三角函数的图像与性质练习题

1、三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A组1下列函数图象相同的是（）=sinx与y=sin（x+n）=cosx与y=sin-=sinx与y=sin(-x)=-sin(2n+x)与y=sinx解析:由诱导公式易知y=sin：.-=cosx,故选B.答案:B=1+sinx,xe0,2n的图象与直线y=2交点的个数是（）解析:作出y=1+sinx在0,2n上的图象，可知只有一个交点.答案:B函数y=sin（-x）,xe0,2n啲简图是（）解析:y=sin(-x)=-sinx,xW0,2n的图象可看作是由y=sinx,xW0,2n的图象关于x轴对称得到的，故选B.答案:B14.已知cosx

2、=-，且xe0,2n,则角x等于()2mr4itnZmA.B.0,x丘0,2n的x的区间是.?解析:画出y=cosx,xW0,2n上的图象如图所示.cosx0的区间为rn/3ir答案:9U(2TT.8下列函数的图象:($y=sinx-1;y=lsinxl;y=-cosx;0;y0时,x(-n,0);当ycosx成立的x的取值范围是()fn(nf3nC.ID.1解析:如图所示(阴影部分)时满足sinxcosx.答案:C4在0,2n内，不等式sinxv的解集是?解析:画出y=sinx,xW0,2n的草图如下:t、話/机卓枣4nSil+耳丿=-亍,sinl，肓丿=-丁.即在0,2n内，满足sinx=

3、-亍的是x=p或x=时可知不等式sin/4nSnX答案丄TOC o 1-5 h z5.(2016河南南阳一中期末)函数y=八V的定义域是.?fsinx072kivxZkn+兀七厂Z,解析:由题意，得-5就全0,：2徐+；玉耳兰2如+4n，.ipi2kn+3WxW2kn+n,kGZ.故函数y三诈吸+严-口呼的定义域为十加+伽,kWZ.答案:R+肝+如,kZfit2n6利用正弦曲线，写出函数y=2sinxf的值域是.解析:y=2sinx的部分图象如图.T1当X=时ax=2,T1当X=时,ymin=1,故yw1,2.答案:1,27.画出正弦函数y=sinx(xR)的简图，并根据图象写出:1(1)y三

4、时x的集合；(2)-WyW时x的集合.x+2kn;5ti1c+2kutkZ内,y三时x的集合为；1化弋伫解:画出y=sinx的图象，如图，直线y=在0,2n上与正弦曲线交于两点，在0,2n区间5tt|：.当xGR时，若y三，则x的集合为过!两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点；(kWZ)，l(kZ)和点1-：,，;-；(kWZ)，L一山l(kWZ)，那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求，故当-WyW时x的集合为21T1T一_x-+2/cttx+2ki,k丘Z1uy+2knx+2fcirs/ceZ8作出函数y=2+sinx，x0，2n的简图，并回答下列问题

5、：观察函数图象，写出y的取值范围；若函数图象与y=_在x0，n上有两个交点，求a的取值范围.解:列表:x0Tl2n2n2sinx010-102+sinx23212描点、连线，如图.由图知，ywl，3.由图知，当2W_v3时，函数图象与y=在0,n上有两个交点，即-5vaW-3.故a的取值范围是(-5,-3.正弦函数、余弦函数的性质(一)A组1.函数f(x)=-2sin!一的最小正周期为()nC.n2Ji解析:T=2.答案:Dre2下列函数中，周期为的是()x=sin=sin2x=cos:=cos(_4x)解析:对D,y=cos(-4x)=cos4x,2nnT=：=.,故选D.答案:D3.(20

6、16四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=si-.xGR,则乐)是()最小正周期为n的奇函数最小正周期为n的偶函数T1最小正周期为的奇函数T1最小正周期为的偶函数解析:因为fx)=sin!.=、-,=-cos2x,所以f(-x)=-cos2(-x)=-cos2x=f(x)，所以f(x)是最小正周期为n的偶函数.答案:B4.已知函数fx)=sin“一,g(x)=sin”一丿的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=(解析:由已知T产,T2=.,Asin(T1+T2)=si=sinF-.=-sin=-.C.D.答案:B(2016浙江金华一中月考)设fx)是定义域为R且最小正周期为2n的

