向量自回归模型,VAR

1、第二(d r)部分 时间序列分析向量自回归(hugu)（VAR）模型1云南大学发民研究院共七十八页内容(nirng)安排一、向量自回归模型定义(dngy)二、VAR的稳定性三、VAR模型滞后期k的选择 四、VAR模型的脉冲响应函数和方差分解 五、格兰杰非因果性检验 六、VAR与协整七、实例2云南大学发民研究院共七十八页19531997年我国gp,cp,ip3云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页19531997年我国rgp,rcp,rip4云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页19531997年我国Lngp,Lncp,Lnip5云南大学(yn nn d xu)发民研

2、究院共七十八页一、向量自回归(hugu)模型定义1980年Sims提出(t ch)向量自回归模型（vector autoregressive model）。 VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。 6云南大学发民研究院共七十八页产生的问题是什么?无法捕捉两个变量(binling)之间的关系解决办法:建立两个变量(binling)之间的关系7云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页上述(shngsh)方程可以用OLS估计吗?8云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页VAR模型(mxng)的特点：（1）不以严格(yng)的经济理论为依据。共有哪些变量是相互

3、有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；确定滞后期k。使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。（2）VAR模型对参数不施加零约束。（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在。（4）有相当多的参数需要估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。9云南大学发民研究院共七十八页估计(gj)VAR的EVIEW操作打开工作文件，点击Quick键, 选Estimate VAR功能。作相应选项

4、后，即可得到VAR的表格式输出方式。在VAR模型估计结果窗口点击View 选 representation功能可得到VAR的代数式输出结果。VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Static solution（静态解）。VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs选Make Model功能（工作文件中如果已经(y jing)有Model，则直接双击Model）。点击Solve。在出现的对话框的Solution option（求解选择）中选择Dynamic solut

5、ion（动态解）。10云南大学发民研究院共七十八页二、VAR的稳定性VAR模型稳定的充分与必要条件是1 的所有(suyu)特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。1、单方程(fngchng)情形11云南大学发民研究院共七十八页2、VAR 模型(mxng)Yt=+1Yt-1+ut为例改写为：（I- 1L）Yt=+utVAR模型(mxng)稳定的条件是特征方程|1-I|=0的单位圆以内，特征方程|1-I|=0的根就是1的特征值。12云南大学发民研究院共七十八页例：N=1，k=1时的VAR模型(mxng)=

6、+| I - 1L | 13云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页3、VAR模型(mxng)稳定性的另一判别法特征方程 的根都在单位圆以内。特征方程的根就是(jish)1的特征值。上述例子则有：1 = 0.9786, 2 = 0.2714| 1L -L |=0 14云南大学发民研究院共七十八页注意(zh y)的问题（1）因为L1=1/0.978 =1/1, L2 =1/0.27=1/2，所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L = 1/ 。（2）在单方程(fngchng)模型中，通常用相反的特征方程(fngchng) (L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳定的条件

7、是（相反的）特征方程(L) = 0的根都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征方程 |1-I|=0的根描述模型的稳定性。VAR模型稳定的条件是，特征方程|1-I|=0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程|IL1|=0的根都要在单位圆以外。 15云南大学发民研究院共七十八页4、K1的VAR模型(mxng)稳定性对于k1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换（companion form），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别(pnbi)稳定性。 给出K阶VAR模型：Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+kYt-k+ut 配上如下等式：Yt-1=Yt-1 Yt-2=Yt-2

8、 Yt-k+1=Yt- k+1将以上K个等式写成分块矩阵形式16云南大学发民研究院共七十八页17云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页VAR模型(mxng)的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程|A-I|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。注意：特征方程中的A是NkNk阶的。特征方程中的I也是NkNk阶的 例：2阶VAR的友矩阵变换(binhun)为例18云南大学发民研究院共七十八页5、VAR稳定性的EVIEW操作(cozu)求VAR模型特征根的EViews操作：在VAR模型估计(gj)结果窗口点击View 选 Lag Stru

