中国家庭的最优化住房投资方案

1、中国家庭的最优化住房投资方案西安交通大学谢俊 黄越 王欣伟摘 要本文通过对中国现阶段房地产总体情况进行分析，运用统筹学、概率论等相关知识，建立目标函数，为不同类型的中国家庭提出了合理、贴切的住房投资方案。首先，本文结合现有数据，运用灰色系统理论建立了描述房价的模型，对未来房价进行预测。由于预测本身具有随时间呈扇形放大的不确定度，本模型只采纳短期预测数据，力求最大的准确度。预测结果表明：未来一定时间内，房价将以1.057的同比价格变化指数继续上涨，这就为住房投资提供了最基本的保障。然后，本文进一步对制约住房投资利润的因素进行析解分离，运用差分方程求解等方法，对贷款方式、租金额度、折旧损失分别进行

2、讨论。结果表明：对于不同户型的投资，需要结合实际评估比较利息损失。而选择的租金额度，有利于减少损失，增加利润。在模型的改进方面，本文又进一步考虑了市场对住房户型面积的需求，以及现实存在的通货膨胀率，引入了风险评估，最终得出结论：在现有的政策和国情下，投资住房将比单纯储蓄收益能够获得更多的收益，而且对于不同个性取向类型的家庭，投资取向也有所不同：“投机冒险型”家庭可以选择尽可能大面积的户型；“保守型”家庭可以选择面积为户型的住房；而“中间型”家庭可以选择投资户型的住房。从整体上看，本文得到了一个较为完备的家庭式住房决策方案。其充分抓住了影响投资收益的关键因素，将复杂的房地产投资过程高度明了化，再

3、加上较为紧密地联系了实际，使模型缜密，易懂，适用性强，但也不可避免的具有公式较多，运算量大的缺点，仍有待做进一步的改进。关键字：住房投资，灰色理论，住房价格，利润，贷款方式，风险问题重述随着改革开放的进一步深入，我国经济进入了高速发展期，数千万中国家庭从此迈上了小康之路。与此同时，大众的投资观也由一贯的“存钱”逐渐转向为“生钱”。近几年来，中国的房地产行业异常红火，一些手有余钱的家庭也为之吸引，尝试投资房地产来获得收益。但楼市有风险，政府接踵而至的各项政策，高空置率与高房价共存的奇怪现象，都为中国的房地产产业披上了一层浓浓的迷雾，也给即将或是正在其中行船的家庭式住房投资平添了种种不确定性。尽管

4、如此，相对于股票、基金的抽象性，房地产商品的现实存在对能力有限的家庭式投资而言仍具有不可抗拒的吸引力。因此，迫切需要根据市场房屋价格的变化情况，并综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率等相关因素，建立数学模型，为家庭进行住房投资做出合理性决策。问题分析任何投资，追求的都是利润的最大化，同时尽可能规避风险。对于住房投资而言，利润主要来源于租金和再次卖出时获得的差价，而在此过程中，房主所要承担的损失主要有银行利息、折旧费、物业费以及两次买卖过程中存在的税费和手续费。对于低收入家庭而言，如何负担第一套住房都存在一定困难，基本上可以不考虑其投资第二套住房的情况。而对于高收入家庭而言，其

5、拥有的资产数额庞大，投资领域多样，对于风险的承受力很大，研究价值不是很明显。因此，焦点应集中于占相当比例的中等收入家庭，其资金有限，抗风险能力差，使得建立一套模型来寻求利润的最大化以及风险的最小化就显得尤为必要。同时，其购置房产往往需要借贷，而其家庭收入决定了贷款额度以及年限，更进一步决定了其买入房屋的质量、居住面积。当然，也绝不能忽视市场对不同户型住房的需求（其决定了空置率，而空置率的反影响已体现在房价变化中了），其关系着房屋成功租出或售出的可能性，在当前的房地产红火以及政府宏观调控的大形势下，房屋价格很难有相当明显的下跌，因此市场对不同户型住房的需求也就成为决定住房投资风险的最主要因素。由