7、函数，且有sinx.Ox0)的最小正周期为、n,则rn=.?解析:Ty=sin!J-“的最小正周期为T=2n2n今,e3.答案：38若fx)(xWR)为奇函数，且fx+2)-fx),则f(4).?解析:Tfx+2)-fx),(x)的周期为T2./4)-f(0).又fx)(xWR)为奇函数,AO)0.A4)0.答案：01判断函数fx)cos(2n-x)-x3sinx的奇偶性.解:因为fx)cos(2n-x)-x3sinxcosx-x3sinx的定义域为Rf(-x)cos(-x)-(-x)3sin(-x)cosx-x3sinxfx),所以fx)为偶函数.解:Tfx)的周期为，且为偶函数,-f：-而

8、f-/-/；=1,f一丄1.解析:Tfx）的最小正周期是n,A/-1234才irxJrr.UM扌x解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位，图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.答案:D2.函数y=cos：.：（k0）的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是（）2n81解析:T=_V2,k24兀又kWZ,：正整数k的最小值为13.答案:DT13将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=fx）的图象，则下列说法正确的是（）=fx）是奇函数=fx）的周期为nT1=fx）的图象

9、关于直线x=对称的图象，所以fx）是偶函数,A不正解析:y=sinx的图象向左平移个单位，得y=fx）=sim.J=cosx确fx）的周期为2n,B不正确fx）的图象关于直线x=kn（kZ）对称,C不正确fx）的图象关于点-:，l（keZ）对称，当k=-1时,点为厂,故D正确.综上可知选D.答案:D4若函数fx）是以n为周期的奇函数，且当x：l1时fx）=cosx,则=（）A.答案:c5定义在R上的偶函数fx)满足fx)=fx+2),当x3,4时fx)=x-2，则有下面三个式子：Tlvf1二Tnyfe-:;f(sin1)sincos.0,1sin1cos10,1cossin0,vfJ(sin1

10、)vf(cos：答案:ii已知函数y=sinx+Isinxl.画出这个函数的简图；这个函数是周期函数吗如果是，求出它的最小正周期.解:(1)y=sinx+Isinxlsinxx厂|2k2ki+厂7：.0.xE-EZ)函数图象如图所示.,C1rr-3n：-2兀-k0由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2n重复一次，故函数的最小正周期是2兀7定义在R上的函数fx)既是偶函数又是周期函数，若fx)的最小正周期是n,且当xW卩司时fx)=sinx.求当xW-n,0时fx)的解析式；画出函数fx)在-n,n上的简图；求当fx)三时x的取值范围.解:(1)：fx)是偶函数,f(-x)=fx).T当xW时f

11、x)=sinx,当xW盲时fx)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.又当xW,-玖I时,x+nW.fx)的周期为n,f(x)=f(n+x)=sin(n+x)=-sinx.:当xW-n,0时fx)=-sinx.(2)如图.-IEKnH兀JC1IT5n在0,n内，当fx)=时,x=,!piSir:在0,n内fx)三2时,xWb&.又fx）的周期为n,A当fx）三时,xWn5nl,kwz.正弦函数、余弦函数的性质（二）A组1.函数y=lsinxl的一个单调增区间是（）fnhA.1.-/nJnB.1.fSirC.17-.D.l解析:画出y=lsinxl的图象即可求解.rrrrTr-0n2k3ji

12、4kX故选C.答案:C2.（2016福建三明一中月考）y=cosV：.；（-nWxWn）的值域为（）2ntiin1住号解析:因为-nWxWn,所以-.二-.所以-WcosV：.；W1,y=cos（-nWxWn）的值域为刃、答案:C3函数fx）=3sinJ.在下列区间内递减的是（）2nrnSirc.l:;-：d.3jB.-n,04T,kZ.从而可判断在xW任亍时fx)单调递减.rn2iriB.D.xx4/cn:十nnti3nTi4it解析:令2kn+Wx+iW2kn+,kZ可得2kn+WxW2kn+,kWZ,：函数fx)的递减区间为trj,2tjr+答案:D4.函数fx)=2si7_(0)的最小

