高鸿业,微观经济学,第七版,课后答案解析18生产函数

1、第四章生产函数第一部分教材配套习题本习题详解一、简答题.如何准确区分生产的短期和长期这两个基本概念 ？生产的短期：指生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的时间周期。短期不可调整的生产要素称不变生产要素，一般包括厂房、大型设备、高级管理者、长期贷款等，可调整的生产要素成为可变生产要素，一般包括原材料、燃料、辅助材料、普通劳动者等。生产的长期：指生产者可以调整全部生产要素的数量的时间周期。生产的短期和长期是相对的时间概念，不是绝对的时间概念，其与企业所属行业、所用技术设备和规模等因素有关。.下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表(表4 1 ):(1 )在

2、表中填空。(2)该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变 要素投入量开始的？表4 1可交要素的数可交要素的总产可义要素的平均可义要素的边际量量)里)里1221 032 441 256 06677 08096 3解答：（1）在表4 1中填空得到表4 2表4 2可义要素的数量口艾要素的思产量口艾要素的平均产县 里口艾要素的边际产县 里122021 261 032 481 244 81 22 456 01 21 266 61 1677 01 0487 08.75096 37一 7.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答：边际报酬变化是指在生产过程

3、中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定 生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化一般包括边际报 酬递增、不变和递减三个阶段。很显 然，边际报酬分析可视为短期生产分析。规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引 起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比 例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然， 规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。区别：前提条件不同，边际报酬变化生产要素分为不变和可变生产要素，生产要素比例发生变化；规模报酬分析研究生产要素同比

4、例变动。考察时间长短不同。边际报酬 变化分析的是短期生产规律；规模报酬研究长期生产规律。指导意义不同。边际报酬变 化指出要按比例配置生产要素；规模报酬指出要保持企业的适度规模。由于前提条件不 同，两规律独立发挥作用，不存在互 为前提，互为影响关系。联系：随着投入要素增加，产量一般都经历递增、不变和递减三个阶段。4.假设生产函数Q =min 5L,2K。(1)作出Q = 50时的等产量曲线。(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。(3)分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1)生产函数Q = min5 L,2K是固定投入比例生产函数，其等产量曲 线如图所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入

5、比例为K:L=5: 2。I8K/ L 2*当产量 Q=50时，有5L=2K=50,即L= 10 , K= 25。相应的 Q=50的等产量曲线 如图所示。(2)由于该生产函数为固定投入比例，即 L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替 代率 MRTSlk=0。(3)因为 Q = f(L, K) = min 5L,2Kf( AL, AK) = min 5 AL,2入K=入min 5L,2K,所以该生产函数呈现出规模报酬不变的特征。.已知柯布道格拉斯生产函数为Q = AL火3。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为 Q=f(L, K) = ALaK3f( AL,入K)=A( AL)(H)B=入。

6、+叭1。所以当a + 31时，该生产函数为规模报酬递增；当a+3=1时，该生产函数为规模报酬不变；当a + 3 1时，该生产函数为规模报酬递减。定是不变的？.如果一个生产函数呈规模报酬不变，那么，该生产函数的边际技术替代率是否一为什么？【答案】规模报酬和边际技术替代率是两个不同的概念。规模报酬这一概念是用 来分析当全部生产要素同比例变化时导致的产量变化情况。如果产量变化的比例等于全部生产要素变化的比例，这种情况被称为规模报酬不变，边际技术替代率 是指在产量给定的条件下，增加一单位要素所能替代的另一种要的数量。 事实上， 在生产函数呈规模报酬不变的性质时，其边际技术替代率可以不变，也可以递减。例

7、如线性生产函数Q=f (L, K) =aL+ K,具有规模援酬不变的性质，它 的边际技术替代率是不变的常数，对柯布道格拉断生产数 Q = ALaK来说，当a + =1时，也具有规模报酬不变的性质，但它的边际技术替代率是递减的。固 定投入比例生产函数Q (L. K) = min aL , bK ,也具有规模振酬不变的性 质，但在其等产量曲线的水平部分有 MRTS=0 ,在等产量曲线的垂直部分， MRTS= 8。由此可见，规授酬不变与边际技替代率是涉及生产技术的两个不同概念，两 者之间没有直接的联系。.如何区分固定投入比例的生产函数与具有规模报酬不变特征的生产函数？【答案】固定投入比例生产函数又称

