中考数学压轴大题专题4一线三等角模型专项练习附答案

1、中考数学压轴大题之经典模型培优案专题4 一线三等角模型【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1,已知：在a ABC中， BAC 90 , AB AC ,直线l经过点A, BD 直线l, CE 直线l, 垂足分别为点D, E.求证：DE BD CE .（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图 2,将（1）中的条件 改为：在&ABC中，AB AC ,D,A,E三点都在直线l上，并且有 BDA AEC BAC , 其中 为任意锐角或钝角.请问结论 DE BD CE是否成立？若成立，请你给出证明；若 不成立，请说明理由.（3）数学老师赞赏了

2、他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过ABC的边AB, AC向外作正方形 ABDE和正方形 ACFG , AH是BC边上的高.延长HA交 EG 于点 I ,若 SA AEG 7,则 SA AEI .【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3） 3.5 【分析】（1）由条件可证明 ZxABDA CAE,可得 DA=CE, AE=BD,可得 DE = BD+CE；（2）由条件可知/ BAD+/CAE=180-a,且 / DBA+ Z BAD =180 -a,可彳导/ DBA=/CAE, 结合条件可证明ZABDA CAE,同（1）可得出结论；（3）由条件可知 EM=

3、AH = GN,可得EM=GN,结合条件可证明 AEMIGNI ,可得出结论 I是EG的中点.【解析】解：（1）证明：如图1中，.BD,直线l, CE,直线l, ./ BDA = ZCEA=90 , / BAC=90 ,./ BAD + ZCAE=90 ,. / BAD + Z ABD=90 , ./ CAE = Z ABD, 在4ADB和ACEA中，ABD CAEBDA CEA , AB ACADBACEA (AAS),.AE=BD, AD=CE,.DE=AE+AD=BD+CE.(2)解：成立.理由：如图2中，. / BDA = Z BAC= a,./ DBA + Z BAD=Z BAD+Z

4、 CAE=180-a,./ DBA = /CAE,在DB和ACEA中，BDA AECDBA CAE ,AB ACADBACEA (AAS), .AE=BD, AD=CE, .DE=AE+AD=BD+CE.(3)如图3,过E作EMXHI于M, GNXHI的延长线于 N. ./ EMI=ZGNI=90由(1)和(2)的结论可知 EM=AH = GN.EM=GN在EMI和AGNI中，GIN EIMEM GN ,GNI EMIEMI GNI (AAS),.EI=GI ,.I是EG的中点.-1 Saaei= Smeg=3.5 .故答案为：35【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方

5、形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.【例2】如图，在 AABC中，AB = AC=2, / B=Z C=40,点D在线段BC上运动(点 D不与点B、C重合)，连接AD,作/ ADE = 40, DE交线段AC于点E.(1)当/ BDA = 105时，/ EDC =, /DEC= ;点 D 从点 B 向点 C运动时，/ BDA逐渐变.(填 失”或 小”)(2)当DC等于多少时，ZxABDA DCE?请说明理由.(3)在点D的运动过程中，AADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出/ BDA的度数；若不可以，请说明理由.【答案】(1) 35 ,105，小

6、；(2) 2,理由见解析；(3) 110或80【分析】(1)根据已知条件，三角形内角和定理和平角的定义，可得BAD EDC,ADB DEC ,进而可得/ EDC, / DEC,根据题意，可得当点 D从点B向点C运动时，BAD逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得/BDA逐渐变小；(2)由(1)可得 BAD EDC , ADB DEC ,只要 DC AB ,即可证明 ABDA DCE , 进而可得DC;(3)根据题意，分 ADE为顶角和底角两种情况讨论，进而计算BDA的度数.【解析】(1) v B C 40 , ADE 40 ,BAC 180 B C 1804040100 ,ADB EDC 18

7、0 ADE 140 ,ADBBAD 180B 140 ,DECEDC 180C 140 ,BAD EDC , ADB DEC ,当/ BDA=105时,/EDC= BAD 180 ADB B 1801054035 ,ZDEC= ADB 105 ;当点D从点B向点C运动时，BAD逐渐变大，=BDA180B BAD 140 BAD ,则/ BDA逐渐变小,故答案为：35 ,105，小;(2) : BAD EDC , ADB DEC ,当DCAB 2 时,aABDaDCE (AAS),(3) AADE的形状可以是等腰三角形,BDA 110 或 80BAC1804040当DADE时,DAEDEA180

8、4070 ,BADBACDAC10070BDA180BAD 18040 30110当EAED时,ADE DAE 40 , DEA1804040BADBACDAE 1004060 ,BDA180B BAD 1804060当AE AD时， ADEDEA 40 , DAE 1804040100 , BAC 100 ,此时D点与B点重合，由题意可知点D不与点B、C重合，此种情况不存在，综上所述，当AADE是等腰三角形时，BDA 110或80 .【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键.【例3】在正方形ABCD中，点E在

