两自由度系统振动

1、第2次作业P r .如图2-1所示，一小车（重P）自高h处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随 同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k ,斜面倾角为a，小车与斜面之间摩擦力 忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。k自不：T二尸 同2、T 土 gk Ak 2h 年而：-图2-1.确定图2-2所示系统的固有频率。圆盘质量为 m图2-2.确定图2-3系统的固有频率图2-3答案：n = -2g- ,3 R -r第三章两自由度系统振动 3-1概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单

2、的多自由度系统。 从单自由度系统到两自 由度系统，振动的性质和研究的方法有 质的不同。研究两自由度系统 是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度系统 是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。 很多生产实际中的问题都可 以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶 尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统 中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量） ，将 系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在 于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成 图(d)所示的两自 由度振动系统的动

3、力学模型。以图3.1 (c)所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安 装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的， 具有集中质量 的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是 支承在砂轮架内的一个弹簧一一质量系统。止匕外，砂轮架安装在砂轮进刀 拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板 的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又 近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧一一质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的 支承在进刀拖板上的两自由 度系统。用出1向自由.地振动系统及其动力学模型在这一系统的动力学模型中，m是砂轮架的质量，

4、ki是砂轮架支 承在进刀拖板上的静刚度，m是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮 主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐 标原点，取其铅垂位移Xi及X2分别作为各质量的独立坐标。这样 Xi 和X2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。（工程实际中两自由 度振动系统）工程实例演示 3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（汽车动力学模型）以图3.2的双弹簧质量系统 为例。设弹簧的刚度分别为ki和k2,质量为m、m。质量的位移分别用xi和X2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向zi图3.2双弹簧一质量系统（分析）在振动过程中的任一瞬间t,m和m的位移分别为

5、xi及X2。此时，在质量m上作用有弹性恢复力kiXi及k2（X2 - Xi）,在质量m上作用有弹性恢复力k2（X2-Xi 这些力的作用方向如图所示。应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：miXikiXi - k2 x2 - Xi =0m2X2 k2 x2 - Xi = 0kik2令 a =, b =则（3.i ）式可改写成如下形式：号c =mijk2m2(3.i )Xi 0m1Xi kiXik2 x2m2X2 k2 x2 xi ;x1ax1bx2 = 0X2 - cx1 + cx2 = 0j（3.2）这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组 。（分析）在第一个方程中包含 - bx2项

6、，第二个方程中则包含- cx1项，称为“耦合项（coupling term）。这表明，质量m除受 到弹簧ki的恢复力的作用外，还受到弹簧k2的恢复力的作用。 m虽然只受一个弹簧k2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点 m位移的影响。我们把 这种位移之间有耦合的情况 称为弹性耦合。若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。二、固有频率和主振型创造思维：从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也 希望在两自由度系统无阻尼自由振动中 找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解， 然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。设在振动时，两个质量按同样的频率

7、和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：x1 = A1 sin ntx2 = A2 sin（0 nt + 邛）J （3）其中振幅Ai与A、频率与n、初相位角华都有待于确定。对（3.3）式分别取一阶及二阶导数：x1 二 A1n cos nt; x1 - A 2 sin nt卜-222 1.2-2/, ，G Lx2 = A20 n cos nt + *); x2 = - A2s n sin nt + )j(3.4)将(3.3)、(3.4)式代入(3.2)式，并加以整理后得：(3.5)a - 2 A1 - bA2 = 0-cA1c - ； A2 = 0上式是Ai、A2的线性齐次代数方程

8、组。A、从=0显然不是我们所 要的振动解，要使Ai、A2有非空解，则（3.5）式的系数行列式必须 等于零，即:将上式展开得:42, n - a c n ca b=0(3.6)解上列方程，可得如下的 两个根:ni,2(3.7)bc由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为 系统的频率方程(frequency equation ) 或特 征方程(characteristicequation )。特征方程的特征值(characteristic value )即频率0 n只与参数a, b, c有关。而这些参数又只决定于系统的质量m, m和刚度ki, k2,即频率缶n只决定于系统本身的物理性质，

9、故称 n 为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个，即 *1和0 n2,且 %一0 n2,把。n1称为第一阶固有频率(firstorder natural circular frequency )。基频 n2 称为第二阶固有 频率 (second order natural circular frequency )。(推广)理 论证明，n个自由度系统的频率方程是 仍2的n次代数方程，在无阻 尼的情况下，它的n个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统 的自由度数目相等。将所求得的n1和 n2代入(3.5)式中得:Ra22 = a - / 1 = cA)bc A22) a -6：2c | (

