2022年新高考数学二轮提升数列专题第24讲《数列的文化类问题》（原卷版）

1、第24讲 数列的文化类问题 一、单选题1（2021内蒙古包头一模（文）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹4丈，1丈10尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，对于数列，则（ ）ABCD2（2021全国高三专题

2、练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成律学新说，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）ABCD3（2021河北高三月考）高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，则n的值为（ ）A8B11C13D174（2021福建宁德市第

3、九中学高二月考）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则的值为（ ）A208B105C120D2105（2021宁夏六盘山高级中学高二月考（理）算法统宗是我国中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对中国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄

4、为则（ ）ABCD6（2021全国高三专题练习）我国古代数学名著算法统宗是明代数学家程大位（1533-1606年）所著程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了算法统宗这本著作该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（ ）A192盏B128盏C3盏D1盏7（2021河南洛阳高二月考（文）十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物

5、，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使去掉的各区间长度之和不小于8，则需要操作的次数的最小值为（ ）参考数据：A4B5C6D78（2021全国高二课时练习）“手指推大厦”是科技馆中常见的一个游戏，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，体现了“多米诺骨牌效应”的科学原理.已知“手指推大厦”所用骨牌满足的数学表达

6、式是，其中为第块骨牌的体积（或质量），为第1块骨牌的体积（或质量），为后一块骨牌与其前一块骨牌的体积（或质量）的比值.现在有，两副质地不同的骨牌，它们第一块骨牌的体积不相同，但值相同，记，分别是，两副骨牌第块的体积，已知，则的值是（ ）A5B4C3D29（2021江苏高二专题练习）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多

7、少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为，则的值为（ ）ABCD15二、多选题10（2021江苏高二专题练习）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹丈，1丈尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的

8、第天所织布的尺数为，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）AB是等比数列CD11（2021江苏高二单元测试）我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（ ）A相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B春分和秋分两个节气的晷长相同C小雪的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长短12（2021全国高二课时练习）张丘建算经是中国古代众多

9、数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，则（ ）AB数列是等比数列CD13（2021江苏海安高级中学高二期中）根据中国古代重要的数学著作孙子算经记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领

10、地且级别每高一级就多分处（为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ）A为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是B为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是C为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1D为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是14（2021重庆西南大学附中高三开学考试）“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得BEF=

11、15；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得FMN=15；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，），则（ ）A数列是公比为的等比数列BC数列是公比为的等比数列D数列的前n项和15（2021广东珠海二模）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下

12、面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（ ）A数列是等比数列BC恒成立D存在正数，使得恒成立16（2021全国模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列一般

13、以递推的方式被定义：，则（ ）ABC是等比数列D设，则三、填空题17（2021全国高三专题练习）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为，以C为圆心、CB为半径作劣弧交于点；以A为圆心、为半径作劣弧交于点；以B为圆心、为半径作劣弧交于点，依此规律，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，依次为，则_18（2021江苏南通模拟预测）孙子算经是我国南北朝时期（公元5世纪）的

14、数学著作在孙子算经中有“物不知数”问题：一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为a，当时，则符合条件的所有a的和为_19（2021贵州贵阳高三开学考试（文）“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：在一个单位正方形中，首先，将正方形等分成个边长为的小正方形，保留靠角的个小正方形，记个小正方形的面积和为；然后，将剩余的个小正方形分别继续等分，分别保留靠角的个小正方形，记所得的个小正方形的面积和为；操作过程不断地进行下去，以至无穷，保留的图形称为康托尔尘埃若，则需要操作的次数的最小值为_20（2021全国高二专题练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该

15、数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1-4-2-1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”例如：正整数，根据上述运算法则得出63105168421，共经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）“冰雹猜想”可表示为数列（为正整数），若，则的所有可能取值之和为_21（2021湖北蕲春高三月考）孙子算经是我国南北朝时期（公元世纪）的数学著作.在孙子算经中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，则符合条件的所有的和为_.22（2021全国高三专题练习

16、（文）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点C、D，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图二中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依次类推，我们就得到了以下一系列图形；记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，若对任意的正整数n，都有则正数a的最大值为_23（2021全国高二课时练习（理）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派

17、的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，第个五角形数记作，已知，则前个五角形数中，实心点的总数为_.参考公式：24（2021全国高二专题练习）1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章英国的海岸线有多长？标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自

18、然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得，以CD为一边在线段AB的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段ECED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a，使得对任意的正整数n，都有，则a的值为_.四、解答题25（2021全国高二课时练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“