新教材高一数学必修第二册暑假作业第04练《正弦定理》（解析版）

1、第04练 正弦定理【知识梳理】知识点一 正弦定理【知识点的知识】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R （ R是ABC外接圆半径）a2b2+c22bccosA，b2a2+c22accosB，c2a2+b22abcosC变形形式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA，sinB，sinC；a：b：csinA：sinB：sinC；asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA，cosB，cosC解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他

2、两角在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAababab解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，absinA，无解当A为钝角或直角时，ab，无解2、三角形常用面积公式1Saha（ha表示边a上的高）；2SabsinCacsinBbcsinA3Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素2、判断三角形的形状3、解决与面积有关的问题4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距

3、离问题，用正弦定理就可解决一选择题（共8小题）1在中，“”是“是锐角三角形”的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用正弦定理、余弦定理即可判断出，进而判断出结论【解答】解：在中，为锐角，但是不一定是锐角三角形，反之成立在中，是是锐角三角形的必要不充分条件，故选：【点评】本题考查了充要条件的判定方法、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2的内角，的对边分别为，已知，则ABCD【分析】利用正弦定理化边为角，再结合同角三角函数的商数关系，得解【解答】解：由正弦定理及，知，因为，所以，即，又，所以故选：【点评】本题考查解三角形中正弦定理的应用，

4、熟练掌握边化角的思想，同角三角函数的商数关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题3在中，角、的对边分别是、，若，则等于ABC或D或【分析】利用正弦定理求得，再根据的取值范围和“大边对大角”，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，因为，且，所以，且，所以或故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，注意多解问题，考查运算求解能力，属于基础题4在中，内角，所对的边分别是，若，则ABC2D【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解【解答】解：由正弦定理可得，故选：【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题5在中，已知，则角ABCD或【分析】根据已知条件，结合正弦定理，

5、即可求解【解答】解：，即，故选：【点评】本题主要考查正弦定理，属于基础题6在中，若，则ABCD【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解【解答】解：，则故选：【点评】本题主要考查正弦定理，属于基础题7在中，则ABCD【分析】由已知利用正弦定理即可求解【解答】解：在中，则由正弦定理，可得故选：【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题8在中，已知，则角为AB或150C或D【分析】根据正弦定理，即可得解【解答】解：由正弦定理知，所以，所以或，经检验，均符合题意故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解题的关键，注意多解问题，考查运算求解能力，属于基础题二多选题（共5小题）

6、9在中，内角，所对的边分别为，则下列结论正确的有A若，则B若，则一定为等腰三角形C若，则一定为直角三角形D若，则一定为锐角三角形【分析】选项中，结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；选项中，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，可判断；选项中，利用余弦定理化角为边，再结合勾股定理，可判断；选项中，由余弦定理可得角为锐角，但角，不确定【解答】解：选项中，由，可得，根据正弦定理得，即选项正确；选项中，结合正弦定理及，知，所以，所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，即选项错误；选项中，由余弦定理及，知，化简得，即选项正确；选项中，由余弦定理知，所以角为锐角，但角，不确定，所以选项错误故选：【点评】

7、本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题10中，角、所对的边为，下列叙述正确的是A若，则B若，则有两个解C若，则是等腰三角形D若，则【分析】选项，结合正弦定理与“大边对大角”，可判断；选项，由，知有两个解；选项，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，得解；选项，利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式，化简运算，可得，然后根据余弦函数的单调性，得解【解答】解：选项，由正弦定理知，因为，所以，所以，即选项正确；选项，所以有两个解，即选项正确；选项，由正弦定理及，知，即，所以或，所以或，故为等腰或直角三

8、角形，即选项错误；选项，由正弦定理及知，又，所以，因为，所以，又，所以，即选项错误故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，二倍角公式，两角和的正弦公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题11若的内角，所对的边分别为，且满足，则下列结论正确的是A角一定为锐角BCD【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果【解答】解：由于，利用三角函数关系式的变换：，即：，整理得：，所以；利用正弦定理：，利用余弦定理：，由于，故，整理得，故选：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要

9、考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题12在中，下列命题错误的是A若，则B若，则一定为等腰三角形C若，则一定为等腰三角形D若三角形的三边满足，则该三角形的最大角为钝角【分析】根据正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换即可逐项求解【解答】解：对于选项，由正弦定理结合大角对大边得：，故选项正确；对于选项，由于，又， 是三角形的内角，所以，或，即或，因此 可能为等腰三角形或直角三角形，故选项错误；对于选项，若中，可得，不是等腰三角形，故选项错误；对于选项，因为，所以，可得为锐角，无法判断三角形的最大角为钝角，故选项错误故选：【点评】本题考查解三角形及其三角恒等变换等知识，考查逻辑推理和数学运算

