2014考研数学春季基础概率统计辅导讲义

1、鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义2014数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为 E 。2、样本空间随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随机事件样本空间的子集称为随机事件。（二）事件的运算1、事件的积事件 A 与事件 B 同时发生的事件，称为事件 A, B 的积，记为 AB 。2、事件的和事件 A 或者事件 B 发生,称为事件 A, B 的和事件，

2、记为 A B 。3、事件的差事件 A 发生而事件 B 不发生,称事件 A, B 的差事件，记为 A B 。（三）事件的关系1、包含若事件 A 发生则事件 B 一定发生，称 A 包含于 B ，记为 A B 。若 A B 且 B A ，称两事件相等，记 A B 。2、互斥（不相容）事件若 A 与 B 不能同时发生，即 AB ，称事件 A, B 不相容或互斥。3、对立事件若 AB 且 A B 称事件 A, B 为对立事件。【注解】（1） A ( A B) AB ，且 A B 与 AB 互斥。（2） A B ( A B) (B A) AB ，且 A B, B A, AB 两两互斥。（运算的性质1、（1

3、） AB A(或B) A B ；2、（1） A A A, A A A ；（2） AB BA, A B B A ；（2） A (B C) ( A B) ( A C), A (B C) ( A B) ( A C) ；3、（1） A ( A B) A ；（2） ( A B) A A B ；（3） A B ( A B) AB (B A) 。（2） A A 。4、（1） A A ；二、概率的定义与性质（一）概率的定义设随机试验的样本空间为 ，满足如下条件的随机事件的函数 P() 称为所对应事件的概率：1鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义1、对事件 A ，有 P( A) 0 （非负性）。2、 P(

4、) 1（归一性）。3、设 A1 , A2 ,L, An ,L为不相容的随机事件，则有 P( U An ) P( An ) （可列可加性）。n1n1（二）概率的基本性质1、 P() 0 。nnkkA ) P( A ) 。k 12、设 A , A ,L, A 为互不相容的有限个随机事件列，则 P( U12nk 13、 P( A) 1 P( A) 。4、（减法公式） P( A B) P( A) P( AB) 。（三）概率基本公式1、加法公式（1） P( A B) P( A) P(B) P( AB) 。（2） P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P( AC) P(BC)

5、P( ABC) 。P( AB)2、条件概率公式：设 A, B 是两个事件，且 P( A) 0 ，则 P(B | A) 。P( A)3、乘法公式（1）设 P( A) 0 ，则 P( AB) P( A)P(B | A) 。（2） P( A1 A2 L An ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )LP( An | A1 A2 L An1 ) 。三、事件的独立性1、两个事件的独立设 A, B 是两个事件，若 P( AB) P( A)P(B) ，称事件 A, B 相互独立。P( AB) P( A)P(B);P( AC) P( A)P(C);2、三个事件的独立设 A, B

6、, C 是三个事件，若，称事件 A, B, C 相互独立。P(BC) P(B)P(C);P( ABC) P( A)P(B)P(C),【注解】（1） A, B 相互独立的充分必要条件是 A, B 、 A, B 、 A, B 任何一对相互独立。（2）设 P( A) 0 或 P( A) 1 ，则 A 与任何事件 B 独立。2鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义（3）设 P( A) 0, P(B) 0 ，若 A, B 独立，则 A, B 不互斥；若 A, B 互斥，则 A, B 不独立。四、全概率公式与 Bayes 公式1、完备事件组设事件组 A1 , A2 ,L, An 满足：（1） Ai A

7、j (i, j 1,2,L, n, i j) ；n（2） U Ai ，则称事件组 A1 , A2 ,L, An 为一个完备事件组。i12 、全概率公式：设 A1 , A2 ,L, An 是一个完备事件组，且 P( Ai ) 0(i 1,2,L, n) ， B 为事件，则nP(B) P( Ai )P(B | Ai ) 。i1公式：设 A1 , A2 ,L, An 为一个完备事件组，且 P( Ai ) 0(i 1,2,L, n) ， B 为任一随机事件，3、| B) P( Ai )P(B | Ai ) 。P(B) 0 ，则 P( AiP(B)例题选讲一、填空题1、设 P( A) 0.4, P( A