9、射线CB上(不与点B , C重合)，连接DB , DE ,过 点E作EF DE ,并截取EF DE (点D , F在BC同侧)，连接BF .(1)如图1,点E在BC边上.依题意补全图1 ；用等式表示线段 BD , BE, BF之间的数量关系，并证明；(2)如图2,点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段BD , BE , BF之间的数量关系.图1图2【答案】(1)见解析；BD V2BE BF ,见解析；(2) .2BE BF BD ,见解析 【分析】(1)根据要求画出图形即可；过点 F作FH XCB,交CB的延长线于H.证明4DCE 0EHF (AAS),推出EC=FH, DC =

10、 EH ,推出CE=BH=FH,再利用勾股定理解决问题 即可；(2)由可得 DCEZEHF,推出EC= FH , DC = EH,推出CE=BH = FH,再利用等腰 直角三角形的性质解决问题即可.【解析】解(1)图形如图所示.结论：BD . 2BE BF .理由：过点F作FH CB ,交CB的延长线于H ,四边形ABCD是正方形，CD AB 6 , C 90 ,J DEF C 90 ,DEC FEH 90 , DEC EDC 90 ,FEH EDC , 在DEC和EFH中，H C 90FEH EDC , EF DEDEC EFH (AAS),EC FH , CD BC EH ,BH EC F

11、H ,LBD 72BC v2(BE EC) *5bE 2EC v2BC 亚FH v2BE BF .二四边形ABCD是正方形，CD AB, ACB 90 ,DEF ACB 90 ,DEC FEH 90 , DEC EDC 90 ,FEH EDC , 在DEC和EFH中，FHEFEHDCE 90EDCEF DEDEC EFH (AAS),EC FH , CD BC EH ,HB EC HF ,DCB和BHF都是等腰直角三角形，BD 2BC 2HE , BF 2BH ,BE EC BC ,2BE 2EC 2BC ,2BE 2FH BD ,在BE BF BD .【点睛】本题属于四边形综合题，考查作图-

12、旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.【例4】(1)模型探究：如图 1, D、E、F分别为 ABC三边BC、AB、AC上的点，且/ B=/ C=/ EDF = a. BDE与 CFD相似吗？请说明理由；(2)模型应用： ABC为等边三角形，其边长为 8, E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将 AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD=2.如图2,当点D在线段BC上时，求/IF的值；(2)同(1)的方法判断出 BDEsCFD,得出比例式，再设出 AE=x, AF = y,进而表示出BE=8-x

13、, CF=8-y, CD = 6,代入比例式化简即可得出结论；同的方法即可得出结论.【解析】(1) BDEA CFD ,理由：/ B=/ C= Z EDF = a,在BDE 中，/ B+/BDE + /BED = 180 ,./ BDE + Z BED= 180 -乙 B= 180 - a,. / BDE + /EDF + /CDF = 180 ,.Z BDE + Z CDF = 180 -/EDF = 180 - a,./ BED = Z CDF ,. / B=Z C,. BDEACFD ;(2)设 AE=x, AF=y,.ABC是等边三角形，a=Z B=Z C= 60 , AB=BC =

14、AC=8,由折叠知，DE = AE=x, DF = AF = y, /EDF = /A=60 ,在BDE 中，Z B+Z BDE + Z BED = 180 ,.Z BDE + Z BED= 180 -Z B=120 ,. / BDE + /EDF + /CDF = 180 ,.Z BDE + Z CDF = 180 - / EDF = 120 ,./ BED = Z CDF ,/ B=Z C= 60 ,. BDEACFD ,BD BE DE.:.二二三二.BE=AB-AE = 8-x, CF = AC - AF= 8 - y, CD = BC - BD= 6,f r :,py =- y)Z二

15、，色一工x5AE 517 = 7设 AE= x, AF = y,.ABC是等边三角形，.A=/ABC=/ACB=60 , AB = BC = AC=8,由折叠知，DE = AE=x, DF = AF = y, /EDF = /A=60 ,在BDE 中，/ ABC+/BDE + /BED=180 ,./ BDE + /BED= 180 -/ABC=120 ,. / BDE + /EDF + /CDF = 180 ,./ BDE + /CDF = 180 - Z EDF = 120 ,./ BED = Z CDF ,. / ABC = Z ACB = 60 ,./ DBE = Z DCF = 12

16、0 ,. BDEACFD ,RD BE DEcfcd=Td.BE=AB-AE = 8-x, CF = AF - AC=y-8, CD = BC + BD=10,3-810 y,(2y = %(y-8).llOx =x _ 1V 3. BDEACFD ,空_三_工.BDE与CFD的周长之比为DF 73.【例5.如图，已知等边 ABC的边长为6,点D是边BC上的一个动点，折叠 ABC,使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为 EF (点E、F分别在边AB、AC上). (1)当 AE: AF = 5: 4 时，求 BD 的长；(3)当以B、E、D为顶点的三角形与 DEF相似时，求BE的长.【分析】(