9、ctrure, AR Roots Table 功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选Lag Structrure, AR Roots Graph 功能，即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。19云南大学发民研究院共七十八页6、VAR模型(mxng)的稳定性特征稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型(mxng)中某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不消失，则系统是不稳定的。20云南大学发民研究院共七十八页假定(jidng)模型是稳定的，将有如下3个结论（1）假设t = 1时，对c 施加一个单位的冲击，那么到t期的影响

10、是(2）假设在初始值Y0上施加一个单位的冲击。到t期的影响是 1t。随着t ，1t 0，影响消失（因为对于平稳的VAR模型，1中的元素(yun s)小于1，所以随着t ，取t次方后，1t 0）。21云南大学发民研究院共七十八页三、VAR模型(mxng)滞后期k的选择 1、用LR统计量选择(xunz)k值。LR（似然比）统计量定义为22云南大学发民研究院共七十八页2、用赤池（Akaike）信息准则(zhnz) (AIC) 选择k值。 3用施瓦茨（Schwartz）准则(zhnz) (SC) 选择k值。 23云南大学发民研究院共七十八页例k =1、2、3、4时的logL、Akaike AIC和Sc

11、hwarz SC的值见下表。 VAR(1)VAR(2)VAR(3)VAR(4)logL184.6198.9200.0207.8-2 (log L(k) - log L(k+1) )28.62.215.6 2(9) = 16.9Akaike AIC-7.84-8.27-8.09-8.23Schwarz SC-7.36-7.41-6.85-6.624云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页VAR滞后(zh hu)期的EVIEW操作在VAR模型估计结果窗口点击View 选 Lag Structrure, Lag Lengyh Criteria 功能，即可得到(d do)5个评价统计量的值

12、。25云南大学发民研究院共七十八页四、VAR模型的脉冲响应函数(hnsh)和方差分解 脉冲响应函数(hnsh)描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响。对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的向量MA()过程。具体方法是对于任何一个VAR(k)模型都可以通过友矩阵变换改写成一个VAR(1)模型 1、脉冲响应函数26云南大学发民研究院共七十八页27云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页对上述脉冲响应函数的解释存在的问题(wnt)是什么?实际中各方程对应的误差项从来都不是完全非相关的。

13、当误差项相关时，它们有一个共同的组成部分，不能被任何特定的变量所识别。 即前述的协方差矩阵是非对角矩阵,意味着扰动项中的其他元素随着第j个元素的变化而变化,这与计算脉冲响应函数假定第j个元素的变化,而扰动项中的其他元素不变化相矛盾(modn).怎样解决?28云南大学发民研究院共七十八页Cholesky分解(fnji)引入一个(y )变换矩阵M与ut相乘vt=Mut(0,) 常用的方法就是Cholesky分解法,从而使误差项正交原误差项相关的部分归于VAR系统中的第一个变量的随机扰动项。Cholesky分解法存在的缺点:方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数 29云南大学发民研究院共七十八页VAR

14、模型(mxng)残差序列及其方差、协方差矩阵的EVIEW求法。 点击VAR窗口中的Procs键，选Make Residuals（生成残差）功能，工作文件中就会生成以resid01, resid02,为编号的残差序列（残差序列的顺序与VAR模型估计对话框中输入的变量顺序相一致），并打开残差序列数据组窗口。在这个(zh ge)残差序列数据组窗口中点击View键，选择Covariances功能，即可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择Correlation功能，即可得到残差序列的相关系数矩阵。30云南大学发民研究院共七十八页脉冲响应的EViews操作(cozu) 点击(din j)VAR窗口中的Im

15、pulse键。在随后弹出的对话框中做出各项选择后点击(din j)OK键 31云南大学发民研究院共七十八页Display菜单提供(tgng)下列选项 (1) 显示形式（Display Format） 选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则Response Standard Error选项是灰色，不显示标准误差。而且(r qi)应注意：输出表的格式是按响应变量的顺序显示，而不是按脉冲变量的顺序。 (2) 显示信息（Display Information） 输入产生冲击的变量（Impulses）和希望观察其脉冲响应的变量（Responses）。可以输入内生变量的名称，也

