新教材高一数学必修第二册暑假作业第03练《平面向量的基本定理及坐标表示》（解析版）

1、第03练 平面向量的基本定理及坐标表示【知识梳理】知识点一 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点的知识】1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量，如果以O为起点，作，那么射线OA，OB的夹角叫做向量与向量的夹角，其中02、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为，那么我们把|cos叫做与的数量积，记做即：|cos规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0注意： 表示数量而不表示向量，符号由cos决定； 符号“”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0（2）投影：在上的投影是一个数量|cos，它可以为正，可以

2、为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度|与在的方向上的投影|cos的积知识点二 平面向量的基本定理【知识点的知识】1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数1、2，使2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一知识点三 平面向量的正交分解及坐标表示【知识

3、点的知识】1、平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2、平面向量的坐标表示：若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得x+y，使得x+y，我们把（x，y）称为的坐标表达式为x+y（x，y）知识点四 平面向量的坐标运算【知识点的知识】 平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为（x，y），意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为d若（m，n），则+（x+m，y+n），则（xm，yn）；（xm，ny），（x，y）【典型例题分析】例：已知平面向量满足：，且，则向量的坐标为

4、（4，2）或（4，2）解：根据题意，设（x，y），若，有0，则x+2y0，若，x2+y220，联立，可得，解可得或，则（4，2）或（4，2）；故答案为（4，2）或（4，2） 这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设（x，y），根据题意，由，可得x+2y0，由，可得x2+y220，联立两式，解可得x、y的值，即可得的坐标这也是常用的一种方法知识点五 平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的知识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设（x1，y1），（x2，y2），则（）x1y2x2y10一选择题（共12小题）1已知点，向量，则向量ABCD【分析】根据点，的坐标可求出向量的坐标，然后根据即可求出

5、向量的坐标【解答】解：故选：【点评】本题考查了根据点的坐标求向量坐标的方法，向量减法的几何意义，向量坐标的减法运算，考查了计算能力，属于基础题2已知向量，则等于ABCD【分析】由题意，利用两个向量坐标形式的运算法则，计算可得结果【解答】解：向量，则，故选：【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，属于基础题3已知向量，若，则实数A1BCD【分析】利用向量平行的等价条件得，从而求得【解答】解：，解得；故选：【点评】本题考查了向量平行的性质的应用，属于基础题4已知向量，且，那么实数的值是ABCD1【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，得出结论【解答】解：向量，且，故实数，故选：【点评】本题主要

6、考查两个向量共线的性质，属于基础题5已知向量，若，则ABCD【分析】由题意，利用两个向量共线的性质，列方程求出即可【解答】解：向量， 4，若，则，故选：【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题6已知，若，则等于A4BCD2【分析】利用平行向量的坐标关系求解【解答】解：，且，解得，故选：【点评】本题主要考查了平行向量的坐标关系，属于基础题7已知向量、满足，则A1B3C5D7【分析】由平面向量的坐标运算化简，再利用模长公式求解即可【解答】解：因为，所以，所以，故选：【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题8已知，满足，则ABCD【分析】由已

7、知求得，再由，展开后代入数量积求解【解答】解：由，得，解得故选：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是基础题9平面向量与的夹角为，则等于ABC4D12【分析】可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题10已知向量，且与的夹角，则ABCD【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，向量，则，则有，故，故选：【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题11在中，角，所对的边分别为，是内切圆的圆心，若，则的值为ABCD【分析】建

8、系，根据坐标法，平面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想即可求解【解答】解：如图，内切圆的圆心在边高线上（也是边上的中线），以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，设内切圆的半径为，根据等面积算法可得：，解得，故内心为，故选：【点评】本题考查面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想，坐标法，属基础题12在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD【分析】由平面向量的线性运算逐步表示即可得解【解答】解：由题可知利用平面向量的线性运算，则所以，故选：【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题二填空题（共6小题）13已知，则的取值范围是 ，【分析】直接利用向量的坐

9、标运算求出向量，进一步利用向量的模和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：由于；所以；所以，当时，当时，；故的取值范围是，故答案为：，【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题14已知向量，则5【分析】可求出向量的坐标，然后即可得出的值【解答】解：，故答案为：5【点评】本题考查了向量坐标的加法运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题15已知，是两个单位向量，设，且满足，若，则2【分析】根据题意作出草图，利用平面几何的性质，可证，再根据，可得，再利用