17、1)根据等边三角形的性质得到/A=60 , / B=60 ,(2)当EDLBC时，求EB的值;/ C=60 ,则/ BDE +Z BED = 120 ,根据折叠的性质得/ EDF=/A= 60 , AE=DE, AF = DF ,则/ BDE+ZFDC = 120 ,得到/ BDE=Z DFC ,根据三角形相似的判定得BEDA CDF ,根据相似ED DE BE的性质有正二而二成；设 AE=DE = 5x, AF=FD = 4x, BE = 6- 5x, FC = 64x,贝UBD=4FC=可(6 4x), DC=5BE=5 (6 5x),即有4 (64x)+5 (65x) =6,解出 x 即

18、可计算出BD的长；(2)由 EDXBC,得到/ BDE = 90 ,而/ B=60 , AB = 6, BE= x,贝U AE = ED = 6- x,_ ED_/5利用60的正弦得到sin60 =5T = T,则6-x-Jx,解方程即可；BE BD 空竺(3)讨论：当 BEDA DEF ,则布二而，即而=而，由(1)得 BEDA CDF ,SD DE BE _ RE元三百三五,则而三瓦，所以BD = DC,则AD垂直平分BC,得到EF为4ABC的中 位线，即可求出 BE;当BDEsDEF,得到/ BDE=/DEF,贝U EF / BC,也得到 EF为 ABC的中位线，即可求出 BE.【解析】

19、(1) .三角形ABC为等边三角形， ，/A=60 , / B=60 , /C=60 , ./ BDE + Z BED = 120 ,又折叠 ABC,使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF, ./ EDF = /A=60 , AE=DE, AF=DF, ./ BDE + Z FDC = 120 , ./ BDE = Z DFC , . BEDACDF , gD DE BE . 五一而一正当 AE: AF =5: 4,设 AE=DE = 5x, AF = FD = 4x, BE=6- 5x, FC = 6- 4x, D _ 5 _.= W =菽，_ 5 _ 5=4=4.BDFC*4(6 4

20、x), DC- ?BE- 5 (65x)一+ 丁.BD + DC = 6,即4 (6 4x) 5 (65x) =6,_7_解得x- 10,5 yl- t 一 X .BD 4 (6- 4 IQ) = 4;(2)如图，.EDXBC,BDE = 90 ,而/ B=60 , AB=6,设 BE = x,贝U AE= ED = 6 x,.sinB= sin60 -. c二起 . 6 - x J x,解得 x= 12 (2-、，口)，.BE = 24 - 12%3(3)二.以B、E、D为顶点的三角形与 DEF相似,当 BEDA DEF ,BE BD ffE_RE DF,即 RD DF,又. BEDA CD

21、F ,HD _ DE _ BE7c7d1)c,BE BEBD 一 DC,.BD = DC,AD垂直平分BC,.EF为ABC的中位线，.BE = 3;当 BDEA DEF ,./ BDE = Z DEF ,.EF / BC,而EF垂直平分AD,.EF为ABC的中位线，.BE = 3.例 6在 ABC 中，/ ABC =90(1)如图1,分别过A、C两点作经过点 B的直线的垂线，垂足分别为 M、N,求证：4ABMs，BCN;“万(2)如图 2, P 是边 BC 上一点，/ BAP = /C, tan/PALF,求 tanC 的值；_3更一(3)如图 3, D 是边 CA 延长线上一点， AE=AB

22、, Z DEB =90 , sinZ BAC-J, AC 5,2 _ MN(2)先判断出 MP = MC,进而得出V?- FN,设MN=2m, P4m,根据勾股定理得,PM = 丫丽+户即=3m = CM ,即可得出结论；GJ AC 5(3)先判断出再同(2)的方法，即可得出结论.【解析】(1) AM MN , CNXMN,./ AMB = Z BNC = 90 ,./ BAM+Z ABM = 90 ,. / ABC =90 ,./ ABM+Z CBN = 90 ,./ BAM = Z CBN ,. / AMB = Z NBC,ABMA BCN ;(2)如图2,过点P作PMXAP交AC于M,

23、PNXAM于N.BAP+/ 1=/ CPM + / 1 = 90 , ./ BAP = Z CPM = Z C, .MP = MC=PM = 2店=2- tan / PAC- AN5 而 一 丽设 MN = 2m, PN= VSm,根据勾股定理得，PM= 3m = CM ,_ /5m tanC一研一mjL 可；_BC _ 3在 RtABC 中，sin/BAC=旅=5,过点A作AG，BE于G,过点 C作CH，BE交EB的延长线于 H,. / DEB = 90 ,.CH / AG / DE,GHAC5八，一二1二同(1)的方法得， ABGA BCHHGACAB. .而二正二就二,设 BG=4m,

