运筹学2-对策论

1、运 筹 学 制作：1 第四章 对策论1、对策论的基本概念2、矩阵对策的最优纯策略3、矩阵对策的混合策略 引：“齐王赛马”21. 对策论的基本概念三个基本要素；(1). 局中人：参与对抗的各方；(2). 策略集：局中人选择对付其它局中人的行动方案称为策略。某局中人的所有可能策略全体称为策略集；(3). 局势对策的益损值：各局中人各自使用一个对策就形成一个局势，一个局势决定了个局众人 的对策结果，称为该局势对策的益损值。3“齐王赛马”齐王在各局势中的益损值表（单位：千金）4齐王的策略集: S1=1, 2, 3, 4, 5, 6田忌的策略集： S2=1, 2, 3, 4, 5, 6下列矩阵称齐王的赢

2、得矩阵： 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 -1A= 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 1 1 1 1 1 -1 3 1 1 1 -1 1 1 3 51. 基本概念（续）二人有限零和对策：(又称矩阵策略)局中人为2；每局中人的策略集中策略数目有限；每一局势的对策均有确定的损益值，并且对同一局势的两个局中人的益损值之和为零。61. 基本概念（续）记矩阵对策为: G = S1, S2, A 甲的策略集 甲的赢得矩阵 乙的策略集“齐王赛马”即是一个矩阵策略.72.矩阵对策的最优纯策略 在甲方赢得矩阵 A=aijm*n 中： i行代表甲方策略 i =1,2m j列代表乙方策略 j

3、 =1,2n aij代表甲方取策略i,乙方取策略j,这一局势下甲方的益损值，此时乙方的益损值为-aij（零和性质）。 在讨论各方采用的策略是必须注意一个前提就是对方是理智的。这就是要从最有把握取得的益损值情况考虑。 82. 矩阵对策的最优纯策略(续)例：有交易双方公司甲和乙，甲有三个策略1，2，3；乙有四个策略1，2，3，4，根据获利情况建立甲方的益损值 赢得矩阵。 -3 0 -2 0 A = 2 3 0 1 -2 -4 -1 3问：甲公司应采取什么策略比较适合？9甲：采取1至少得3(损失 3） 2 0 3 -4(损失 4）乙：采取1甲最多得2（乙得-2） 2 3（乙得-3） 3 0（乙得 0

4、） 4 3（乙得-3）取大则取2 max min aij= 0 i j取小则取3 min max aij= 0 j i10甲采取策略2 不管乙采取如何策略，都至少得益。乙采取策略3 不管甲采取如何策略， 都至少可以得益。（最多损失0） 分别称甲，乙公司的最优策略，由唯一性又称最优纯策略。存在前提： max min aij = min max aij = v i j j i又称（ 2 ，3 ）为对策G=s1,s2,A的鞍点。值V为G的值。11作业 P373 - 1123.矩阵对策的混合策略设矩阵对策 G =S1,S2,A当 max min aij min max aij i j j i 时，不存

5、在最优纯策略 求解混合策略。133.矩阵对策的混合策略例：设一个赢得矩阵如下: min 5 9 5 A = max 6 策略2 8 6 6 i max 8 9 min 8 策略1 j14矛盾：甲取2 ，乙取时1，甲实际赢得8比预期多2（乙就少2）这对乙讲是不满意的，考虑这一点，乙采取策略2，若甲分析到这一点，取策略1，则赢得更多为9此时，甲，乙芳没有一个双方均可接受的平衡局势。一个思路：对甲（乙）给出一个选取不同策略的概率分布，以使甲（乙）在各种情况下的平均赢得（损失）最多（最少）。-即混合策略15求解方法：线性规划法（其他方法：图解法，迭代法，线性方程法等略）例： 5 9 设在最坏的情况下，

6、 A= 甲赢得的平均值为V. 8 6 （未知）STEP 11) 设甲使用策略1的概率为x1 x1+x2=1 设甲使用策略2的概率为x2 x1,x20162)无论乙取何策略，甲的平均赢得应不少于V:对乙取1：5x1+ 8x2V对乙取2：9x1+ 6x2V 注意 V0,因为A各元素为正。STEP 2 作变换： x1= x1/V ; x2= x2/V得到上述关系式变为： x1+ x2=1/V (V愈大愈好）待定 5x1+ 8x21 9x1+ 6x21 x1, x2017建立线性模型： min x1+x2 s.t. 5x1+8x21 x1= 1/21 9x1+6x21 x2= 2/21 x1, x20