8、 B) 0.7 ，（1）若 A, B 不相容，则 P(B) ；（2）若 A, B 相互独立，则 P(B) 。112 、设 P( A) P(B) P(C) , P( AB) P( AC) P(BC) ，则事件 A, B, C 全不发生的概率为46 。193、设两两相互独立的事件 A, B, C 满足： ABC , P( A) P(B) P(C) ，且有 P( A B C) ，216则 P( A) 。4、设事件 A, B 满足 P( AB) P( AB) ，且 P( A) p ，则 P(B) 。15、设 A, B 为两个相互独立的随机事件，且 A, B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概

9、率与 A 不发生 B9发生的概率相等，则 P( A) 。二、选择题：1、设 A, B 是两个随机事件，且0 P( A) 1, P(B) 0, P(B | A) P(B | A) ，则( A)P( A | B) P( A | B) ；(B)P( A | B) P( A | B) ；3鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义(C)P( AB) P( A)P(B) ；(D)P( AB) P( A)P(B) 。2、设事件 A, B 满足0 P( A) 1,0 P(B) 1，且 P( A | B) P( A | B) 1 ，则( A) 事件 A, B 对立；(B) 事件 A, B 相互独立；(C) 事

10、件 A, B 不相互独立；(D) 事件 A, B 不相容。三、解答题1、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取 2 次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。2、设工厂 A 与工厂 B 的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 生产的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是 A 生产的概率。3、设事件 A 在每次试验中的概率为 p ，三次独立重复试验中事件 A 至少出现一次的概率为 19 ，求事件 A27发生的概率 p 。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，分别为 50%和 60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第

11、二章一维随量及其分布一、基本概念1、随量设为随机试验E的样本空间，为定义在上的函数 ，对任意的 ，总存在唯一确定的 () 与之对应，称 为随量，若 的可能取值为有限个或可列个，称 为离散型随量，若 在某可区间上连续取值，称 为连续型随量。2、分布函数设 为一个随量，称函数 F (x) P x( x ) 为随量 的分布函数。【注解 1】分布函数的四个特征为（1） 0 F (x) 1 。（2） F (x)单调不减 。（4） F () 0, F () 1 。（3） F (x)右连续。【注解 2】分布函数的性质（1） PX a F (a 0) 。（2） PX a F (a) F (a 0) 。（3）

12、Pa x b F (b) F (a) 。（4） Pa X b F (b 0) F (a) 。 x3、离散型随量的分布律称 PX) 称为随量 X 的分布律。【注解】（1） pi 0(1 i n) 。（2） p1 p2 L pn 1。4鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义量的密度函数 设 X 的分布函数为 F (x) ，若存在非负可积函数 f (x) ，使得4 、连续型随xF (x) f (t)dt ，称 f (x) 为 X 的密度函数。（2） f (x)dx 1。【注解】（1） f (x) 0 。二、常见随量及其分布（一）离散型1、二项分布若随量 X 的分布律为 PX k Ck pk (1

13、 p)nk (0 k n) ，称随量 X 服从二n项分布，记为 X B(n, p) 。k2、Poisson 分布若随量 X 的分布律为 PX k (k 0,1,2,L) ，称随ek!量 X 服从泊松分布，记为 X () 。3、几何分布若随量 X 的分布律为 PX k p(1 p)k1 (k 1,2,L) ，称随布，记为 X G( p) 。量 X 服从几何分（二）连续型1, a x bf (x) b a1、均匀分布若随量 的密度函数为量 服从均匀分布，记为，称随0, 其他0, x 0 U (a, b) ，其分布函数为 F (x) x a , a x b 。b a1, x b( x )212、正态

