参数估计统计推断的目的是由样本推断出总体的具体分布

1、第七章参数估计统计推断的目的，是由样本推断出总体的具体分布。一般来说，要想得到总 体的精确分布是十分困难的。由第六章知道：只有在样本容量n充分大时，经验 分布函数F(x) 一致 F(x)(以概率1)，但在实际问题中，并不容许n很大。而由 n第五章的中心极限定理，可以断定在某些条件下的分布为正态分布，也就是说， 首先根据样本值，对总体分布的类型作出判断和假设，从而得到总体的分布类型， 其中含有一个或几个未知参数；其次，对另外一些并不关心其分布类型的统计推 断问题，只关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把这些数字特征也 称为参数。这时，抽样的目的就是为了解出这些未知的参数。1点估计一、由来

2、设总体X的分布函数形式已知，但它的一个或多个参数为未知，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题例1在某炸药制造厂，一天中发生着火现象的次数X是一个随机变量，假设 它服从参数为人0的泊松分布，参数人为未知，设有以下的样本值，试估计着火次数k0123 4 5 6发生k次着火的大数n k75 90 54 22 6 2 1S = 250参数人.解：因为XP (X),所以X= E (X)用样本均值来估计总体的均值E(X). kn_kx = k=0二 nk k=0二总(0 x 75 + 1x 90 + 2 x 54 + 3 x 22 + 4 x 6 + 5 x 2 + 6 x 1

3、) = 1.22故E(X) = X的估计为1.22 .二、一般提法设总体乂的分布函数F(x;。)的形式为已知，9是待估参数.X1，X2,，Xn 是X的一个样本，xi，x2，.，xn为相应的一个样本值.点估计问题就是要构造一个 适当的统计量9(X，X，,X )，用它的观察值9(x，x，,x )来估计 未知参数12n12 n0 。 6(X ,X，,X )称为。的估计量，0(% ,x，,x )称为。的估计值。 12n12 n三、点估计的方法(矩估计法和最大似然估计法)矩估计 用样本矩来估计总体矩，用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续 函数,这种估计法称为矩估计法.设总体X的分布中含有未知参数，假定总

4、体X的1m阶原点矩都存在，则有u =u (0 ,0，,0 ) = E(Xk) (k = 1,2,.m)。取样本的k阶原点矩A作为总体的k k k 12 mk阶原点矩气的估计量，即uk =1 Xk (k = 1,2,m)，得到方程组 n i=1解这个方程组得U (0 ,0 ,., 0 ) = Um12 m m旌=0 (X,X ,., X )U (0 ,0 ,., 0 ) = U u1(01,02,., 0m) = U 0)未知,(X1,X2,.,Xn)是来自总体X的样本，求0的估计量.解：因为只有一个未知参数0，所以只考虑总体X的1阶原点矩:因为r = E(X)=,根据矩估计法，令=A = X

5、= X , 1221 n ii=1 A一一.所以0 = 2X为所求0的估计量.例2、设总体乂服从几何分布，即有分布律PX = k = p(1-p)k-1 (k = 1,2,.),其中p (0p 0,但R和b2均为未知,又设X1, X2,.,X是一个样本，求R和Q 2的矩估计量.解：R1 = E (X ) =R , R2 = E ( X 2) = D ( X ) + E (X )2 =b2 + R 2,令A1解方程组得到矩估计量分别为b 2 + R 2 = A .K = A =又,b 2 = A - A 2 = 1 x 2 -又 2 = 1W (X - X )2.121 n 1 ini 7注：一

6、般地，用样本均值X =1 X作为总体X的均值的矩估计，i=1用样本二阶中心矩B2 = -(X. -X)2作为总体X的方差的矩估计.i=1最大似然估计法(1)设总体X属离散型似然函数的定义：设分布律PX = k = p(x;0), 0为待估参数，。6。，(其中&是0可能的取值范围)，X 1,X2，.,Xn是来自总体X的样本，则X 1,X2，.,X. TOC o 1-5 h z 的联合分布律为Hp(x ;0 ).又设x , x，,x为相应于样本X , X，,X的 i12n12ni=1一个样本值.，则样本X , X，X取到观察值x ,x，,x的概率，即事件 12n12nX 1 = x1, X2 =

7、x2, .，X = x 发生的概率为L(0) = L(x ,x，,x ;0) = Hp(x ;0), 0 g0, L(0)称为样本似然函数.12 nii=1最大似然估计法：得到样本值x ,x，,x时,选取使似然函数L(0)取得最大值12n q ，- 4-的0作为未知参数0的估计值，即L(x ,x，,x ;0) = maxL(x ,x，,x ;0).1 2n0e1 2n(其中0是0可能的取值范围)，这样得到的0与样本值x ,x，,x有关，12n、 A4一 A4一记为0(x ,x，,x ),参数0的最大似然估计值,0(X , X ，,X )，参数0的最大12 n12n似然估计量.(2)设总体X属连