6、于房屋价格等相关因素有着十分明显的地域性差异，为了使讨论更为形象和直观，本文主要以西安市为例进行展开分析。模型假设（1）假设在一段时间内，国内房地产业在相关政策、市场供求等方面不会出现幅度十分巨大的变化。（2）假设在一段时间内，有关该模型中所购房屋的物业费、贷款利率不会产生很大的波动。（3）假设该家庭在投资房屋时，能够相对选取比较合适的户型布局、楼层和地理位置，使得决策可以相对忽略这些次要因素。符号说明符号说明单位投资所购房屋的面积第年该房每平方米价格交纳住房贷款利息元截止第年盈利的累计值元房屋同比价格变化指数-房屋折旧率-平均年租金盈利元/年平均年缴纳物业费元/年发展灰度以及内生控制灰度-灰

7、色理论所涉及序列-贷款利率- 模型的建立与求解 整体模型的建立假设投资所购住房面积为，第年该房价格，需缴纳住房贷款利息，每年盈利为，累计盈利为，房屋同比价格变化指数为，折旧率为，每年租金盈利为，物业费为，则有如下关系：该房实际价格： 年盈利满足：所以，此次投资的最终利润为： 相关因素模型的建立2.1 房屋价格（同比价格变化指数）预测由于影响住房价格的因素较多，其参数以现有的数据也难以确定，故采用灰色理论【5】的计算方法，建立模型，进行预测。令其中指由已知各年住房价格相关数据所组成序列中的第个元素，为的紧邻均值生成序列中的第个元素，参数分别为发展灰度以及内生控制灰度。表2-1 2000-2010

8、年西安市住宅销售均价、价格指数数据年份200020012002200320042005价格指数101.90104.00105.70109.40104.40单价（千元/平方米）3.598483.666853.813534.030904.409804.60383年份20062007200820092010价格指数103.90106.50107.10100.57112.36单价（千元/平方米）4.783385.094305.456005.487006.16500（数据来自中国国家统计局数据库） 由上表的中国历年住房均价可得，序列为: 1）对进行逐项累加，生成新数列为：2）其紧邻均值生成序列元素满足:

9、可得其紧邻均值生成序列为：于是，有：利用微分方程满足的最小二乘系数列，可知解得：3）确定预测模型。 代入所得值，可以得到微分方程：由微分方程进一步可求得其时间响应式4）求的模拟值5）还原出的模拟值，由得：6）误差检验通过将模拟值序列与已知序列进行一一比较，可以求得其平均相对误差为：由此说明，该预测得到的模拟值与实际值相差在可接受范围内，可以使用其进一步预测接下若干年的模拟值。7）预测结果表2-2 由GM模型预测的之后几年住宅楼平均价格年份（年）预测住宅价格（千元/平方米）同比价格变化指数20106.1650（已知）-20116.37771.03520126.74441.05720137.132

10、21.05820147.54211.057图2.1 预测（模拟）值与实际值比较图由以上预测可知：如果决定投资住房，就应早动手，抓紧购房。2.2 租金的确定由需求价格弹性可知，商品价格下跌，往往导致需求量增加；相反价格上涨，则会抑制需求量甚至导致其下降。因此租金的定位，将直接关系到其成功租出的可能性（即租出率），而与出租率相对应的，是住房的空置率。以西安市为例，中等质量住宅的平均出租价格区间为，不妨假设出租价格时，租出率为1；出租价格时，租出率为0。由此可设出租率随出租价格变化曲线近似可视为抛物线（如下图）。图3.1 出租率随出租价格变化图则有此变化函数为：其中表示出租价格，为对应的出租率。则每

11、月出租收益期望额为：由此得其每月出租收益期望额分布图如下：图3.2 每月出租收益期望额随价格变化图对其求导，以期求得最大收益期望额。令得结合的取值区间以及图像发现，当时，收益期望有最大值，因此该房每年的最大出租收益期望值为。2.3 购房贷款决策作为中等收入家庭，其或多或少都有一定的积蓄。在固有积蓄确定的情况下，如何合理地选择贷款比例，将直接影响此次住房投资最终的收益。依据常理推断，能够进行住房投资的家庭，其往往已经拥有一套居住用房，因此假定其所购房屋为“二套房”。根据中国国务院常务会议于2011年1月26日推行的“新国八条” 中关于楼市调控的规定，“二套房”首付比例必须在总体房价的60%以上。