16、可以输入变量的对应的序数。32云南大学发民研究院共七十八页 Impulse Definition菜单提供了转换(zhunhun)脉冲的选项 (1) Residual-One Unit (2) Residual-One Std.Dev(3) Cholesky分解(fnji) 用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。 (4) 广义脉冲（Gneralized Impluses） (5) 结构分解（Structural Decomposition） 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。 (6) 用户指定（User Specified） 33云南大学发民研究院共七十八页2、方差(fn

17、ch)分解分析未来t+s期的yj,t+s的预测误差的方差(fn ch)由不同新息的冲击影响的比例。假设下式是由任一VAR(k) 模型转换而得到的关于Yt的一阶向量自回归模型。34云南大学发民研究院共七十八页方差分解(fnji)的EViews操作从VAR的工具栏中选View/Variance decomposition项。注意，因为非正交的因子(ynz)分解所产生的分解不具有较好的性质，所以所选的因子(ynz)分解仅限于正交的因子(ynz)分解。 35云南大学发民研究院共七十八页五、格兰杰非因果性检验(jinyn) VAR模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰（

18、Granger）非因果性定义如下：格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即(ytyt-1,xt-1,)=(ytyt-1,)则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性。 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度(jn d)不存在显着性改善，则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关系。36云南大学发民研究院共七十八页VAR 模型中以yt为被解释变量的方程表示如下：检验xt对yt存在格兰杰非因果性的零假设是H0:1=2=k=0 上述检验用F统计量来完成用样本计算(j sun)的F值如果落在临界值以内，接受原假

19、设，即xt 对yt不存在格兰杰因果关系。37云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页Grange因果性检验(jinyn)EViews操作方法打开数剧组窗口，点View键，选Granger Causility。在打开的对话(duhu)窗口中填上滞后期，点击OK键。 38云南大学发民研究院共七十八页输出结果对于VAR模型中的每一个方程，将输出每一个其他内生变量的滞后项(不包括它本身的滞后项)联合显著的2(Wald)统计量，在表的最后一行(ALL)列出了检验(jinyn)所有滞后内生变量联合显著的2统计量。对例进行检验，其结果如下：39云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页

20、注意(zh y)的问题：（1）滞后(zh hu)期k的选取是任意的，实质上是一个判断性问题。一般来说要试检验若干个不同滞后期k的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以最终下结论。（2）当做xt是否为导致yt变化的格兰杰原因检验时，如果zt也是yt变化的格兰杰原因，且zt又与xt相关，这时在xt是否为导致yt变化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入zt的滞后项（实际上是3个变量VAR模型中的一个方程）。（3）不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验40云南大学发民研究院共七十八页六、VAR与协整如果VAR模型Yt=1Yt-1+2Yt-1+kYt-k+ut,utIID (0, )的

21、内生变量(binling)都含有单位根，那么可以用这些变量(binling)的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。 Yt= 1*Yt-1+2*Yt-2+k*Yt-k+ut* 如果YtI(1)，且非平稳变量间存在协整关系。差分方程存在的问题是什么？丢失重要的非均衡误差信息 41云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页1、VEC的推导(tudo)对于k=1的VAR模型，Yt=1Yt-1+ut，两侧(lin c)同减Yt-1，得Yt=(1I)Yt-1+ut对于k=2的VAR模型，Yt= 1Yt-1+2Yt-2+ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减 2Yt-1，并整理得Yt=(1+2-I

22、)Yt-1-2 Yt-1+ut对于k=3的VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut，两侧同减Yt-1，在右侧加、减2Yt-1和3 Yt-1并整理得Yt=(1+2+3-I)Yt-1-2Yt-1-3Yt-1+2Yt-2+3Yt-3+ut =(1+2+3-I)Yt-12 Yt-1-3Yt-1 +3 Yt-3+ut 在右侧加、减3Yt-2并整理得 Yt =(1+2+3-I)Yt-1(2+3)Yt-1-3Yt-2+ut 42云南大学发民研究院共七十八页对于(duy)k阶VAR模型，Yt=1Yt-1+2Yt-2+kYt-k+ut，利用k=1, 2, 3的VAR模型的推导规律，其向量误差修