8、续型设概率密度为f (x; 0), 0为待估参数，0e0 ,(其中0是0可能的取值范围)，X 1,X2，.,Xn是来自总体X的样本，则X 1,X2，.,Xn的联合密度为 TOC o 1-5 h z H f 3 ；o),又设工，工，,工为相应于样本X ,X，,X的一个样 本值， i12n12ni=1则随机点(X ,X ，,X)落在点3,工，,工)的邻域(边长分别为&, & ,12n12 n12. .,危?5维立方体)内的概率近似地为 Hf(土;。)叫,i=1L(0) = L(x ,x，,x ;0) =Hf (x ;0), L(o )称为样本的似然函数. 12 nii=1若 L(x ,x ,x ;

9、) = maxL(x ,x ,x ;0).1 2n0e1 2n0( x , x，,x )，参数0的最大似然估计值,0“(X , X，,X )，参数0的最大似 12 n12n然估计量.求最大似然估计量的步骤：写出似然函数L(0) = L(x ,x，,x ;0) = Hp(x ;0)或 L(0) = L(x ,x，,x ;0)= Hf (x; 0); TOC o 1-5 h z 12 ni12 nii=1i=1取对数 lnL(0) = Inp(x;0)或 InL(0) = ZIn f (x.;0);i=1i=1对0求导 业黑，并令 业黑=0,解方程即得未知参数0的最大似d0d0然估计量01例4、设

10、总体X具有分布律X(123 、,0 220 (1-0) (1-0 )2 /，其中00 1是未知参数，样本值x1 = 2,%= 1,x3=1，试求未知参数0的矩估计值极大似然估计值.解：(1)EX = 3 - 20，x = 4，再令 x = EX 得0 =-(矩估计值)36(2)似然函数 L (0) = P (X1 = 2, X 2 = 1, X 3 = 1) = 20 (1-0 )0 20 2 = 20 5 20 6L(0) = 1004 -1205 =04(10-120)令 L(e) = 0，则 o = 0 或 o = 56由于已知0 0 0)的泊松分布，X1, X2,.,X.是来自X的一个

11、样本，求人的最大似然估计量.X x解：因为 X的分布律为PX = x = e-x, (x = 0, 1, 2,n) x!所以X的似然函数为L(X)=nri=1, u (x !)ii=1=e - nXT.C ( )de xIn L(X) = -nX + 筋 x 4n X - (x !),令 就姑 L(X) = -n + 于=0, 解得x的最大似然估计值；=艾,=x,x的最大似然估计量为八 1X= ： X = X，这一估计量与矩估计量是相同的.例7、设总体XN(口,6),口,b为未知参数，x1，x2，.,x是来自X的一个样本值，求口和b2的最大似然估计量.(x p)2， 解：X的概率密度为f (x

12、; p, b2)= _ e 2b2 , x的似然函数为 如2 nbl( p, b2)= rTi=11 (x.-p )2-.e 2b2 2 nbnn1寸In L(p, b2) = _ ln(2 n) ln b2 (x p)2 ,222b 2、i i=1E 一、八布InL(p, b2)= 0,at lnL(p, b2) = 0,db 2x npii=1二 + X (X p)2 = 0 2b 22(b 2)2ii = 1 x np = 0 解得1- i=1人 1 np = x = xn . ii=1由一2- + b W (x. -p)2 = 0 解得 b2 =上(x, x)2, i=1i=1故p和b

13、 2的最大似然估计量分别为= X, b 2 = 1 ( X X )2. n i =1 i它们与相应的矩估计量相同.例8、设总体乂在。,b上服从均匀分布，其中, b未知，”x2,.,xn是来自总体X的一个样本值，求a, b的最大似然估计量.解：记 x = min( x ,x ,.,x ), x = max( x ,x ,.,x ), X 的概率密度为f (x； a, b)= 1；,a x b, b a因为0,其他.(l)1 2n(h)1 2na x ,x，,x b 等价于a x ,x b,12n(l) (h)作为a, b的函数的似然函数为L( a, b) = 土0,其他于是对于满足条件a 七,b

14、 x(h的任意a,b有L( a, b)=(b a) n(x(h)即似然函数L(a, b)在取到最大值(x( h)x(l)n, TOC o 1-5 h z 八一?a, b的最大似然估计值a = x = min x , b = x = max x ,(l)i(h)i 1in1in，,一,、一-一八a, b的最大似然估计量 a = min X , b = max X .1i n 11i n 14、.极大似然估计量有如下的性质：设0的函数u = u (0 ), 0 e0,具有单值反函数0=0 (u)。又设(是X的密度 函数f (x;0)或分布列p(x;0)(形式已知)中参数0的极大似然估计，则= u(

15、0 ) 是u(0 )的极大似然估计。2估计量的评选标准，区间估计一、估计量的评选标准(一)问题的提出从前一节可以看到，对于同一个参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不 相同，原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好？(2)评价估计量的标准是什么？1、无偏性 -人-.若估计量0 =0(X 1,X2，.,X )的数学期望E(0)存在，且对于任意0 e0有E(0) =0,则称0是0的无偏估计量.2、有效性0 =0 (X,x，,x )与0 =0 (X,x，,x )都是0的无偏估计量， TOC o 1-5 h z 1112n2212n若D(0) D(0