14、分布若随量 的密度函数为 f (x) e( x ) ，称随量 服从正态2 22分布，记为 N (, 2 ) ，特别地，若 0, 1，称随量服从标准正态分布，记为 N (0,1) ，其密度x21为(x) e( x ) ，其分布函数为22x(x) (t)dt 。ex , x 03、指数分布若随量 的密度为 f (x) ( 0) ，称随量 服从指数分布，记为0, x 05鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义0, x 0 E() ，其分布函数为 F (x) 。1 ex , x 01【注解】（1） (0) , (a) 1 (a) 。2（2）若 N (, 2 ) ，则 P P 1 。2 （3）若 N

15、 (, ) ，则2 N (0,1) 。b a （4）若 N (, ) ，则 Pa b F (b) F (a) () (2) 。例题选讲一、选择题1、设 X1 , X 2 的密度为 f1 (x), f 2 (x) ，分布函数为 F1 (x), F2 (x) ，下列结论正确的是( A)F1 (x) F2 (x) 为某随量的分布函数；(B) f1(x) f2 (x) 为某随量的密度函数；(C)F1(x)F2 (x) 为某随量的分布函数；(D) f1(x) f2 (x) 为某随量的密度函数。2、设随量 X 的密度函数f (x) 为偶函数，其分布函数为 F (x) ，则(B)F (a) 2F (a) 1

16、 ；( A)F (x) 为偶函数；1aa(C)F (a) 1 f (x)dx ；(D)F (a) f (x)dx 。2003、设 X N (,42 ),Y N (,52 ) ，令 p PX 4, q PY 5，则 ( A) 对任意实数 都有 p q ；都有 p q ；(B) 对任意实数(C) 对个别 ，才有 p q ；，都有 p q 。(D) 对任意实数4、设 X N (, 2 ) ，则随 的增大，概率 P| X | ( A) 单调增大；(B) 单调减少；(C) 保持不变；(D) 增减不确定。二、填空题1、设X N (, 2 ),方程y 2 4 y X 0无实根的概率为1 ,则 。26鼎尖学府

17、提供2014数学基础班概率统计讲义52、设X B(2, p),Y B(3, p),若PX 1 ,则PY 1 。9三、解答题1、有 3 个盒子，第 1 个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第 2 个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第 3 个盒子有 2 个红球 3 个黑球，若任取一个盒子，从中任取 3 个求，以 X 表示红球个数。（1）写处 X 的分布律；（2）求红球个数不少于 2 个的概率。0, x 10.3,1 x 1量 X 的分布函数为 F (x) ，求 X 的分布律。2、设离散型随0.7,1 x 21, x 2 Aex , x 03、设 X 的分布函数为 F (x) B,0 x 1，( x1

18、)1 Ae, x 1（1）求 A, B ；（2）求密度函数 f (x) ； （3）求 PX 1。34、设 X U (0,2) ，求随量Y X 2 的概率密度。5、设 X N (0,1) ，且Y X 2 ，求随量Y 的概率密度。第三章 二维随量及其分布一、基本概念1、联合分布函数设( X ,Y ) 为二维随量，称 F (x, y) PX x,Y y为( X ,Y ) 的联合分布函数。2、二维离散型随量的联合分布律设( X ,Y ) 为二维离散型随量，称PX xi ,Y y j pij (i 1,2,L, m, j 1,2,L, n)为( X ,Y ) 的联合分布律，称nmPX xi pij pi

19、 (i 1,2,L, m), PY y j pij p j ( j 1,2,L, n)j 1i1分别为随量 X ,Y 的边际分布律。量，若存在 f (x, y) 0 ，使得3 、连续型随量的联合密度函数 设 ( X ,Y ) 为二维连续型随xyF (x, y) PX x,Y y duf (u, v)dv ，称 f (x, y) 为随量( X ,Y ) 的联合密度函数，称f X (x) f (x, y)dy, fY ( y) f (x, y)dx7鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义分别为随量 X ,Y 的边际密度函数。【注解】联合分布函数的特征有（1） 0 F (x, y) 1 。 （2