13、正周期为4n,当fx)取得最小值时,x的取值集合为(t2ttA(h无4/or-亍我一Z2nxx4/ctt+yhkLZin11nn2u解析:Tt=4n,：e=.fx)=2sin.由x-=2kn-(kWZ)，得x=4kn-.(kZ).答案:A已知函数fx)=sin.,xWR,下列结论错误的是()函数fx)的最小正周期为2nIIt函数fx)在区间卩司上是增函数函数fx)的图象关于y轴对称函数fx)是奇函数解析:fx)=sin：、L-sin-】,-=-cosx,.周期T=2n,A选项A正确；fx)在卩司上是增函数,.选项B正确；定义域是RJ(-x)=-cos(-x)=-cosx=fx),fx)是偶函数

14、，其图象关于y轴对称，A选项C正确，选项D错误.答案:D函数y=sinIxl+sinx的值域是.?2sinxA0,解析:Ty=sinIxI+sinx=-2WyW2.答案:-2,2函数y=cosx在区间-n,a上为增函数，则a的取值范围.?解析:Vy=cosx在-n,0上为增函数，又在-n,a上递增，：-n,a?-n,O.aWO.又a-n,-nvaWO.答案:(-n,08若函数f(x)=sinex(0s0)的最小正周期为兀1Ttl求fx)在卩司上的值域,并求出取最小值时的x值；求fx)的单调递增区间.解:由已知得.=n,e=l,fx)=sinJ:.1finrEn(1)当xwA耳时,4W2x+庐石

15、-省Wsin&+Mwi,：f(x)值域为朮1.TOC o 1-5 h zn5n.它当2x+-时fx)取最小值-,x=时fx)取最小值.MMrc(2)令2kn-W2x+iW2kn+(kZ),3nrt得kn-WxWkn+i(kZ).r3nirifx)的递增区间为-不肿+引(kZ).已知函数fx)=2asi2H+d+a+b的定义域是,值域是-5,1,求a,b的值.解:TOWxWz,yzx十b&.*-Wsin.i1.卩_.弓一（a-2.a0时，、人八:解得一仲一1一（a-2,abb1,0WxW2n则函数y=sin2x+2asinx的最大值为（）+1解析:令sinx=t,则-1WtW1,原函数变形为y=

16、t2+2at=（t+a）2-a2.*a1,当t=1时，ymax=12+2ax1=2a+1,故选A.答案:A3函数y=cosh=匚的单调递增区间是（）rnGnr3niriB.阿-茨肚+壯丘见.inif271-y2klT+目D.,kWZa/，胆z解析:函数y=cos=cos!.j-IT令2kn-nW2x-:W2kn,k丘Z,3nrt得kn-WxWkn+i,kZ,故单调递增区间为叭kZ.答案:B4.函数y=2siJ八.-cos1-.(xR)的最小值为.解析:-,y=2sin卜G+Tlcos卜+=2cos一.-cos-.需(,W=cosymi=_l.答案：-1nit13s65.若函数f(x)=sinr

17、nx(rn0)在区间示|上单调递增，则当取最大值时，函数f(x)=sinrnx的周期是.nn2Jrnit2Anit解析:令2kn-WWexW2kn+z可得石一瓦WxW肓十,Ak=0时fx)在丽胡上递增.n3解得OveW.ar说上递增,32n4krn的最大值为，周期T=.4n答案：.sinx.sinxcosx.6.对于函数f(x)=kos兀月inxA匚阳兀给出下列四个命题:该函数是以n为最小正周期的周期函数；当且仅当x=n+kn(kZ)时，该函数取得最小值-1;5n该函数的图象关于直线x=:+2kn(kWZ)对称;n.2当且仅当2knvx+2kn(kWZ)时,0fx)W.其中正确命题的序号是解析