24、CH = 3m, AG = 4n, BH = 3n,. AB=AE, AGXBE,.-.EG=BG = 4m,.GH = BG + BH=4m+3n,4m54m2,n= 2m,EH = EG+GH =4m+4m+3n= 8m+3n= 8m+6m= 14m,=CW = _3_在 RtCEH 中，tan/BEC 酊-TT.培优训练1.如图1, AB=12, ACXAB, BDXAB, AC=BD=8.点P在线段 AB上以每秒 2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点 Q在线段BD上由B点向点D运动.它们的运动时间(1)若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，当t = 2时， ACP与 BPQ是否全

25、等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；(2)如图2,将图1中的“ ACAB, BDXAB改为/ CAB=Z DBA = 60 ,其他条件 不变.设点Q的运动速度为每秒 x个单位，是否存在实数 x,使得 ACP与4BPQ全等？ 若存在，求出相应的x, t的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用SAS定理证明 ACPA BPQ;根据全等三角形的性质得到/ ACP = Z BPQ, 进而推出/ CPQ=90 ,可得线段 PC和线段PQ的位置关系；(2)由ACP0BPQ,分两种情况： AC=BP, AP=BQ, AC=BQ, AP=BP,建立 方程组可求得结果.【解析】(1)结

26、论： ACP与4BPQ全等.理由如下：当t=2时，AP=BQ = 2X2=4,则 BP = AB - AP=12 - 4=8,.BP=AC,又. / A= / B=90 ,在 ACP和 BPQ中，AP = BQ zJL = zJ G 二 PEACPA BPQ (SAS);结论：PCXPQ.证明：. ACPA BPQ,ACP = Z BPQ,.Z APC+Z BPQ=Z APC+Z ACP=90 .即线段PC与线段PQ垂直.(2)若 ACPA BPQ,贝U AC= BP, AP = BQ,(8= 12 -2t二一二t解得it = 2若ACP0BQP, 贝U AC= BQ, AP= BP,8 =

27、rt 2t=12-2t,解得综上所述，当22或使得 ACP与 BPQ全等.，一. 一. 一一一A 一2.如图，ABC和 DEF是两个全等的二角形， / BAC=Z EDF= 120 , AB= Ab ,现M.将 ABC和 DEF按如图所示的方式叠放在一起，4ABC保持不动，4DEF运动，且满足:(1)求证：/ BAE=Z MEC ;(2)当E在BC中点时，请求出 ME: MF的值；(3)在4DEF的运动过程中，AAEM能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE的长；若不能，则请说明理由.【分析】(1)根据 ABCA DEF,得/ ABC = Z DEF ,由三角形外角的性质得：Z

28、B+Z BAE=/AEM+/MEC,所以/ BAE=/MEC;(2)先证明ACXEF,取AB中点H,连结EH ,则EH = AH ,证明 AHE是等边三角形， 计算BC和EM的长可得结论；(3)分三种情况讨论当AM = AE时，如图3,当AE= EM时，如图4,当MA = ME时，如图5, 根据等腰三角形的性质可得结论.【解析】(1)证明：. ABCADEF ,./ ABC = Z DEF ,. / AEC = Z B+Z BAE,/AEC = / AEM+Z MEC,. B+ZBAE = Z AEM + Z MEC, 即/ BAE = Z MEC;(2)解：当E为BC中点时，. AB=AC,

29、 / BAC = 120 ,AEXBC, / EAM = Z BAE = 60 ,又. / DEM = 30 ,ACXEF,取AB中点H,连结EH,贝U EH = AH. / BAE = 60 ,. .AHE是等边三角形， _ 1.AE = EH=2abT,.BC = 2BE=3,=叵 =3同理，AM一百，ME-+, _ = 2. FM = EF EM = BC EM = 3一1一耳,.EM: FM=1: 3;(3)解：能.分三种情况讨论：当AM = AE时，如图3,ZAEM =30 ,./ EAM= 120 ,此时点E与点B重合，与题意矛盾，舍去；当AE= EM时，如图4,由(1)知，/ B

30、AE=Z CEM ,/ B=Z C= 30 , AE= ME,BEAA CEM (AAS),.AB = EC=的，.BE = BC- EC=3-每当MA = ME时，如图5,则/ AEM = Z MAE = 30 , ./ BAE = Z BAC- Z EAC = 90 ,取BE中点I,连结AI,则 AI = IE = BI, / AEB=60 ,. AIE是等边三角形，设 AI = x,在RtABE中，由勾股定理，得 AE2+AB2=BE2,即7+(同胃=(的2解得x=1,.BE = 2x=2,综上所述，当BE= 3-、口或2时， AME是等腰三角形.3.如图，在 ACB中，AB = AC,