20、） F (x, y) 关于 x, y 为单调不减函数。（3） F (x, y) 关于 x 或者 y 都是右连续。（4） F (,) 0,(,) 1 。二、常见的二维连续型随量1、均匀分布设二维连续型随量( X ,Y ) 的联合密度为 1 ,(x, y) Df (x, y) A，其中 A 为区域 D 的面积，称( X ,Y ) 在区域 D 上服从均匀分布。0, (x, y) D2、正态分布设二维连续型随量( X ,Y ) 的联合密度为( x 1 )2 2 (x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 则称( X ,Y ) 服11f (x, y) exp2(1 2 ) 2 1 211 221 2从

21、二维正态分布，记为( X ,Y ) N ( , , , ) ，其中 0, 0 。22121212【注解】若( X ,Y ) N ( , , , ) ，则 X N ( , ),Y N ( , ) 。222212121122二、随量的条件分布与随量的独立性（一）二维离散型随量的条件分布1、设 PY y j 0 ，在事件Y y j 发生的情况下，事件X xi 发生的条件概率为pijPX x | Y y (i 1,2,L) ；ijp j2、设 PX xi 0 ，在事件X xi 发生的情况下，事件Y y j 发生的条件概率为pijPY y | X x ( j 1,2,L) 。jipi（二）二维连续型随量

22、的条件密度f (x, y)。1、设 f ( y) 0 ，则在“ Y y ”的条件下， X 的条件概率密度为 f(x | y) YX |Yf ( y)Yf (x, y)。2、设 f (x) 0 ，则在“ X x ”的条件下， Y 的条件概率密度为 f( y | x) XY |Xf (x)X8鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义（三）随量的独立性1、定义设( X ,Y ) 为二维随量，若对任意的 x, y 都有 F (x, y) FX (x)FY ( y) ，称随量 X ,Y 相互独立。2、独立的充分必要条件（1）离散型随量设( X ,Y ) 为二维离散型随量，则 X ,Y 相互独立的充要条

23、件是 pi p j (i 1,2,L; j 1,2,L。pij（2）连续型随量设( X ,Y ) 为二维连续型随量，则 X ,Y 相互独立的充要条件是f (x, y) f X (x) fY ( y) （可以除去有限个点）。【注解】若( X ,Y ) 为二维连续型随量，求( X ,Y ) 的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数f (x, y) ，一般有如下三种情况：（1）题中直接给出 f (x, y) （若其中含参数，用归一性求出）。X ,Y 服从的分布已知且 X ,Y 独立，则 f (x, y) f X (x) fY ( y) 。X 的边缘分布已知，且Y 的条件密度已知，则 f (x, y)

24、 f X (x) fY | X ( y | x) 。三、随量函数的分布已知( X ,Y ) 的分布， Z ( X ,Y ) ，关于 Z 的分布有以下几种情形：情形一：设( X ,Y ) 为离散型随量， Z ( X ,Y ) ，则 Z 为离散型随概率即可。量，求出其可能取值及对应的量， Z ( X ,Y ) ，其中 为连续函数，则 Z 为连续型随情形二： ( X ,Y ) 为连续型随布函数定义求 Z 的分布。量，可用分量，一个为离散型随量，求 Z ( X ,Y ) 的分布情形三： X ,Y 中一个为连续型随例题选讲一、选择题1、设相互独立的随量 X ,Y 分别服从 N (0,1) 及 N (1,

25、1) ，则( A)PX Y 0 1 ；2(B)PX Y 1 1 ；29鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义(C)PX Y 0 1 ；2(D)PX Y 1 1 。2二、填空题量 ， 且 PX 0,Y 0 3 , PX 0 PY 0 4 ， 则1 、 设 X ,Y为 两 个 随77Pmax(X ,Y ) 0 。三、解答题1、袋中有 10 个大小相同的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次抽取 1 个，定义如下两个随机1, 第1次抽到红球1, 第2次抽到红球变量： X ,Y ，0, 第1次抽到白球0, 第2次抽到白球就下列两种情况，求( X ,Y ) 的联合分布律：（1）每次