10、3.8)2 衅)b c - 切 言 *式中：A), a21)对应于切n1的质点m, m的振幅；A12 A -对应于n2的质点m, m的振幅。由此可见，对应于& n1和6 n2 ,振幅A1与4之间有两个确定的 比值。称之为振幅比(amplitude ratio )。将(3.8)式与(3.3)式联系起来可以看出，两个 m与m任瞬间位移的比值X2/%也是确定的，并且等于振幅比A2/A1 o系统的其它点的位移都可以由Xi及X2来决定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可以由振幅比确定， 也就是振幅比决定了整个 系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型(principalmod,也可

11、称为 固有振型(natural mode )。其中：P 1 第一主振型，即对应于第一主频率0 ni的振幅比；0 2 第二主振型，即对应于第二主频率6 n2的振幅比。当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系 统的主振动(principal vibration )。所以，第一主振动为:(3.9) TOC o 1-5 h z )=A)sin侬 n1t 十、)；xj)= APsinMgt + 邛1)=B1A11)sin9 gt +、) n nnini第二主振动为：Xj2 = A2 sin n2t2x22)= a22)sin(s n2t + 甲2 )= B2A(2)sHs n2t + 2

12、 )j(3.10)为了进一步研究主振型的性质，可以将(3.7)式改写成如下形式:因为2n1,2所以 a - - 21 = a -2 1+ bc2十bc2因为上式的等式右边恒大于零，所以 a - 6 ni 0 ,由（3.8 ）式知，10又因为 a - 22 = a -2bcJ J2 TOC o 1-5 h z a - c ；,I + bc 2 ) 一一2因为上式的等式右边恒小于零，所以a - n2 0表示N1师A21）的符号相同，即第一主振动中两个质点的相位相同。因此，若系统按第一主振型进行振动的 话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时 达到最大偏离位置。而 n1t +甲1

13、)+ B2A(2)sins n2t + %)j (3.11)中2四个未知数要由振动的四个初始条件来决定。设初始条件为：t=0时,X1 = x10 , X2 = x20，X1 = x10，X2 = X20 经过运算，可以求出:A1= ：:,： 2X10 - X20-2 - - 1 n1、2/ R.2 . H1X10X20( 1 X10 X20)1 = tg/ , n1 - 2X10 - X20- 2X10 - X20/ n2 - 1X10 - X20-1 X10 - X20(3.12 )将（3.12）式代入（3.11 ）就得到系统在上述初始下响应。四、振动特性的讨论1.运动规律从（3.11）式可

14、以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从（3.7）式来看，这两个分振动的频率n10 c n2的比值却不一定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动。在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在 某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。.频率和振型两自由度系统有两个不同数值的固有频率 ，称为主频率，当系统 按任一个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时， 任何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。.节点

15、和节面在两自由度系统的高阶主振型中存在着节点， 而在第一阶主振型 中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数 越高，则节点数也就越多。 一般来说，第i阶主振型有i-1个节点。对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面，称 为节线(nodal line )和节面(nodal surface )。.阻尼若系统存在阻尼，则阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统 相似。由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。例 试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。已知 m1 = m, m2 = 2m, k1 = k2 = k, k3 = 2k。又若已知初始条件为 Xio = 1

16、.2, X20 = Xio = X20 = 0 ,试求系统的响应夕口V777777777777T7T图3.4两自由度振动系统MLZZK.Za)1 事一专&)图3.5系统的主振型解：该系统的运动微分方程式为m1x1 k1k2 x1 - k2x2 = 0m2x2 - k2x1 k2 k3 x2 : 0k1 k2k2k2k2 k3令 a = , b =,c = , d =m1m1m2m2则x1 ax1 - bx2 = 0 x2 - cx1 dx2 = 0可解出：类比前面形式：主行列式为零。n1,2bcn1n2因为n1,2n12k3k,42m2mn12- 32k2k5k=1.581根据给定的初始条件，

17、代入（3.12）式得:A=-1.2、=0.4-1-c 2221A2 = 1 1.2 = 0.81 - 2)ji故系统的响应为:X1IX2=0.4cos., kt 0.8cos1.581, kt mm= 0.4cosi kt - 0.4cos1.581 kt m m五、主振型的正交性如前所述，两自由度系统有二个固有频率和二个相应的主振型。现在我们来研究这二个主振型之间的关系。为了便于分析研究，我们 先来讨论以下几个例子例1 一个质量为m的小球，固定在垂直安装的细长圆截面弹性 杆的顶端，杆子下端固定在地面，如图3.6所示。杆子质量略去不计 现分析其振动情况。设O点是平衡位置,小球在水平面xoy上的