18、:画出f(x)在一个周期0,2n上的图象.3n由图象知，函数f(x)的最小正周期为2n,在x=n+2kn(kWZ)和x=+2kn(kWZ)时，该函数都取得最小值，为-1,故错误.n.2由图象知，函数图象关于直线x=-+2kn(kWZ)对称，在2knxrnSn所以xWR时,y=sin(L尢丿的单调递减区间为问一詁TT+司,豁乙从而xW-n,0时,y=sin!厂-r7ni的单调递减区间为卜一詞-it-iz8.已知函数fx)=sin(ex+y)其中eO,l0)的图象的相邻两支截直线y=.所得线段长为2,则a的值为()A.B.C.nrer(解析:由已知得fx)的周期为2,A,=2.Aa=.答案:Atz

19、i”工函数fx)=_-.的奇偶性是()是奇函数是偶函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数解析:f(x)的定义域为卜加+；&二目,tan(-jc)-tanx.夬-劝二.I.I-.=fx).fx)是奇函数.答案:Ar3n下列图形分别是y=ltanxl;y=tanx;y=tan(-x);y=tan1x1在xG一；内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是()训MLr11aA.B.C.D.解析:y=tan(-x)=-tanx在-上是减函数，只有图象d符合，即d对应.答案:D6.已知函数y=3tan!f的最小正周期是，则rn=.?解析:由题意知,T=|-，e=2.答案:27.函数y=3ta

20、n.的对称中心的坐标是.?ITAlfrnIT解析:由x+,kZ,得x=弋:,kZ,即对称中心坐标是:：l|(kZ).ficnn答案丄一；U(kWZ)8.满足tan!.2-J、啲x的集合.?T1TVT1TVTH解析:把x+看作一个整体，利用正切函数的图象可得kn-Wx+0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2n,求fx)的单调递增区间.解:由题意知，函数fx)的周期为2n,n1则|.|=2n,由于e0,故rn=.所以fx)=2tantt1rtr(再由knS*ix+ikn+,kZ,3nre得2kn-vx2kn+,kWZ,f.in即函数fx)的单调递增区间为IJ；_r_-J，Y

21、r一-,kGZ.mit求函数y=-tan2x+4tanx+l,xW.甌,的值域.nr(解:T-：WxWi,-1WtanxWl.令tanx=t,则t-1,1.y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5TV:当t=-1,即x=-1时,ymin=-4,n当t=1,即x=时,ymax=4.故所求函数的值域为-4,4.taiiZx1函数y=W的定义域为(A.r；_ITR尤H比讥+丞玄一C.ITR尤H比讥+车氐一D.、一ITRX*/CTT-Th/tC解析:由题意知有叢_=LI日nx丰0.2x旷/tan45=1,Aa=lotan70v0.又TOvsin25vsin30=,Ab=losin25lo=1.yxro

22、siiS而c=.丘(0,1),bca.答案:D4.已知函数y=tanex在一内是减函数，则e的取值范围为.fn1fun解析:由题意可知evO,又故-1WevO.答案:-1WevO5.已知y=2tan(ex+0)i卜H，的部分图象如图所示，则e=W=r(解析:由题图可知，当x=I时,y=2,即2tan_J=2,tanif.r(r(即e+串=kn+i(kWZ).3n又直线x=为它的一条渐近线,3nr(m+=kn+(kZ),rt而eO,lv；j,由可得即一rt答案：2-i6方程-tanx=0在xW=3内的根的个数为叶11,11内的图象，如图.解析:分别画出y=.，与y=tanx在xW易知y=.与y=

23、tanx在相应区间内有2个交点，原方程有2个根.答案：27.函数fx)=tan(3x+y)图象的一个对称中心是！，其中Ovyv.,试求函数f(x)的单调区间.解:由于函数y=tanx的对称中心为L人，其中kZ,3nfcnJctt3n则：+申=，即(p=.nn由于Ov0，所以当k=2时,0=.故函数解析式为f(x)=tan-.-1.由于正切函数y=tanx在区间广-Q-.(kGZ)上为增函数，则令kn-.0,e0)在一个周期内的简图时，列表如下:mx+屮0jT2n3IT22nx7TnrTi/.70)的图象向右平移;个单位长度，所得图象经过点！：，则3的最小值是()1A.解析:把f(x)=sinm