26、抽取后放回；（2）每次抽取后不放回。Ae(x2 y) , x 0, y 02、设( X ,Y ) 的联合密度为 f (x, y) ，求0, 其他（1）常数 A ； （2） ( X ,Y ) 的分布函数；（3） Z X 2Y 的分布函数；（4） PX 2Y 1及PX Y。3、设随量 X E() ，求随量Y minX ,2 的分布函数。4、设 X E(1 ),Y E(2 ) 且 X ,Y 独立。（1）设 Z maxX ,Y，求 Z 的密度函数。（2） Z minX ,Y，求 Z 的密度函数。第四章随量的数字特征一、数学期望及其性质（一）数学期望的定义1、离散型数学期望设 X 的分布律为 PX xk

27、 pk (k 1,2,L) ，则 EX xk pk 。k 1EX xf (x)dx 。2、连续型数学期望设 X 的概率密度为 f (x) ，则其数学期望为量的数学期望设离散型随量( X ,Y ) 的联合分布律为3、二维离散型随PX xi ,Y y j pij (i 1,2,L; j 1,2,L) ， Z ( X ,Y ) ，则10鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义 EZ (xi , y j ) pij 。i1 j 1量的数学期望设二维连续型随量( X ,Y ) 的密度为 f (x, y) ， Z ( X ,Y ) ，则4、二维连续型随EZ dx (x, y) f (x, y)dy 。（

28、二）数学期望的性质1、 E(C) C 。2、 E(kX ) kEX 。3、 E( X Y ) EX EY 。4、 E(aX bY ) aEX bEY 。5、若随量 X ,Y 相互独立，则 E( XY ) EX EY 。二、方差的定义及性质（一）方差的定义 DX E( X EX )2 。（二）方差的计算公式 DX EX 2 (EX )2 。（差的性质1、 D(C) 0 。2、 D(kX ) k 2DX 。3、设随量 X ,Y 相互独立，则 D( X Y ) DX DY，D(aX bY ) a2DX b2DY 。三、常见随量的数学期望和方差1、二项分布： X B(n, p), EX np, DX

29、npq 。2、泊松分布： X (), EX DX 。a b(b a)23、均匀分布： X U (a,b), EX , DX 。2124、正态分布： X N (, 2 ), EX , DX 2 。四、协方差与相关系数（一）定义1、协方差 Cov( X ,Y ) E( X EX )(Y EY ) 。cov( X ,Y )2、相关系数 XY ，若 XY 0 ，称随量 X ,Y 不相关。DXDY（二）协方差的计算公式： Cov( X ,Y ) E( XY ) EX EY11鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义（二）性质1、Cov( X , X ) DX 。2、若 X ,Y 独立，则Cov( X

30、,Y ) 0 。3、Cov( X ,Y ) Cov(Y , X ) ，4、Cov(aX , bY ) abCov( X ,Y ) 。5、Cov(aX bY , Z ) aCov( X , Z ) bCov(Y , Z ) 。6、 D( X Y ) DX DY 2Cov( X ,Y ) 。例题选讲一、填空题1、设随量 X ,Y 相互独立，且 DX 3, DY 2 ，则 D(3X 2Y ) 。2、随量 X E() ，则 PX DX 。13、设 X ,Y 独立同分布，且都服从 N (0, ) ，则 E | X Y | , D | X Y | 。24、设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，

31、每次射击命中概率为0.4 ，则 EX 2 。12e x 2 x1 ，则 EX5、设随量 X 的密度为 f (x) , DX 。6、设随量 X 服从参数为 的泊松分布，且 E( X 1)( X 2) 1，则 。二、解答题0,Y k1、设Y E(1) ， X (k 1,2) ，k1,Y k（1）求( X1 , X 2 ) 的联合分布律；（2） E( X1 X 2 ) 。1 1 40121 01 ,Y 14 21 1 ，且 PXY 0 1 ，2 2、设 X与Y的概率分布为X（1）求 X ,Y 的联合分布律；（2）问 X ,Y 是否相互独立？为什么？1,U 11,U 13、设U U2,2, X ,Y