7、 1/V= x1+x2=1/7 所以：V=7. 返回原问题： x1= x1V= 1/3; x2= x2V= 2/3 于是甲的最优混合策略为： 以1/3的概率选1；以2/3的概率选2 最优值V=7.18同样可求乙的最优混合策略：设乙使用策略1的概率为y1 y1+y2=1设乙使用策略2的概率为y2 y1, y20设在最坏的情况下，甲赢得的平均值为V.这也是乙损失的平均值，越小越好作变换： y1= y1/V; y2= y2/V. 建立线性模型： max y1+y2 y1= 1/14 s.t. 5y1+9y21 y2= 1/14 8y1+6y21 1/V= y1+y2=1/7 y1, y20 所以：V

8、=7 19返回原问题： y1= y1V= 1/2 y2= y2V= 1/2于是乙的最优混合策略为：以1/2的概率选1；以1/2的概率选2. 最优值V=7.当赢得矩阵中有非正元素时，V0的条件不一定成立，可以作下列变换： 选一正数k，令矩阵中每一元素加上k得到新的正矩阵A，其对应的矩阵对策 G= S1,S2,A与 G = S1,S2,A 解相同，但VG = VG - k20再讨论“齐王赛马”“齐王赛马”的赢得矩阵A有 max min aij1 min max aij3 i j j i 故需求混合策略，由于A中有非正元素，可选k2，令矩阵中每一元素加上k得到新的正矩阵A： 5 3 3 3 1 3

9、3 5 3 3 3 1 A = 3 1 5 3 3 3 1 3 3 5 3 3 3 3 3 1 5 3 3 3 1 3 3 521再讨论“齐王赛马”(续)求甲方(齐王)最优策略的线性规划模型： min x1+x2 +x3 +x4 +x5 +x6 s.t. 5x1+3x2 +3x3 + x4 +3x5 +3x6 1 3x1+5x2 + x3 +3x4 +3x5 +3x6 1 3x1+3x2 +5x3 +3x4 +3x5 + x6 1 3x1+3x2 +3x3 +5x4 + x5 +3x6 1 x1+3x2 +3x3 +3x4 +5x5 +3x6 1 3x1+ x2 +3x3 +3x4 +3x5

10、+5x6 1 x1，x2，x3，x4，x5，x6 0 可得两组解：(0,1/9,1/9,0,0,1/9)T, (1/18,1/18,1/18,1/18,1/18,1/18)T ,V=3于是，x(0,1/3,1/3,0,0,1/3)T, x(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)T V = V-2 = 1即齐王的最优混合策略值是赢1千金22再讨论“齐王赛马”(续)求乙方(田忌)最优策略的线性规划模型： max y1+y2 +y3 +y4 +y5 +y6 s.t. 5y1+3y2 +3y3 +3y4 + y5 +3y6 1 3y1+5y2 +3y3 +3y4 +3y5 + y6 1 3y

11、1+ y2 +5y3 +3y4 +3y5 +3y6 1 y1+3y2 +3y3 +5y4 +3y5 +3y6 1 3y1+3y2 +3y3 + y4 +5y5 +3y6 1 3y1+3y2 + y3 +3y4 +3y5 +5y6 1 y1，y2，y3，y4，y5，y6 0 可得两组解：(1/9,0,0,1/9,1/9,0)T, (1/18,1/18,1/18,1/18,1/18,1/18)T ,V=3于是，y(1/3,0,0,1/3,1/3,0)T, y(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)T V = V-2 = 1即田忌的最优混合策略值是输1千金23优超原则： 假设矩阵对策 G

12、= S1,S2,A 甲方赢得矩阵 A=aijmn- 若存在两行，s 行的各元素均优于 t 行的元素，即 asj atj j =1,2n 称甲方策略s优超于t - 若存在两列，s 列的各元素均优于 t 列的元素，即 ais ait i =1,2,m 称乙方策略 s优超于t3.矩阵对策的混合策略(续)24- 优超原则：当局中人甲方的策略 t 被其它策略所优超时，可在其赢得矩阵A中划去第t行（同理，当局中人乙方的策略t被其它策略所优超时，可在矩阵A中划去第t列）。 如此得到阶数较小的赢得矩阵A，其对应的矩阵对策 G= S1,S2,A与 G = S1,S2,A 等价，即解相同。 3.矩阵对策的混合策略(续)25例 设甲方的益损值 赢得矩阵。 3 2 0 3 0 被第3、4行所优超 5 0 2 5 9 被第3行所优超 A= 7 3 9 5 9 4 6 8 7 5.5 6 0 8 8 3得到 7 3 9 5 9 被第1列所优超 A1= 4 6 8 7 5.5 被第2列所优超 6 0 8 8 33.矩阵对策的混合策略(续)26续例 得到 7 3 9 A2= 4 6 5.5 6 0 3 被第1行所优超得到 7 3 9 被第1列所优超 A3= 4 6 5.5 7 3最终得到 A4= 4 6 3.矩阵对策的混合策略(续)27对A4计算，用线性规划方法得到：（注意：余下的策略为3，