根轨迹法讲解和性能指标

1、根轨迹法讲解和性能指标12内 容 提 要 根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。 根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。3知 识 要 点 传递函数的零极点表示，根轨迹的概念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。 4 线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配

2、置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。 1948年伊万斯(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。 54.1 根轨迹的基本概念4.1.1 什么是根轨迹 图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：该系统的开环特征方程为：解得系统开环极点为：s1=0，s2=1 ，s2=2图4-1 反馈控制系统6该系统的闭环特征方程为：系统闭环传递函数为：

3、如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从0向变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为K从0向变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当时三个闭环极点都是负实数，当时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0Km时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K的点，要K只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,m)，二是s。这时，无穷远处也称为无穷远零点。 当nm时，根轨迹一定有nm支趋向无穷远；当nm的一般情况下，可以有不同形式的表示42在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。

4、所以，随着 的增大(或减小)，若一些闭环特征根在s平面上向左移动，则另一些闭环特征根必向右移动，且在任一 下，闭环特征根之和保持常数不变。此规则可用于判断根轨迹的走向。 闭环特征根之积与开环零、极点有如下关系：对应于某一 值，若已知某些闭环特征根，利用上述结论有助于求出其它闭环特征根。利用上述结论，也可估计当 变化时，根轨迹的走向。434.3 绘制根轨迹举例有了以上绘制根轨迹的基本法则，在已知系统的开环零、极点(开环传递函数)的情况下，利用这些基本法则，就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。 绘制

5、根轨迹的一般步骤为：44 根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并将它们标在复平面上； 确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的条数； 确定实轴上的根轨迹； 确定根轨迹的渐近线； 确定根轨迹的分离点； 计算根轨迹的出射角和入射角； 确定根轨迹与虚轴的交点；45 大体绘出根轨迹的概略形状； 利用对称性画出上、下复平面的根轨迹； 利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹的走向； 利用相角条件试探确定根轨迹上某些点； 某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分时，求出圆心和半径。 必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。46 根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则

6、14就能很快地画出大致形状，再按规则7求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。 除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。 47按7个基本规则绘制根轨迹图 解：首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：p1=0,p2=-1,p3=-2，将它们标在复平面上（见图4-5），开环极点的位置用表示（开环零点的位置一般用表示）。根据规则1和2，根轨迹将有3支，分别开始于这三个开环极点

7、，趋向无穷远。 绘图示例图4-1 反馈控制系统例2：试绘制图4-1所示负反馈控制系统的K变化时闭环根轨迹略图，设其开环传递函数为：48 根据规则3，根轨迹有3根渐近线，它们与实轴的夹角是： 所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为： 49 根据规则4，实轴上的-1,0段是根轨迹的一部分，实轴上的(-,-2段也是根轨迹的一部分，实际上后者就是从开环极点p3出发趋向无穷远的一支，与渐近线的分析一致，这一支已经是精确图形了。 根据规则7，可以确定根轨迹与虚轴的交点，我们先用劳斯判据， 根据特征方程系数列出劳斯阵列为： 使第一列中s1项等于零，可以求得K=6。通过求解由s2行得出的辅助方程 ： 可以求得根

8、轨迹与虚轴的交点为 ，虚轴上交点处的频率为 。 50 另外一种确定根轨迹与虚轴交点的方法是令特征方程中的s=j得： 令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到=0,K=0或 。因此，根轨迹在 处与虚轴相交，并且交点处=0。实轴上的根轨迹K=6处也与虚轴相交。 51 根轨迹在实轴上的-1，0段一定有一个分离点，根据规则5 整理得 解得=-, =- ，显然只有-在根轨迹上，所以分离点为-。 根轨迹从p1,p2,p3出发的出射角已经很明确，为了验证规则6，我们还是计算一下： 与实际完全一致。 52图4-5 绘制根轨迹图示例 53例 若已知系统的结构图为： 试绘制系统的概略根轨迹。解：系统开环传递函数为

9、：54开环零点：开环极点：实轴上的根轨迹：渐近线：1条，负实轴方向分离点：分离角：画出根轨迹如图所示，在复平面上，有一部分根轨迹为一圆，其圆心为（-1，j0) ，半径为55-1-256 例2 单位负反馈系统的开环传递函数为： 试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：57 开环零点： ， 开环极点：将它们标注于复平面上；实轴上的根轨迹：渐近线： 条58 时， 时， 时，起始角：根轨迹与虚轴的交点：59系统的闭环特征方程式为：将 代入上式，整理可得：联立求解得：60 画出概略根轨迹如图所示：-1-2-3614.5 利用根轨迹分析系统的性能 控制系统的根轨迹绘制完毕后，当参数值k确定之后，即

10、可确定闭环传递函数，进而分析系统的控制性能。下面以例题进行说明。【例9】：已知单位负反馈系统的开环传递函数为试应用根轨迹法分析开环放大倍数K对系统性能的影响，并计算K5时，系统的动态指标。解：将开环传递函数G(s)化为根轨迹法的常用形式，即（式中 k=2K）62该系统的根轨迹图如图所示。 按根轨迹图分析，k为任意值时，系统都是稳定的。当0k1时，系统具有两个不相等的负实根。当k=1时，系统具有两个相等的负实根，这时系统的动态响应是非振荡的。当1k时，系统具有一对共轭复数极点，则系统的动态响应是振荡的。系统闭环传递函数为：63解得闭环系统的特征根：闭环系统的特征方程为：当K=5(k=10)时，代

11、入上式解得系统的闭环极点为由此得64于是得系统的动态性能指标：超调量：上升时间：峰值时间：过渡过程时间：65平面的左半平面， 控制系统稳定的充要条件是闭环极点均在s平面的左半平面，而根轨迹是所有闭环极点的集合，因此，只要控制系统的根轨迹位于s平面的左半平面,控制系统就是稳定的，否则就是不稳定的。当系统的参数变化引起系统的根轨迹从左半平面变化到右半平面时，系统从稳定变为不稳定，根轨迹与虚轴交点处的参数值就是系统稳定的临界值。因此，根据根轨迹与虚轴的交点可以确定保证系统稳定的参数取值范围。根轨迹与虚轴之间的相对位置，反映了系统稳定程度的大小，根轨迹越是远离虚轴，系统的稳定程度越大，反之则越小。 1

12、. 基于根轨迹的系统稳定性分析 662. 基于根轨迹的系统稳态性能分析 对于典型输入信号，系统的稳态误差与开环放大倍数K和系统的型别v有关。在根轨迹图上，位于原点处的根轨迹起点数就对应于系统的型别v,而根轨迹增益与开环增益仅仅相差一个比例常数。因此，利用静态误差系数法可得到典型输入信号作用下的稳态误差。673. 基于根轨迹的系统动态性能分析 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点，所以闭环零点很容易确定。而闭环极点与开环零、极点及开环根轨迹增益均有关，无法直接得到。根轨迹法的基本任务就是根据已知开环零、极点的分布及开环根轨迹增益，通过图解的方法找出系统的闭环极点。一旦闭环零点、极点都确定了，系统的闭环传递函数也就确定了，于是就可采用拉氏变换法或直接利用计算机求解得到闭环系统的时间响应，从时间响应就可以得到各项性能指标。 684. 增加零、极点对根轨迹的影响 在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增加系统响应的调整时间（注意，增加积分控制相当于增加位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性）。下图的例子表明了在单极点系统中增加一个极