23、正模型（VEC）的表达式是Yt=(1+2+k-I)Yt-1-(2+3+k) Yt-1-(3+k)Yt-2-kYt-(k-1)+ut43云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程，即式中的ytytj(j=1，2，p) 都是I(0)变量构成的向量(xingling)，那么只要 yt-1 是I(0)的向量，即y1t-1y2,t-1,ykt-1 之间具有协整关系，就能保证yt是平稳过程。变量y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 之间是否具有协整关系主要依赖于矩阵 的秩。若Yt CI(1, 1) ，则 = 其中是协整矩阵， 是调整系数矩阵。 和

24、 都是Nr阶矩阵。表示有r个协整向量，1, 2 , r，存在r个协整关系。因为YtI(1)，所以 Yt I(0)。 44云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页对于(duy)Yt-k有如下三种可能:当Yt的分量不存在协整关系，的特征根为零，=0。(即r=0)若rank()=N（满秩），保证Yt-k平稳的唯一一种(y zhn)可能是Yt I(0)。(r=N)当YtI(1)，若保证Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt的分量存在协整关系。(0rN) YtI(0)45云南大学发民研究院共七十八页例 k=0的VEC模型(mxng)46云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页rank

25、()=0时，任意形式的 通过适当线性变换，可以得到 = 0。 Yt = ut 说明Yt中含有一个(y )单位根。VAR模型中没有协整向量。 47云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页例：设三个变量(binling)的k = 1的VEC48云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页2、VAR模型中协整向量(xingling)的估计给定(i dn)VAR模型49云南大学发民研究院共七十八页将的分解(fnji)表达式代入到上式有 上式要求(yoqi) yt-1 为一个 I(0) 向量，其每一行都是 I(0) 组合变量，即 的每一行所表示的 y1,t-1，y2,t-1，yk,t

26、-1 的线性组合都是一种协整形式，所以矩阵 决定了 y1,t-1，y2,t-1，yk,t-1 之间协整向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵，r 为协整向量的个数。 50云南大学发民研究院共七十八页3、Johnson检验(jinyn)的基本原理将yt的协整检验变成对矩阵的分析问题矩阵 的秩等于(dngy)它的非零特征根的个数设矩阵 的特征根为12k相应的检验统计量为）特征根迹检验(trace检验)（本部分推导可参见张晓峒，计量经济分析，第八章）51云南大学发民研究院共七十八页检验(jinyn)方法（1）当 0 不显著时(0Johansen分布临界值)，拒绝H00 ，则表明至少有一个协整向量，必

27、须(bx)接着检验 1 的显著性。(2)当 1 不显著时，接受H10，表明只有1个协整向量，依次进行下去，直到接受 Hr0，说明存在 r 个协整向量。这 r 个协整向量就是对应于最大的 r 个特征根的经过正规化的特征向量。52云南大学发民研究院共七十八页根据右边假设检验，大于临界值拒绝原假设。继续检验的过程可归纳为如下的序贯过程：1临界值，拒绝H10，表明至少有2个协整向量； r临界值，接受Hr0，表明只有 r 个协整向量。 53云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页2）最大特征值检验(jinyn) 对于(duy)Johansen协整检验，另外一个类似的检验方法是 检验统计量是基

28、于最大特征值的，其形式为 (9.6.7)其中 r 称为最大特征根统计量，简记为-max统计量。 54云南大学发民研究院共七十八页检验从下往上进行，首先检验0 ，如果 0临界值，拒绝H00 ，至少有1个协整向量。 接受H00 (r = 0)，表明最大特征根为0，无协整向量，否则接受H01，至少有1个协整向量；如果 1 显著，拒绝H10，接受至少有2个协整向量的备择假设H11；依次进行下去，直到接受Hr0，共有 r 个协整向量。 55云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页4、协整方程(fngchng)的形式 (1) VAR模型(mxng) 没有确定趋势，协整方程没有截距： (2) V