12、比例之高，需要分以下情况，比较得出优劣。2.3.1 判断是否贷款假设现有购房资金万元。其选择等本金还贷方式，年限为25年，贷款利率为6.6%，则有关系式：总利润=升值利润+租金利润-折旧损失-物业费-（还贷利息）方案一：不贷款买房（贷款金额为零）。在此情况下，其可购得房屋面积为：其中指其购房时房屋每平米的价格。应用利润关系式，其第一年的收益为：方案二：贷款金额为买房总价的40%（最大贷款额）。在此情况下，可以购得的住宅面积为：，同样应用利润关系式，其第一年的收益为：结合西安市现有数据，可以赋值：， (税法规定：折旧率的计算公式为：，而残值规定为0.05，砖混结构住宅寿命理论为50年)，（此由上

13、述灰色理论预测得到）。将数据分别代入以及中，计算得：显然，而在接下来的几年中，本金还贷方案的还贷利息会逐年减少，利润更丰，因此，在现有的政策背景、房地产业界大环境和大趋势下，选择更高的贷款额，购买更大面积的住宅，往往能够获得更高、更可观的收益。 决策还贷方式-模型建立同样设某家庭现有购房资金为，每月收入结余中可用于还贷的资金为，按中国现有银行的贷款规定，有以下两种还贷方式可供选择：方式一：采用等本金还贷方式，具有“同年限，低利息”的优点，但由于初期每月需缴的本息较大，在收入水平一定的情况下，需要选择较长的贷款年限。方式二：采用等本息还贷方式，具有“同收入，短年限”的优点，但由于每月本息相同，其

14、最终需付的总利息可能会比较大。由于购房面积直接决定了购房所需金额，而购房所需金额又同所需贷款金额存在明显的正相关，需分类对两种还贷方式进行比较。（一）所投资购买房屋为较小户型当购房面积较小时，需要贷款的金额也相应较小，那么若贷款年限确定，每月需要承担的月供就少，这时无论采取以上哪种还贷方式收入都足以承担月供。下面就这两种方式建立函数模型，比较哪种方式更加优越。等本金还贷方式设银行规定的贷款月利率为，所需年限为，易得购房价格为,故贷款金额为（），则第一个月需缴纳的本息和为，其需满足： 所以这种情况下S需满足的条件为：，即： 上式说明贷款年限在30年内时，r可以承担等本金还贷方式第一个月的月供且C

15、金额的资金可以付得起60%以上的首付。又由式得 对照贷款年限表，根据可以确定贷款最小年限，则第个月需缴利息为：单年所需缴纳年利息总和为：因此方案一等本金还贷方式产生的总利息为：所以有：2等本息还贷方式令每月还贷数额为，且设每个月末剩余本金为，则有易得 假定在第个月，贷款得以偿清，则将，带入式得：故贷款年限T满足 根据式查贷款年限表可得到最小贷款年限，令得： 第个月末剩余本金为：所以可得第k个月的利息为：所以第 t年的利息为：带入并累加得综上所述，对比以上两种还贷方式可以发现：若，采取等本金还贷方式较为合理，可得：若，则采取等本息还贷方式，同样可得：（二）所投资购买房屋为较大户型当S的值增大时，

16、由式又可得如下两种情况：1）若，则，在此情况下，当时，无论采取哪种还贷方式，都能承担月供，故此时的与（一）中讨论相同。2）若，令，则由式得：假定每月剩余收入均用于还贷，即令，则：当，无论采取何种还贷方式，r都无法承担月供，故可得：所以当时，只能采取等本息方式还贷，此时还贷利息为： 结合以上分析，下面举例说明应如何做出贷款决策。假设甲某现有购房资金C=32万，每月可用来支付房贷的收入结余为r=3000元，由上述分析可知，在能力范围内应该买更大面积的房以便获得更高收益，故其尽量多贷款买面积更大的户型。根据现行法规，贷款金额最高值为。将数据代入上述有关贷款年限T的式子进行求解，得到等额本金还贷方式与