31、点E在边BC上移动(点 E不与点B, C重合)，满足/DEF = /B,且点 D, F分别在边 AB, AC上.(1)求证： BDEACEF;DE 瓜(2)当点E移动到BC的中点时，且 BD = 3, CF=2,则EF的值为 .B EC【分析】(1)由相似三角形的判定可证BDEsCEF;DB BE(2)由相似三角形的性质可得 UE 一。/，可求BE = CE=*,即可求解.【解析】(1)证明：.AB=AC,./ B=Z C,. / BDE = 180 -Z B-Z DEB,/CEF = 180 - Z DEF-/DEB,. / DEF = Z B, ./ BDE = Z CEF, . BDEA

32、CEF;(2)二点E是BC的中点，.BE = CE,BDEACEF,DB BE CECF,.BE2=DB?CF = 6,.BE = CE=% BDEACEF,DF DB3Vfr=二 _ 二EF 匚E仆2 ,后故答案为：4.在综合实践课上，李老师以 含30。的三角板和等腰三角形纸片 ”为模具与同学们开展数学 活动.已知，在等腰 &ABC纸片中，CA CB 5, ACB 120 ,将一块含30角的足够大 的直角三角尺PMN ( M 90 , MPN 30 )按如图所示放置，顶点 P在线段BA上滑动(点P不与A, B重合)，三角尺的直角边 PM始终经过点C,并与CB的夹角 PCB , 斜边PN交AC

33、于点D .(1)当 BPC 100 时， 。；(2)当AP等于何值时， APDBCP ?请说明理由；(3)在点P的滑动过程中，存在 a PCD是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由.【答案】（1） 50； （2） AP=5时，AAPDABCP ,理由见详解；（3）当 仁45或90或0时，APCD是等腰三角形【分析】(1)先求出/ B=30 ,再根据三角形内角和定理即可求解；(2)根据CA = CB,且/ ACB度数，求出/ A与/ B度数，再由外角性质得到但乙APD,根据AP=BC,利用ASA即可得证；(3)点P在滑动时，APCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：

34、当 PC=PD； PD = CD； PC=CD,分别求出夹角 ”的大小即可.【解析】解：(1) CA CB 5 , ACB 120 ,. B= (180 -120 ) -2=30,BPC 100 ,180 -100 -30 =50 ,故答案是：50;(2)当 AP=5 时，A APDABCP ,理由为：/ ACB= 120, CA=CB,.Z A=Z B=30,又APC是ABPC的一个外角，APC = Z B+ =30 +,/ APC = Z DPC + Z APD = 30 + Z APD,=Z APD,又. AP=BC=5,AAPDABCP ;(3) APCD的形状可以是等腰三角形，则/P

35、CD = 120 -a, Z CPD = 30,PC= PD时，APCD是等腰三角形，PCD = Z PDC = ( 180 -30)登=75,即 120 f=75,a= 45 ;当PD=CD时，APCD是等腰三角形，.-.Z PCD = Z CPD =30,即 120 a=30,a= 90 ；当PC=CD时，APCD是等腰三角形，./ CDP = Z CPD =30,./ PCD = 180 -2 X30= 120,即 120 -g 120,. a= 0 ,此时点P与点B重合，点D和A重合，综合所述：当“=45。或90。或0。时，APCD是等腰三角形.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等

36、三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质, 直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.5.已知直线li： y=- x+b与x轴交于点A,直线12： y=x-”与x轴交于点B,直线11、 3312交于点C,且C点的横坐标为1.(1)求直线11的解析式和点 A的坐标.(2)直线卜与y轴交于点D,将11向上平移9个单位得13, 13与x轴、y轴分别交于点E、 F,点P为13上一动点，连接 AP、BP,当 BP的周长最小时，求 AABP的周长和点P的 坐标.。)；(2) 7痴,。点坐标为(鲁泽；(3)将11绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线 14过点G (-2, 0),过点C

37、作15平行于x 轴，点M、N分别为直线14、15上两个动点，是否存在点 M、点N,使4BMN是以点M为 直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点 M的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) y=-x-3,点A的坐标为(-3,16(3)存在，点M的坐标为(-8, 8)或(一7(1)利用点C是两条直线的交点，求出C点坐标,代入直线11,可求出直线11的解析式,B关于13的对称点Q,利用两点之间线段最短找到ABP的周长；进而求出点A的坐标;(2)利用平移求出13的解析式，构造点 点P的坐标，利用两点间距离公式，求出(3)构造全等三角形，利用全等边相等，列出关系式，进而求出M的坐标.解：（1）将x

38、=1代入直线y=4x-竺，得y=4M-16=-4, 3333故点C的坐标为（1, -4）,将C的坐标（1 , -4）代入直线y=-x+b得，-4=-1 + b,解得b=-3,二直线 11 ： y=-x-3,令 y=0,则-x-3=0 ,解得 x=-3 ,故点A的坐标为（-3, 0）;y=-x+6,（2）直线13为11向上平移9个单位所得，故直线13的解析式为:令 x=0,得 y=6,令 y=0,得 x=6,故点E,点F的坐标分别为（6, 0）, （0, 6）,直线12： y=4x-16与x轴交于点B, 3 33令y=0,得x=4,故B点的坐标为（4, 0）,取点B关于13的对称点Q,设点Q的坐