10、，可得的夹角，再根据，再利用数量公式即可求出【解答】解：根据题意作出草图，令，由平行四边形法则，得，即，即，平行四边形为菱形，设，即向量的夹角为，即，即，故答案为：2【点评】本题考查向量的运算，考查向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题16已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为 1【分析】根据与反向共线，设，然后得出，再求出的值即可【解答】解：与反向共线，设，且，解得故答案为：1【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题17已知向量，若，则实数【分析】由已知可得，的坐标，再由数量积为0列式求得实数的值【解答】解：，若，则，即，解得故答案为：

11、【点评】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直与数量积的关系，是基础题18已知，若、，则点坐标为 【分析】设处点的坐标，利用坐标表示向量，根据向量相等列方程组求出、的值即可【解答】解：设点，因为，、，所以，即，解得，所以点坐标为故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题19已知平面向量满足，与的夹角为，记，则的取值范围为ABC，D【分析】根据条件，可知若起点相同，则终点共线，利用数形结合法求解即可【解答】解：如图，设则，故，因为，其中，则若起点相同，则终点共线，即在直线上，所以当时，最小为1，无最大值，故的取值范围为，故选：【点评】本题考查了平面向量的应用，主要考查了三点共线与

12、向量之间的关系，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与数形结合法的应用，属于中档题20已知平面向量，与不共线），满足，设，则的取值范围为ABC，D，【分析】根据题干可设，由，可知向量与的终点在以为圆心，以1为半径的圆周上，画出图像后根据圆的对称性即可进行求解【解答】解：设，设，故，在以为圆心，以1为半径的圆上，即，即，如图由圆的对称性可知中点在以为圆心，以为半径的圆上，当运动到图2中位置时，此时取最大值2，当运动到图3中位置时，此时取得最小值，故选：【点评】本题考查了平面向量的坐标表示，以及圆的综合应用，属于中档题21在中，若点为边所在直线上的一个动点，则的最小值为ABCD【分析】首先建立平面直角

13、坐标系，进一步求出点、的坐标，进一步求出的坐标，最后利用两点间的距离公式的运算求出结果【解答】解：以点为原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：由于，所以，所以点的横坐标为，点的纵坐标为所以，设点的坐标为，所以，的横坐标为，的纵坐标为故的坐标为，由于，所以当时，的最小值为故选：【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，平面直角坐标系，向量的模和坐标之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型22如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，若，则的最小值是ABCD【分析】，把，代入上式，再根据三点、共线求得与的关系，然后把转化为关于的函数，可解决

14、此题【解答】解：，由，得，代入上式得，又因为、三点共线，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故选：【点评】本题考查向量线性运算及基本不等式应用，考查数学运算能力，属于中档题二填空题（共2小题）23已知平面向量，且，若平面向量满足，则的最大值【分析】首先对两式，平方相加，然后利用三角不等式得，基本不等式得，从而求出的最大值【解答】解：由，得，两式相加得，又，所以，即，当且仅当与反向时等号成立，而，当且仅当时等号成立，当且仅当与反向，时等号成立，则的最大值为故答案为：【点评】本题考查了平面向量的模，基本不等式、三角不等式的应用，是中档题24已知夹角为的向量，满足，若，则的最小值

15、为【分析】借助坐标法解决【解答】解：在平面直角坐标系中，设与轴同向，过点作，则，设，则，则点的轨迹是以为圆心、1为半径的圆由图可知，点的轨迹是过点且斜率为的直线，直线方程为，所以，故答案为：【点评】本题主要考查向量的模，借助直线与圆的位置关系来解决问题，综合性较强，属于难题25已知是单位向量，向量，满足，且，设，当时，则【分析】由可得，结合化简得，再结合得，从而可得到；同理可得，联立解方程，结合方程的解，检验是否成立，从而解出，的值，代入求即可【解答】解：，即，即，又，即，即，即，联立解得，或，当时，不成立，故不成立；当时，成立，故成立；故，；故答案为：【点评】本题考查了平面向量的线性运算及数量积运算，难点在于化简运算，属于难题26已知正方形的边长为2，对角线，相交于点，动点满足，若，其中，则的最大值为 【分析】建立直角坐标系，写出各点的坐标，找到相应向量的坐标，通过点坐标得到，最后利用三角函数的最值即可求解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则，在以为圆心，半径为1的圆上，设，则，则，的最大值为：故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，三角函数的最值问题，考查数形结合与转化的数学思想