是帕累托最优，是因为仍然有改善的余地。（2）拍卖成交时实际付出的价格，等于第二高的出价。或者说在 极限的意义上等于第二高的出价。对于密封第二价格拍卖，这两个性质是比

21、较清楚的，因为每个参 与人都实施优势策略，把他们的评价直接写在密封的信封里，对拍卖 品评价最高的人将赢得交易，他付出第二高的出价。在英国式的拍卖中，结果（1）的出现是因为评价最高的买主是 最后一个从出价竞争中淘汰出局的人。结果（2）的出现，则是因为 评价第二高的买主是倒数第二个从出价竞争中淘汰出局的。因为所有 的参与人都讲真话，第二高的出价，我们把它记作P，实际上代表 了在参与人中对拍卖品第二高的评价。正是这个对于拍卖品的评价第 二高的参与人，把出价提高到他对拍卖品的评价的高度上来。这时候， 对拍卖品评价最高的参与人，只要比P提高一点点出价，就可以获 得这件拍卖品了。因此，至少在极限的意义上，

22、英国式拍卖的成交价， 等于第二高的出价。从理论上说，荷兰式拍卖和第一价格拍卖在策略结构上是等价 的，或者说“同构”的。这两种拍卖制度虽然从外形上看很不同，但 实质上一样。在荷兰式拍卖中的参与人会在拍卖开始之前确定他自己对拍卖 品的出价。如果拍卖师喊出的拍卖价格果真下降到这个水平，他就以这样的出价应叫，进入拍卖并赢得交易。如果有其他的参与人在他之 前已经应叫，这意味着那个人的出价比他高，他就不能赢得拍卖品。现在的问题是，他的出价策略是什么呢？这是一个非常困难的选择， 因为出价越低，赢得拍卖品的机会就越小，但一旦赢得交易，他可以 获得的额外的利润或剩余就越多。相反，他出价越高，他赢得拍卖品 的机会

23、越大，但是他可以获得的额外利润或剩余就越少，甚至带来损 失。在第一价格拍卖中，参与人必须作出一个和在荷兰式的拍卖中的 参与人一样的决策：即选择一个出价，并把它写在密封的信封里。有 关选择合适的出价的策略问题也是相同的，如果他给出的价格越低， 赢得交易的可能性越低，但一旦获胜，可以获得的利润或剩余就越多； 如果他给出的价格越高，赢得交易的可能性越大，但一旦赢得交易， 可以获得的利润或剩余却很少，甚至可能亏损。一级密封价格拍卖(First-price, sealed-bid)这种拍卖方法是要求买主同时将自己的出价写下来装入一个信 封并密封后交给拍卖人。拍卖人打开信封，决定将拍卖品卖给出价最 高的买

24、主，按他的出价支付价格。当多位买主同时报出相同最高价格 时，拍卖者通过掷骰子随机地将拍卖品卖给其中的一位买主，按他们 报出的最高价格支付价格。一级密封价格拍卖可以避免围标，因为每 一个买主的报价对于其他买主来说是不可观测的(当然，要做到这样， 还要求成交后拍卖者要对买主的报价保密)，因而每个买主的行为不 受围标组织者的约束。一级密封价格拍卖尽管可以避免围标，但不能 保证买主们会报出他们心目中的真实估价或最高价格。给出一个模型，假设有两个投标人，v.是拍卖物品对投标人i的i价值。4是投标人i的出价。v.只有投标人i自己知道，因此，v.是投 标人i的类型。虽然投标人都不知道拍卖物品对对方的价值，但

25、知道 其分布为0, 1上的均匀分布函数。类型空间：T. = 0, 1收益v. - b.if b. b.U(bi，b2；勺 v2) = j (七一I2if bi = bj0if b. b.(v.)+2 (vi - bi)Prob bi= b.(v.).求线性战略=a+外问题为max(vi - bi)Probbi a, + c.y. TOC o 1-5 h z 其中 11Prob b a. + cy. = Probv. ps,则以p = (pb + ps )/2交易；否则不交易.他们的估价为私人信息，和勺独立，为0, 1上均匀分布. 买者收益ub =p if pb Ps=0if Pb ps=0f Pb VPs战略 pb(vb)，ps(vs)贝叶斯纳什均衡(pb(vb), ps(vs)满足/ p + E p (v ) I p p (v )、max(v _ / sb#普)Prob p p (v )b2b s spb/ p + E p (v ) I p (v ) p max ( b b Pb 二一s - v