39、标为（a, b）,则线段BQ的中点坐标为（?在直线卜，且一b- ( 1)1 即一b 1 TOC o 1-5 h z a 4a 4联立得解得:.Q (6, 2),-，一一22直线AQ的解析式：y -x -,93当UBP的周长最小时，即 AP+BP最小,连接AQ,交直线13于点P,此时AP+BP最小，最小值为 AQ . (6 3)2 (2 0)2.85 ,.AB=7,此时 那bp的周长为7+ 785,22 xy x 由 93解得y x 6 yP点坐标为48 18(万(3)设14的解析式：y=mx+n,将 C (1,-4), G (-2, 0),代入 y=mx+n 得,48.383，2m二L的解析式

40、为:4 -x31 :当点M在直线l4的上方时，一一，一48设点 N (n, -4),点 M (s,-s 一)，33过点N, B分别作y轴的平行线，过点 M作x轴的平行线，三条直线分别交于R, S两点,如图 TOC o 1-5 h z 一一，一一4848则R, S的坐标分别为（n,- s-）,（4,-s一），33334RM=s-n, RN= 4 s83 , MS=4-s, SB=. / NMB=90 ,./ NMR+Z SMB=90 ,. / BMS+Z MBS=90 ,./ NMR=Z MBS,/ S= Z R=90 , MB=MN , . MNRA BMS (AAS), .RM = SB,

41、RN=SM,即 s-n= TOC o 1-5 h z 48484 s,s-4s-3333解得 s=-8 , n=-16 ,.点M的坐标为（-8, 8）, 2 :当点M在直线14的下方时，一一，一48设点 N （n, -4）,点 M （s,-s 一）,33过点N , B分别作y轴的平行线，过点 M作x轴的平行线，三条直线分别交于R, S两点,如图. / NMB=90 , ./ NMR+Z SMB=90 ,. / BMS+Z MBS=90 , ./ NMR=Z MBS,/ S= Z R=90 , MB=MN , . MNRA BMS (AAS), .RM = SB,RN=SM,即 s-n= 4 s

42、 34 4s,解得s=176,n=24.点M的坐标为1640综上点M的坐标为（-8,8)或（17640本题是一道一次函数综合问题,考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的， 求点的坐标；利用对称点，求周长最小值；两点之间距离公式等，需要有解决一次函数的综合能力.6.如图，等腰直角 AABC中，BC=AC, /ACB=90,现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0, 2）,点C坐标为（6, 0).（1）过点A作ADx轴，求OD的长及点A的坐标;（2）连接OA,若P为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与 4AC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标;(3)已知OA=1

43、0,试探究在x轴上是否存在点 Q,使4OAQ是以OA为腰的等腰三角形?若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) OD=8,点 A 的坐标(8, 6)； (2) (8,-6)或(-2, 6)或(-2,-6)； (3) (16,0)或(10, 0)或(-10, 0)(1)通过证明BOC0CDA,可得CD=OB=2,即可求OD的长，进而即可得到 A的坐 标；(2)分三种情况：作 4AC关于x轴的对称图形得到 OPC;作 4AC关于直线x=3的 对称图形得到OP2C；作OP2c关于x轴的对称图形得到 OP3C,分别求解，即可；(3)分三种情况：当以点 A为顶角顶点时，且 OA是

44、腰；当以点 A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时； 当以点A为底角顶点时，且 OA是腰，形成钝角三角形时， 分别求解即可.【解析】解：(1)二.点B坐标为(0, 2),点C坐标为(6, 0),.OB = 2, OC = 6,. / ACB=90,.-.Z BCO + Z ACD =90,且/ BCO+Z OBC = 90,./ ACD = Z OBC ,且 AC=BC, / BOC = Z ADC =90,.BOCQCDA (AAS),-.CD = OB = 2, .OD = OC + CD=8, AD=OC=6 ,.点A的坐标(8, 6)；(2)作OAC关于x轴的对称图形得到 4PC

45、,. OAC OPC,P1 (8, -6)；点O, C关于直线x=3对称，作4OAC关于直线x=3的对称图形得到 OP2C,. OAC CP2O,P2 (-2, 6)；作OP2c关于x轴的对称图形得到 OP3C,. OP2CW 4P3C,即：AOP3CAOCA,P3 (-2, -6),综上所述：P的坐标为：(8,-6)或(-2, 6)或(-2, -6)；片1 ,H工=3(3)当以点A为顶角顶点时，且 OA是腰，;AD，x 轴,，点Qi, O关于直线AD对称，即：Qi (16, 0);当以点A为底角顶点时，且 OA是腰，形成锐角三角形时,则 OQ2=OA=10,Q2 (10, 0);当以点A为底