32、，求1,U 11,U 1（2） D( X Y ) 。（1） X ,Y 的联合分布律；314、试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功 2 次为止，以 X 表示所需要进行的试4412鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义验次数，求 X 的概率分布与数学期望。1xcos,0 x f (x) 220, 其他5、设 X 的密度函数为，对 X 独立重复观察 4 次，Y 表示观察值大于 的次数，3求 EY 2 。第五章大数定律与中心极限定理一、车不等式设随量 X 的方差存在，则对任意的 0 ，有，或者。二、大数定律n ,L相互独立， DXi 存在且 DXi M 0 (i 1,2,L)

33、，则1、（车大数定律）设随量1nn1 n对任意的 0 ，有| 1。lim P|XEXiinni1i1n ,L独立同分布，且 EXi , DXi (i 1,2,L) ，则对任意的 0 ，22、（独立同分布）设1nn | 1 。lim P|X有ini1n ,L 独立同分布于参数为 p 的 0 1 分布，则对任意的 0 ，有3、（大数定律）设1nn p | 1 。lim P|Xini1n ,L独立同分布，且 EXi ，则对任意的 0 ，有4、（大数定律）设1nn | 1 。lim P|Xini1三、中心极限定理n ,L 独立同分布，且 1 、（ Levy-Lindberg 中心极限定理）设随 量序列

34、 EXi , DXi (i 1,2,L) ，则对任意实数 x ，有2n X i nt 2 1 2x i1 x lim Pedt 。2nn13鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义中心极限定理）设 X n B(n, p)(0 p 1)(n 1,2,L) ，则对任意实数 x ，有2、（ t 2X n np 1 2x x lim Pe 2 dt 。np(1 p)n例题选讲不等式估计 P | X 5 | 3 。1、设随量 X E(5) ，用车2、设 X N (0,42 ),Y (2,52 ) ，且 X ,Y 相互独立，用车不等式估计 P| X Y 2 | 4 。第六章数理统计基本概念一、基本概念1

35、、总体被研究对象某指标的所有可能结果称为总体。2、简单样本及样本观察值设总体为 X ，则来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体 X 同分布的随量n 称为简单随机样本，样本3、统计量样本的无参函数称为统计量。n 的观察值n 称为样本观察值。二、样本常用数字特征n 为来自总体 X 的简单样本，则设1nn i1、样本均值 X X 。i1n 1n 1i12、样本方差 S 2( X X ) 。2i1nni13、样本的k 阶原点矩 Ak X , k 1,2,L 。ki1nn i14、样本的k 阶中心矩 Bk ( X X ) , k 1,2,L。2i三、常用的抽样分布1、 2 分布（ 1 ）定义 设随 量

36、相互独立且都服从标准正态分布，则称随 量n 2度为 n 的 2 分布，记为 2 2 (n) 。142 为服从n鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义（2）性质：1）设 X 2 (n) ，则 EX n, DX 2n ；2）设 X 2 (m),Y 2 (n) ，且 X ,Y 相互独立，则 X Y 2 (m n) 。2、t 分布X设随量 X N (0,1),Y 2 (n) ，且 X ,Y 相互独立，则称随量t 为服从度为n 的t 分Y / n布，记为t t(n) 。3、 F 分布（1）定义设随量 X 2 (m),Y 2 (n) ，且 X ,Y 相互独立，则称随X / m为服从量 F Y / n度

37、为 m, n 的 F 分布，记为 F F (m, n) 。（2）性质1设 F F (m, n) ，则 F (n, m) 。F四、一个正态总体下几个常用的统计分布设总体 X N (, 2 ) ，n 是来自正态总体 X 的简单样本，则 2X X 1、 X N (,), t(n 1) 。 N (0,1) 。2、 /nns /n(n 1)S 2 21n 1ni1i1( X X ) (n 1) 。 4、( X ) (n) 。22223、ii225、 ES 2 2 。6、 X 与 S 2 独立。例题选讲n 是来自正态总体 N (, ) 的简单样本，记21、设n 1 n 1 X )2 , S 2( X X )2 ，S 2( X1i2in 1ni1i1n 1 n 1 ( X ) , S( X )2 ，S 2223n 1i4ini1i1则服从度为 n 1的t 分布的统计量是15鼎尖学府提供2014数学基础班概率统计讲义( A) X ；S1 / n 1(B) X ；S2 /n 1(