18、小范围内运动，其任一瞬时的位置可以用矢量r来确定。小球的坐标 则可通过方向余弦求得:式中：i , j分别表小x,y轴上的单位矢量。当小球偏离平衡位置 O点后，就要受到圆杆的弹性恢复力F的作用。由于圆杆在任何方向上的刚度 k都相等，故F = - kr将F力投影到x, y轴上得：F cos r ,i 一 kr cos r ,i 一 kx .Il- ( ) I( ) IF cos r , j 一 kr cos r , j 一 ky因此，可建立系统的运动微分方程式：mx1 ) - kxmx2 ) - ky这是两个彼此独立的单自由度系统的运动微分方程式 ，在x方向 和y方向两个自由度上 没有耦合，而且由

19、于在这两个方向上k相等， 故两个方向的振动频率也相等。即kCC = co =|nx ny m m所以两个方向的自由振动都是简谐振动， 且频率相等。其合成结 果一般情况下是个椭圆。由此可见，在x, y方向，系统均按其固有频率作自由振动，故 均为主振动。也就是说，在x和y方向，系统均具有确定的振动形态。 所以系统的两个主振型也分别沿 x和y方向，也就是说，系统的两个 主振型是互相垂直的。例2若将图3,6所示系统中的弹性杆的截面改成矩形， 试分析 其振动情况。图支承在两根弹簧上的小球由于弹性杆截面为矩形，故杆件在两个互相垂直的方向上抗弯刚 度就有所不同。现取杆截面的两个惯性主轴作为 x、y坐标轴，则

20、x 轴方向上的刚度为kx, y轴方向上的刚度为ky,因而系统的运动微分 方程式即成为：mx1 二 一 kxx.mx2 -kyy两个方向上的频率不等，它们分别为：nx 1/; ny。 mm这时，在x, y两个方向上是不同频率的简谐振动，具 合成结果 就是不同频率的李沙如图。振动运动学知识在x和y方向，系统仍按固有频率6 nx =切ny作自由振动，故仍 是主振动，因而主振型分别沿x和y方向，所以系统的两个主振型仍 互相垂直系统的第一主振型和第二主振型互相垂直，主振型这种互相垂直 的性质，叫做主振型的正交性（orthogonal properties of principal made9主振型的正交

21、性的几何意义 就是两个主振型直线互相垂直。（能量各个独立，不相干扰） 3-3 两自由度系统的受迫振动、系统的运动微分方程和单自由度系统一样，两自由度系统在受到持续的激振力作用时就会产生受迫振动，而且在一定条件下也会产生共振。图3,8所示为两自由度无阻尼受迫振动系统的动力学模型 。我们称简谐激振力作用的m-ki质量弹簧系统称为主系统。图3.8两自由度振动系统动力学模型把不受激振力作用的m-k 2质量弹簧系统称为副系统这一振动系统的运动微分方程式 为：m1x1k1x1 - k2 x2 - x1 = p0 sin tm2x2 k2 x2 - x1 = 0(3.13)k2P0一,p 二m2m1k1 k

22、2, k2,b 二,cm1m1则（3.13）式可改写成:=p0sin tx1ax1 - bx2x2 - cx1 cx2这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程组，其通解由两部分组 成。一是对应于齐次方程组的解，即为上一节讨论过的自由振动。是对应于上述非齐次方程组的一个特解，它是由激振力引起的受迫振动，即系统的稳态振动。我们只研究稳态振动，故设上列微分方程组有 简谐振动的特解：x1 = B1 sin tx2 = B2 sin 0 tj （3.15）式中，B、B2是m、m的振幅，在方程组中是待定常数。对（3.15） 式分别求一阶、二阶导数,2x1 =B1 cos t;x1= - B1sin tx2 =