46、角顶点时，且 OA是腰，形成钝角三角形时,则 OQ3=OA=10, Q2 (-10, 0),（2a0F 口Q胃Qi j：综上所述：Q的坐标为：（16, 0）或（10, 0）或（-10, 0）.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键.7.已知：CD是经过 BCA的顶点C的一条直线，CA CB. E、F是直线CD上两点，BEC CFA .（1）若直线CD经过 BCA的内部， BCD ACD .如图1 , BCA 90 ,90 ,直接写出BE, EF , AF间的等量关系：如图2, 与 BCA具有怎

47、样的数量关系，能使中的结论仍然成立？写出 与BCA 的数量关系，并对结论进行证明；（2）如图3,若直线CD经过 BCA的外部，BCA,中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明.【答案】（1）EF BE AF ; BCA 180 ,证明见解析；（2）不成立，EF FA BE ,理由见解析【分析】（1）根据题意，推导彳导 ACF CBE,通过证明 ACF/CBE,得BE CF , CE AF , 结合EF CF CE ,即可得到答案；结合题意，根据三角形内角和性质，推导得 CBE ACF ,通过证明BCECAF , 即可完成证明；ACF ,通过证明CF ,即可得到答案.(

48、2)根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得 CBEBCEACAF ,得 EC FA, BE CF ；根据 EF CE 【解析】(1): BCA 90 ,90. ACF BCE 90 , CBE BCE 90ACF CBEBEC CFAACF CBE CA CBACFACBE. BE CF , CE AFEF CF CE EF BE AF ;满足BCA180 ,理由如下：CBEBCEBEC180 ,BCA180CBEBCEBECBCACBEBCEBCEACFCBE ACFBEC CFA , CA CB ,ABCEACAFBE CF , CE AF EF CF CE ,EF BE AF(2)不成

49、立， EF BE AF,理由如下：CBE BCE BEC 180 , BCE BCA ACFBEC CFA BCACBE BCEBCEACFCBE ACFBEC CFA ， CA CB ，ABCEACAFBE CF , CE AF EF CF CE ,EF BE AF【点睛】本题考查了三角形内角和、 余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、 全等三角形的性质，从而完成求解.8.如图，在 ABC中，AB=AC=2, / B=40 ,点D在线段BC上运动(点 D不与点B、C重 合)，连接AD,作/ ADE=40。，DE交线段AC于点E.(1)当/ BDA=115时，/ EDC=/

50、 AED=；(2)线段DC的长度为何值时， AABDA DCE,请说明理由；(3)在点D的运动过程中，AADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求/ BDA的度数；若不可以，请说明理由.J DC【答案】(1) 25, 65; (2) 2,理由见详解；(3)可以，110或80.【分析】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；(2)当 DC=2 时，禾用/ DEC+/EDC=140 , / ADB+ / EDC=140 ,求出/ ADB= / DEC, 再利用AB=DC=2 ,即可得出 AABD叁 DCE .(3)当/ BDA的度数为110或80时，AADE的形状是等腰三角形.【解析】解：(

51、1)/ B=40 , / ADB=115 ,./BAD=180 -/B-/ADB=180 -115 -40 =25 ,. AB=AC ,./ C=Z B=40 ,. / EDC=180 -Z ADB- / ADE=25 ,DEC=180 -/EDC-/C=115 ,./AED=180 -Z DEC=180 -115 =65;(2)当 DC=2 时，AABDA DCE,理由：一/ C=40 ,./ DEC+/EDC=140 ,又. /ADE=40 ,./ ADB+ / EDC=140 ,./ ADB= / DEC,又. AB=DC=2 ,在ABD和DCE中,ADB= DECB= CAB= DC.

52、ABD DCE (AAS )；(3)当/ BDA的度数为110或80时，AADE的形状是等腰三角形,. / BDA=110 时,. / ADC=70 , / C=40 ,. / DAC=70 ,.ADE的形状是等腰三角形;当/ BDA的度数为80时,ADC=100 , / C=40 ,.Z DAC=40 ,.ADE的形状是等腰三角形.本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 三角形外角的性属于基础质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大,题.9.如图，在平面直角坐标系中，已知 A(a,0)、B(0,b)分别在坐标轴的正半轴上.(1)如图1

53、,若a、b满足(a 4)2 Jb3 0,以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限内作等腰直角&ABC ,则点C的坐标是()；(2)如图2,若a b,点D是OA的延长线上一点，以 D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰直角 “BDE ,连接AE ,求证： ABD AED ;(3)如图3,设AB c,ABO的平分线过点 D 2, 2 ,直接写出a b c的值.【答案】(1)点C的坐标是3,7 ； 见解析；(3) a b c 4【分析】(1)根据偶次哥的非负性以及算术平方根的非负性得出a,b的值，过点C作CD y轴于点D ,然后证明dOABDBC ,进而得出结论；(2)过点E作EM x轴于点 M,