24、x的图象向右平移.1个单位长度得y=sij叭*彳丿的图象.UJflomitsin=0,A=kn(kWZ).m=2k(kWZ).Tm0,：m的最小值为2.答案:D4把函数y=si的图象向左平移：个单位，再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)%()最大值为的偶函数周期为n的偶函数周期为2n,且最大值为2的函数最大值为2的奇函数f門向左丰秒于年单磴解析:y=sin-711据世誹伸优为_y=sin-*=sin2x原采的倍总坐标不y=2sin2x,即g(x)=2sin2x,故g(x)的最大值为2,周期T=n,g(x)为奇函数，故选D.答案:

25、D5.(2016四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin所有的点()II向右平移个单位长度T1向右平移个单位长度T1向左平移.个单位长度II向左平移个单位长度解析:函数y=3cos2x=3sin!.i.-=3sinf714常+$丿+可，把函数y=3sisiJ-I的图象上所有的点向左II平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象.答案:D6把y=sinx的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍，得到的图象？解析:将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得y=sin3x的图象，纵坐标再缩短为原来的倍得到y=sin3x的图象.1答案:y=s

26、in3x7.已知函数fx)=sin!f-”(a)0)的最小正周期为n,为了得到g(x)=sin：的图象，只需将y=fx)的图象上_.?2n解析:：fx)的最小正周期为n,:=兀e=2.fx)=sin又g(x)=si3D=sin|2XGX)+5图象.答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变T18.设函数f(x)=cosrnx(rn0),将y=fx)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则m的图象,的最小值等于.?解析:将fx)的图象向右平移.个单位长度得g(x)=f一=cos贝则-m=2kn(kWZ),m=-6k(kWZ).又mO,kvO(kWZ),当k=-1时,m有最小值

27、6.答案：6T19将函数丁=几工)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位所得的曲线是y=sinx的图象，试求y=fx)的解析式.1111f号i1解:将y=sinx的图象向右平移.个单位得y=sin一.的图象,化简得y=-cosx.再将y=-cosx的图象1ii上的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得y=-cos2x的图象，所以f(x)=-cos2x.10.(2016湖北武汉十一中期末)已知函数fx)=3sin一,xR.用五点法作出y=fx)在长度为一个周期的闭区间上的简图；请说明函数y=fx)的图象可以由正弦函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到.解:(1)列表

28、:开2x+t0rz2n22nxTTn5tt1171-iz(12312fx)030-3037Q.0H2k/llirx12-2.6123/121简图如下:(2)将函数y=sinx图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y=3sinx的图象，再将得到的图象向左平移个单位长度得到y=3sin一.的图象，最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的得到y=3si二一I的图象.B组1给出几种变换：横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变；横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变；向左平移个单位长度；向右平移个单位长度；向左平移个单位长度；向右平移个单位长度.则由函数y=sinx的图象得到y=si_的

29、图象，可以实施的方案是()A.(l)f(3)B.C.(2)-D.-(5)解析:由y=sinx的图象到y=sin：.：的图象可以先平移变换再伸缩变换，即(3)-;也可以先伸缩变换再平移变换，即-(5).答案:D2.(2016河北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+y)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),T1再将图象上所有的点向右平移.个单位,所得图象关于y轴对称，则y的一个可能值为()itA.TlHID.】=sin3r+卩)的图象，若解析:函数y=sin(4x+p)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+p)的图象，再将图象上所有的点向右平移.个

30、单位，可得函数y=sin-_2nTi7mtv此函数图象关于y轴对称，则-.+(p=kn+，kZ，所以(p=kn+，kZ，当k=-1时，有(p=、.故选B.答案:BT13把函数y=3sin(ex+y)(O，lWn)的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin兀则()r(A.e=2，0=r(B.e=2，0=-.1r(C.e=，串=1r(D.e=，屮=-.=3siJ*心的图象，再im解析:y=3sin(ex+p)的图象向左平移点个单位，得到y=3sinl将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=3siJ一一=3sinx的图象,/I许L1.则fa十卩匕0=答案:B4函数y=sinx的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为?解析:y=sinx宀y=3sin.x-匚、y=3sin.(x-3)=3sin!.答案:y=