17、等额本息还贷方式应选贷款年限的理论解为：实际上，贷款年限常为整数，取：在不考虑提前还贷及利息变化等因素的前提下，到还贷年限，贷款金额21.33万元需缴纳的利分别为：等额本金贷款方式：70975.57元等额本息贷款方式：61816.36元 可见对于此例，选择等额本息还贷方式所需缴付的总利息更少。故根据以上分析，模型对于此例给出的投资决策是：使用最高贷款额度贷款21.33万元，并且选择8年期的等额本息还贷方式。2.4购房面积的确定根据中得出的结论，要尽可能多的获得收益，就需买较大面积的住宅，因此，我们做出决策：在能力允许的范围内尽可能投资较大面积的房。故有： 2.5房屋出售决策在缺乏足够多相关数据

18、的情况下，很难对影响房价的因素做逐一的定量分析，并精确预测出房价随时间的波动情况。但根据2.1的灰色预测，本文利用已知连续几年的房价数据，较准确地对短时间内的房价变化趋势进行预测，得到了此后一年的房价同比变化指数。并根据上述模型分别确定买房后第t年的房屋单位面积价格，单位租金，购房面积，以及利息函数，从而确定了和，借此分析做出是否卖房的决策。为了降低风险，假定当，且（其中代表预测出的下一年的盈利，表示从买下房子到今年的累计盈利）时，就应当将房子售出。那么就可以根据以上预测确定各参量的大小，求出的值，最终决定是否在第年将房子售出。模型的改善与评价模型改善 考虑市场对户型面积需求带来的风险以上模型

19、中，我们只考虑面积越大，获得的收益越大，但实际上，面积过大的住宅的市场需求量较低，所以购买过大面积的房子还要承担卖不出去以及租不出去的风险。下面，我们通过考虑住宅面积S的大小对出售风险的影响对已有的模型进行改进图1 2010年西安成交二手房面积分布饼状图6假定一般家庭住宅面积不超过220m2，根据以上饼图中的数据，可作出各个户型面积区间内的平均分布百分比，有：表1 各面积区间成交比例分布表面积区间（m2）0,6060,8080,9090,100100,120120,144144,180180,220所占比例（%）25.50 21.12 9.66 9.20 11.22 11.20 6.75 5.

20、37 单位区间比例（%）0.425 1.056 0.966 0.920 0.561 0.467 0.188 由于成交量在很大程度上可以反映市场需求量，因此可以近似地用=比例/区间长度表示该区间内某面积的市场需求量大小。不妨设其为区间中点的市场需求，则可得到市场需求与S的对应关系，有：表2 市场需求与户型面积分布表S30708595110132162200f(S)0.4251.0560.9660.9200.5610.4670.1880.134由数据的对称性以及实际生活常识可知，中型住宅往往最畅销，户型过小或者户型偏大的住宅市场需求量均有所减小，因此住宅的市场需求量与其面积S之间应该近似符合正态分

21、布。令分布满足：，用MATLAB对以上8组数据进行拟合，得到如下结果：图2 拟合所得数值结果图所以有：即：考虑到现实情况下即使面积最适中的住宅的市场需求指数也很难达到100%，不妨设市场需求指数的最大值为0.95，故可建立如下的市场需求指数函数其函数图像如下：图3 市场需求指数分布图显然，越大，市场需求度越高，购置这样的房子后盈利的风险越小；反之，越小，市场需求度越低，购置这样的住宅盈利的风险越高。故房产投资决策的效用函数不应该仅仅以盈利函数来确定，还应该综合考虑风险的影响，故我们可把效用函数改为如下模型改进后的模型综合考虑了市场需求以及住房本身价值对总收益的影响，更为符合实际。综上所述，针对具有不同心理因素和性格偏好的家庭而言，有以下结论：若其取向为“投机冒险型”，其可以投资尽可能大户型的房屋，以获得最大的收益。若其取向为“保守型”，其可以投资户型为的房屋，风险小，收益不错。若其取向在以上两者之间，其可以投资户型为的房屋，风险适中，收益也较大。 考虑未来可能存在的通货膨胀带来的风险 由于通货膨胀压力的现实存在，其对住房投资及储蓄所得收益均有一定影响。表年历年CPI数据年份（年）（）模拟物价（数据来源：百度文库7）由上图可知，由于通货膨胀，2005年之后物价均高于2004年，且其大趋势为增加，根据经济学原理可知，无论是投资房产或是进行储蓄所得利润均有缩水的趋势。但是，投资房地产由