54、根据题意证明aOBDMDE (AAS),在ABN和 DNE 中，根据三角形内角和定理可得结论；(3)作DFy轴于H,DH，x轴于H,DK，BA交BA的延长线于 K,先证明也FBD乌KBD(AAS) 可得BK=BF = b+2,然后证明 RtADAH RtADAK可彳导BK=c+a-2,进一步可得结果.【解析】解：(1) (a 4)2 Jb 3 0,a 4,b 3,. OA 4,OB 3, &ABC为等腰直角三角形, TOC o 1-5 h z .BA BC,ABC90,CBDABO90,ABOBAO90,CBDBAO,在&BAO和CBD中，CBD BAOCDB BOA , BC AB.BAO

55、仁人 CBD(AAS),.OA DB 4,CD BO 3,. OD OB BD 3 4 7 ,，点C的坐标是3,7 ;(2)证明：过点E作EM x轴于点M,依题意有, &BDE为等腰直角三角形，BD DE, BDE 90 ,BDOEDM 90 ,EDMMED 90 ,ODB MED , 在 RtAOBD 和 Rt&MDE 中，BD DE ODB MED , BOD DME aOBDaMDE (AAS), OB DM , OD ME , 又 a b ,即 OA OB ,OD ME ,相交于点N, AM AD DM AD OB AD OAEAM 45 , 即 BA AE ,又 BD DE ,设 B

56、D 与 AE 在 dABN 和DNE 中，BAN EDN 90 , ANB DNE , ：. ABD AED ;(3)作DFy轴于H, DHx轴于H, DK，BA交BA的延长线于 K,则 DF = DH =2,. BD 平分/ABO, DF，y 轴，DKBA,-.DF = DK = 2, BFD BKD 90 , FBD KBD , BD BD ,&FBDKBD(AAS),-.DF = DH = DK, BK=BF = b+2,在 RtADAH 和 RtADAK 中,DH DKDA DA RtADAH RtADAK (HL),-.AK=AH = a- 2,.BK = c+a-2,c+ a- 2

57、= b+ 2,a- b+ c= 4.【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算数平方 根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键.10.如图，在等腰 RtABC中， ABC 90,点A、B分别在x轴、y轴上. (1)如图，若点C的横坐标为5,求点B的坐标;CD(2)如图，若X轴恰好平分 BAC , BC交X轴于点M，过点C作CD x轴于点D，求一AM的值；(3)如图，若点A的坐标为 4,0，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以 OB、AB为边在第一、第二象限中作等腰 RUOBF ,等腰RtAABE，连接EF交y轴于点P ,当点B在y轴上移动时

58、，PB的长度是否发生改变？若不变求PB的值；若变化，求 PB的取值范围.1【答案】(1) (0, 5) (2) 2 (3)不变，等于2.【分析】(1)作CDXBO,易证ZABOA BCD,根据全等三角形对应边相等的性质即可解题;(2)设AB=BC=a,根据勾股定理求出AC= J2a,根据MA (即x轴)平分/ BAC,得到BMMCABAc求得BM=(近-1)a, MC= (2-J2) a, AM= J4 2芯 a,再证明AB CM,即可解答,AMr .一. f AB AM RtAABMsRtCDM,得至U ,即 CD = CD CM (3)作 EGy 轴，易证BAOA EBG 和EGPA FB

59、P,可得 BG=AO 和 PB=PG,即一，I1可求得PB= 2AO,即可解题.【解析】解：(1)如图1,作CDLBO于D, / CBD + / ABO =90, / ABO + / BAO = 90, ./ CBD = Z BAO,BOA BDC 90在 AABO 和 ABCD 中，CBD BAOAB BCABOA BCD (AAS),.-.CD = BO=5,B 点坐标(0, 5)；图】(2)设 AB=BC=a,则AC=蓼a,. MA (即x轴)平分/ BAO,BM AB 2MO AC 2即 MC= #BM ,.BC = BM + MC = a,.BM+ 72 BM = a,解得 BM=

60、( 72-D a, MC= (2- J2 ) a则 AM = TabBm & 莉5 a,./ ABM = Z CDM =90且/ AMB = Z CMD.RtAABMsRtCDM ,ABCDAMCMCD =AB CMAMCD,AMa 22 a, 24 2 2a(3) PB的长度不变，理由如下: 如图3,作EGy轴于G,V. A. Z BAO + Z OBA= 90, Z OBA + Z EBG = 90,./ BAO = Z EBG,AOB BGE 90在ABAO和AEBG中,BAO EBGAB BEBAOA EBG (AAS),.BG = AO, EG=OB,.OB= BF,EPG FPBE