29、AR模型没有确定趋势，协整方程有截距项 0： 56云南大学发民研究院共七十八页 (3) VAR模型(mxng)有确定性线性趋势，但协整方程只有截距： (4) VAR模型(mxng)和协整方程都有线性趋势，协整方程的线性趋势表示为 1t ： (5) VAR模型有二次趋势，协整方程仅有线性趋势： 57云南大学发民研究院共七十八页5、协整检验(jinyn)的操作从VAR对象或Group(组)对象的工具栏中选择View/Cointegration Test 即可。协整检验仅对已知非平稳的序列有效，所以(suy)需要首先对VAR模型中每一个序列进行单位根检验。EViews软件中协整检验实现的理论基础是J

30、ohansen (1991, 1995a)协整理论。在Cointegration Test Specification的对话框中将提供关于检验的详细信息： 58云南大学发民研究院共七十八页1） 协整检验(jinyn)的设定59云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页2）协整检验(jinyn)结果的解释协整关系的数量输出结果的第一部分给出了协整关系的数量，并以两种检验统计量的形式显示：第一种检验结果是所谓的迹统计量，列在第一个表格中；第二种检验结果是最大特征值统计量，列在第二个表格中。第一列显示了在原假设(jish)成立条件下的协整关系数；第二列是 矩阵按由大到小排序的特征值；第三列

31、是迹检验统计量或最大特征值统计量；第四列是在5%显著性水平下的临界值；最后一列是根据MacKinnon-Haug-Michelis (1999) 提出的临界值所得到的P值。60云南大学发民研究院共七十八页协整关系(gun x)输出的第二部分给出协整关系 和调整参数 的估计。如果不强加一些任意的正规化条件，协整向量 是不可识别的。在第一块中报告了基于正规化约束条件 S11 = I（其中S11在Johansen(1995a)中作出了定义）的 和 的估计结果。注意：在Unrestricted Cointegrating Coefficients下 的输出结果：第一行是第一个协整向量，第二行是第二个协

32、整向量，以此类推。其余的部分是在每一个可能的协整关系数下(r = 0，1，k-1)正规化后的估计输出结果。一个可选择的正规化方法(fngf)是：在系统中，前 r 个变量作为其余 k r 个变量的函数。近似的标准误差在可识别参数的圆括号内输出。61云南大学发民研究院共七十八页6、VEC模型(mxng)在EViews软件VEC模型的表达式仅仅适用于协整序列先运行Johansen协整检验确定协整关系数在VAR对象设定框中，从VAR Type中选择Vector Error Correction项。在VAR Specification栏中，除了特殊情况外，应该(ynggi)提供与无约束的VAR模型相同的

33、信息：62云南大学发民研究院共七十八页 常数或线性趋势项不应包括在Exogenous Series的编辑框中。对于VEC模型的常数和趋势说明应定义在Cointegration栏中。 在VEC模型中滞后间隔的说明指一阶差分的滞后。例如，滞后说明“1 1”将包括VEC模型右侧的变量的一阶差分项的滞后，即VEC模型是两阶滞后约束(yush)的VAR模型 。为了估计没有一阶差分项的VEC模型，指定滞后的形式为：“0 0”。 63云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页 对VEC模型常数和趋势(qsh)的说明在Cointegration栏。必须从5个趋势(qsh)假设说明中选择一个，也必须在

34、适当的编辑框中填入协整关系的个数，应该是一个小于VEC模型中内生变量个数的正数。64云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页填完这个对话框，单击OK按纽即可估计(gj)VEC模型。VEC模型的估计(gj)分两步完成：第一步，从Johansen所用的协整检验估计协整关系；第二步，用所估计的协整关系构造误差修正项，并估计包括误差修正项作为回归量的一阶差分形式的VAR模型。 65云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页VEC模型估计的输出包括两部分。第一部分显示了第一步从Johansen过程(guchng)所得到的结果。如果不强加约束，EViews将会用系统默认的能可以识别所有的协整关系的正规化方法。系统默认的正规化表述为：将VEC模型中前 r 个变量作为剩余 k r 个变量的函数，其中 r 表示协整关系数，k 是VEC模型中内生变量的个数。第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为回归量的一阶差分的VAR模型。误差修正项以CointEq1，CointEq2，表示形式输出。输出形式与无约束的VAR输出形式相同，将不再赘述。66云南大学(yn nn d xu)发民研究院共七十八页七、实例(shl)中国GDP、宏观消费与基本建设投资的VEC模型分析 1