23、民与 cos t;x2= - B2。2 sin tj（3.16）将（3.15）及（3.16）式代入（3.14）式得:a -2 B1- cB1c-bB2 = p2）B2 = 0：（37）二 pc-2=pc这是一个二元非齐次联立代数方程，它的解可用行列式原理求出:二 a - 2 c- 2 -bc_ b,2c -2P01Bi =Apc-2 TOC o 1-5 h z 22；(3.18)a - c _ - bc2PC一22- a ；.-；,：.c - 1- bc这就是说，我们期待的方程组（3.14）式的简谐振动特解是可以 得到的。二、振动特性的讨论.运动规律由（3.15）式得知，两自由度系统无阻尼受迫

24、振动的运动规律是 简谐振动。.频率两自由度系统受迫振动的频率与激振力的 频率0相同。.振幅由（3.18）式得知，两自由度系统受迫振动的振幅决定于激振力力幅、激振力频率，以及系统本身的物理性质。现分别讨论如下：（1）激振力幅值po的影响因为pxpo,所以po与B、B2成线性关系。即po越大，振幅B、2也越大。（2）激振力频率金的影响为了说明缶对振幅的影响，我们以B、E2为纵坐标，以切为横坐标，将（3.18）式作成曲线示图3.9中，称之为振幅频率响应曲线，或称幅频特性曲线。它表明了系统位移对频率的响应特性。图3,9两自由度系统的幅频特性曲线讨论:Do当。川，B1 = B这表明，此时激振力的作用和静

25、力的作用相当。当。=n1,或缶=n2,即激振力频率等于系统第一或第二阶 固有频率时，系统即出现共振现象，振幅 B、B均急剧增加。这就是说，在两自由度系统中，如果激振力的频率和系统的任何一阶固有频 率相近时，系统都将产生共振。也就是说， 两自由度系统有两个共振 区。现在我们来分析一下系统共振时的振型。由（3.18）式可得质量m和由的振幅比为:B2 _ cB1c-2(3.19)这说明，在一定的激振频率下，两个质量的振幅比是一个确定值。当激振频率s等于第一阶固有频率 0n1时，两个质量的振幅比的即为:(3.20)当切=n2时，则B2cD2- B1 J c - n2，n2n2(3.21 )这表明，系统

26、以那一阶固有频率共振,则此时的共振振型就是那一阶主振型。这是多自由度系统受迫振动的一个极为重要的特性 。在 实践中，经常用共振法测定系统的固有频率，并根据测出的振型来判 定固有频率的阶次，就是利用了上述这一规律。当切=VC时，x2 = B2 sin 切 t = - -psin tk2故 k2X2 -Po sin t这就是说，副系统通过弹簧k2传给主系统的力，正好与作用在 主系统上的激振力相平衡。这样，主系统的受迫振动就被副系统吸收 掉了。主系统的质量 m就如同不受激振力作用一样，保持静止。这种现象可以被利用来作为减小振动的一种措施。当8 T8时Bp B2T 0,即激振力的频率很高时，两个质量m

27、和m都几乎不动。这时受迫振动现象也进入惯性区了4.相位由于系统是无阻尼的情况，所以只要观察振幅的正负变化就可以说明相位的变化。现将振幅计算公式（3.18）式的分母作如下的变换：（a-0 2 Xc切 2）-bc= 0 4 -（a+ c32 + a- ）（3.23）由系统的频率方程（3.6 ）式，可以得知 频率方程的两个根 TOC o 1-5 h z 22nP 8 n2必定满足下列关系式：（代数方程的性质）220+ 切 =a + cn1n2a c”:19n2 = da- b）J （3.24）将（3.24）式代入（3.23）式得：22,422222a ccn1 n2n1 n2=血2”2心232 ）（

28、25）n1n2因而（3.18）式可改写成：B1B2 =p(c 一8 2 )血 2 6 2 心 2 6 21 ) n1n2 pc 2 - - n 1- 2 - - n2(3.26)从（3.26）式中可以看出：在0工8 E8n1阶段，B、B2均为正值。故质量 m、由的位移和激振力是同相的，即两个质量的位移也同相当切=切n1时，运动的相位对于激振力要出现相位突跳的反相。当切=JC时，Bi=0,此后，B又重新成为正值，但 R却仍保持 负值。这就是说，在& 6 n1以后，B又改变为负值，而 B却保持正值。根据以上分析，可作出如图3.10所示的相频特性曲线国乩。两自由度系统的相颊特性能变图3.口，动力浦振器的动力学摸里三、动力减振器根据两自由度系统受迫振动的振动特性的分析得知，只要适当地选择系统的参数，就可以使主系统的受迫振动被副系统所吸收，从而使主系统不动，动力减振器就是应用这一原理来设计的。lmim2xi