10、的核心素养，属于中档题13在中，角，所对的边分别为，且，若有二解，则的值可以是A1BCD【分析】由题意画出图形，可得，求出的范围，结合选项得答案【解答】解：如图，要使有二解，则，即，得的值可以是故选：【点评】本题考查三角形的解法，考查数形结合思想，是基础题三填空题（共3小题）14在中，角，所对的边分别为，且满足，则角【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果【解答】解：由于，整理得：，利用正弦定理：；由于，所以，整理得，由于，所以故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题15中，则的周长

11、是 【分析】用正弦定理及两角和公式计算即可【解答】解：根据题意可知，由正弦定理得：，解得，解得：，的周长故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理及两角和公式，熟练运用正弦定理及两角和公式是解决本题的关键16已知的内角，的对边分别为，且，点是的重心，且，则的面积为 【分析】由正弦定理可得，结合三角形的内角和定理及和角正弦公式进行化简可求，由三角形的重心性质可知，结合向量数量积的性质可求，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：，由正弦定理可得，即，是的重心，解可得，故答案为：【点评】本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思想

12、，属于中档试题一选择题（共2小题）17秦九韶是我国南宋数学家，其著作数书九章中的大衍求一术，三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献，秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，是的内角，的对边已知中，则面积的最大值为ABCD【分析】由正弦定理可得，代入已知等式，结合两角和的正弦公式，化简可得，再代入中，根据二次函数的图象与性质，得解【解答】解：由正弦定理及，知，所以，即，所以，故，所以，当时，取得最大值，为故选：【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中

13、档题18已知中，角，的对边分别为，若，则的最小值为ABCD【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得，关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值【解答】解：因为，由正弦定理得：，即，所以，则，所以，（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为故选：【点评】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题关键是能够灵活应用正弦定理进行边角互化，从而得到三角形三边之间满足的等量关系，将等量关系代入余弦定理，则可利用基本不等式求得最值二填空题（共3小题）19设内角，的对边分别为，点在边上，是的平分线，则的面积的最小值为 ，的最小值为 【分析】由，利用正弦定理化边为角，进一步可得，求得，过点作，交于，得

14、为正三角形，设，得，写出三角形面积，利用基本不等式求最值；，利用基本不等式求的最小值【解答】解：由，得，而，可得过点作，交于，得为正三角形，设，则，当且仅当，即时等号成立的面积的最小值为；由，当且仅当，即时等号成立的最小值为故答案为：；【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理与基本不等式的应用，考查运算求解能力，是中档题20南宋数学家秦九韶在数书九章中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边）在斜中，分别为内角，所对的边，若，且则此面积的最大值为

15、 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求【解答】解：，即，即，又且，又，解得，当时，故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题21在中，角，所对的边，满足，则角的大小是 若边长，求的最大值是 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合范围，可求的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，其中，根据正弦函数的性质即可求解其最大值【解答】解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，又，所以，因为，其中，所以当时，故答案为：，【点评】本题考查了正

16、弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题一填空题（共3小题）22在中，内角，所对的边为，点是其外接圆上的任意一点，若，则的最大值为【分析】以的中点为原点，以所在方向为轴的正方向，所在的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，可求坐标，进而可求圆的方程为：，设，则可求，的坐标，进而运算即可得解【解答】解：以的中点为原点，以所在方向为轴的正方向，所在的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，则：，可得外接圆的圆心为：，半径为：，所以圆的方程为：，设，则：，所以：故答案为：【点评】本题主要考查了平面向量的运算，把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关

17、点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决，属于中档题23在中，角，的对边分别为，若，则【分析】由题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和定理与三角恒等变换，求出、和的值，即可求出、和的值，再计算【解答】解：中，由正弦定理知，即，设，且，由，得；在中，可得，则，；又，两边都除以，得，又，为锐角，解得；同理可得，则故答案为：【点评】本题考查了解三角形与三角恒等变换应用问题，也考查了运算与求解能力，是难题24已知的内角，所对的边为，且，若点是外一点，则当四边形面积最大时，【分析】由已知以及正弦定理可知，化简可得，结合的范围可求，设，可求，在中，由余弦定理可得，利用

18、三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求，其中，由，可求，进而根据同角三角函数基本关系式可求的值【解答】解：由以及正弦定理可知，即由于：，可得：，中，由于，设，则，则，在中，由余弦定理可得：，由于，则：，可得：，则，而，则，其中，则当时，四边形的面积有最大值，由于，则此时，故，则，由于，则故四边形面积最大时，故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于难题二解答题（共2小题）25已知函数的图象的一条对称轴为直线，且此轴与函数图象交点的纵坐标为（）求函数的单调递增区间；（）在三角形中，两个内角，满足，且，求内角，所对的边的比的值【分析】第一问需要我们根据对称轴及最值求出函数解析式，然后利用整体法求函数的单调增区间；第二问为三角函数与解三角形的综合题目，需要我们根据条件求出角，的值然后求解【解答】解：（），；由题意知，；所以；所以；于是；所以；令，解得；所以单调递增区间为，；（）；，又因为，所以；由正弦定理得：【点