16、 )，则称0较0有效12123、一致性一 q q. _ 一-若0 =0(X 1, X2，.,X )为0的估计量，若对于任意、0 G0,当n r 3时，0(X ,X，,X )依概率收敛于0，则称0为0的一致估计量.12n二、区间估计1、置信区间的定义设总体乂的分布函数尸(x;0)含有一个未知参数0,对于给定值a (0a 1),若由样本X1,X2,.,Xn确定的两个统计量0=0(X 1,X2,.,X/和0 =0(X ,X，,X )满足尸0(X ,X，,X ) 0 0(X ,X，,X ) = 1 -a12n12n12n则称随机区间(0, 0)是0的置信度为1-a的置信区间,0和0分别称为置信度为1-

17、a的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1-a为置信度注：(1)被估计的参数0虽然未知，但它是一个常数，没有随机性，而区间(0, 0)是随机的.(2) P0 (X , X ，,X ) 00 (X , X ，,X ) = 1a 的本质是：一 12n12n随机区间(0, 0)以1 -a的概率包含着参数0的真值，而不能说参数0以1-a的概率落入随机区间(0, 0).三、正态总体均值与方差的区间估计(一)单个总体N(口,6)的情况设给定置信水平为1-a ,并设X1，X2，.,X为总体N(口,6)的样本，X, S2 分别是样本均值和样本方差.1、均值日的置信区间。2为已知，H的一个置信水平为1-a的置信区

18、间，一、. aT z而 a/2 7(2) a 2为未知，卜的置信度为1 -a的置信区间X 土、(n-1).7例1、包糖机某日开工包了 12包糖，称得质量(单位：克)分别为 506,500,495,488,504,486,505, 513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布且标准差为a = 10,试求糖包的平均质量p的1-a置信区间，(分别取a = 0.10 和 a = 0.05).解：a = 10, n = 12，计算得 x = 502.92,(1)当 a= 0.10 时，1 - = 0.95,查表得 z = z = 1.645,2a/20.05x-兰 z =：n a/2:5

19、02.92 - JL x 1.645 = 498.17, 七12x + 乌 z = vn a/2二 502.92 + x 1.645 = 507.67, 12即P的置信度为90%的置信区间为(498.17, 507.67)(2)当 a = 0.05 时，1 气=0.975,查表得 z = z = 1.96,2a/20.025同理可得R的置信度为95%的置信区间为(497.26, 508.58)可以看出当置信度1 a较大时，置信区间也较大；当置信度1 a较小时，置信区间也较小.例2、有一大批糖果，现从中随机地取16袋，称得重量(克)如下:506 508 499 503514 505 493 49

20、6504 510 497 512506 502 509 496设袋装糖果的重量服从正态分布，试求总体均值r的置信度为0.95的置信区间 解：a = 0.05, n 1 = 15，查 t(n 1)分布表可知：0 025(15) = 2.1315,计算得无=503.75, s = 6.2022,得r的置信度为95%的置信区间，艮口 (500.4, 507.1)503.75土 6.2022 x 2.1315J就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507. 1克之间，这个估计的可信程 度为95%.2、方差。2的置信区间根据实际需要，只介绍R未知的情况.方差C2的置信度为1 -a的置信区间 (n

21、1)S2 ,(n 1)S2 .y2(n 1) y /2(n 1) J进一步可有标准差。的一个置信度为1a的置信区间7n 1Syjn 1S TOC o 1-5 h z ,.Ux2 (n 1) J/2 (n 1)a/21a/2/例3、求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间.，一 aa解：=0.025,1 - = 0.975, n 1 = 15,查 x 2(n 1)分布表可知：22X2 (15) = 27.488, X2 (15) = 6.262，计算得s = 6.2022,代入公式得标准差的置信0.0250.975区间(4.58, 9.60)（二）两个正态总体的情形在实际中常遇到下面的问

22、题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由 于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、 总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体 均值差或方差比的估计问题。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 设总体X N（日，a2）,Y N（日q2），且X与Y相互独立，（X ,X,X ）来112212n自X的一个样本，（Y ,Y ,.,Y ）为来自Y的一个样本，对给定置信水平为1-a， 12n且设X, Y, S：, S;分别为总体X与Y的样本均值与样本方差。1.求*-%的置信区间：1）当b2,b2已知时：由抽样分布可知：U =（X Y）（% 一四2） N（0,1）:b 2。2 m n所以可以得到四-七的置信水平为1 -a的置信区间为：2）当*2,b；未知时，但m,n均较大（大于50），可用S;和S;分别代替式中b2,b2，则可得（* - %）的置信水平为1 -a的近似置信区间为：(X - Y) |1-1-a当b 2 = b 2 = b 2，且b 2未知时，由抽样分布可知:若令S *2 = _I* + （n_，12m + n 一 2贝行=（X 一 七一四之） t （m + n - 2）