8、里昂惕夫生产函数，其反映了这样一种生产技术，即在任何产量水平上，各种生产要素使用量之间的比例是固定不变的。 在 两种生产要素的情况下，固定投入比例生产函数的一般形式 Q(L.K)= min aL , bK ,即有固定的生产要素投入比例区包，相应的等产量曲线是一直角形式。L b产量变化的比规模报酬不变的概念表示当全部要素使用量都按一定比例变化时, 例等于全部要素使用量变化的比例。 对固定投入比例生产函数来说，当所有的要 素使用量按相同比例变化时有 Q( L, K)=min a L, b K = min (L, K) = Q (L. K)所以，固定投入比例生产函数具有规模报酬不变的性质。除了固定投

9、入比例生产函数之外，其他形式的生产函数也可以呈现规模报酬不变的特征例如，线性生产函数 Q = f (L, K) =aL+ K、柯布一道格拉斯生产函数Q = ALaK当a + B = 1时等，都具有规模报酬不变的性质。总之，固定投入比例生产函数具有规模报不变的性质，但规模报不变的生产函数可以是固定投入比例生产函数，也可以是其他形式的生产的函数。二、计算题1.已知生产函数 Q=f(L, K)=2KL- 0.5L 2-0.5K 2 ,假定厂商目前处于短期生产，且 K =10 ,求：(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPl函数、劳动的平均产量 APl函数和劳动的边际产量 MPl函数。(2)分

10、别计算当总产量TPl、劳动平均产量APl和劳动边际产量MPl各自达到极大 值时的厂商劳动的投入量。(3)什么时候APl=MPl?它的值又是多少？解答：(1)把K=10代入生产函数得短期关于劳动的总产量函数为：TPl f L,K 2 10L 0.5L2 0.5 102 20L 0.5L2 50劳动的平均产量函数为：APl TPL 20L 0.5L-50 20 0.5L 加LLL劳动的边际产量函数为：MPlTPl20L 0.5L 5020 L(2)当MPl 0时，即20 L=0 L=20时，TPl达到极大值当APl MPl时，即20 0.5L 20 L , L=10时，APl达到极大值MPl20-

11、L1,说明MPl始终处于递减阶段，所以 L=0时，MP最大。APl MPl L 10,把L 10代入AP和MP函数得： 50APl 20 0.5L f=20 5 5=10, MPl 20 L=20 10=10 ，即 L=10 时，apl达到极大值，apl mpl。.已知生产函数为 Q = min (2L,3K )。求：(1)当Q=36时，L与K值分别是多少？(2)如果生产要素的价格分别为 Pl=2, Pk = 5 ,则生产480单位产量时的最小 成本是多少？解：(1)生产函数为Q =min( 2L,3K )表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有 Q=2L = 3KO

12、因为已知产量 Q = 36，则2L=3K=36 ，所以，L=18, K=12。(2)由 Q = 2L=3K=480 ,可得：L=240 , K=160。又因为 Pl=2, Pk=5,所以有：TC=PlL+ PkK= 2X240 +5X160= 1280。即生 产480单位产量最小成本为 1280。.假设某厂商的短期生产函数为Q = 35L +8L2-L3o求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为L=6,是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L) = L=35+8L L2边际产量函数：MP(L) =Q(L)=35 + 16L

13、3L2(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。在生产要素L投入量的合理区间的左端，有 AP = MP,于是，有35 + 8L- L1233 dMPK 同理，MPk - AL3K 3,-=35+16L 3L2。解得L=0和L = 4。L=0不合理，舍去，故取 L=4。在生产要素L投入量的合理区间的右端，有 MP=0,于是，有35 + 16L- 3L2=0。(5+3L)(7-L)=0 ,解得 L= 5/3 和 L= 7。L= -5/3 不合理，舍去，故 取 L=7。由此可得，生产要素L投入量的合理区间为4,7 0因此，企业对生产要素L 的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。 TOC o 1

14、-5 h z 124.已知生产函数为 Q AL3KdK。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型?(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配?12解：(1) Q f L,K ALK三1212f L, K A L 3 K 3AL3K3f L,K ，所以，在长期生产中，该生产函数属于规模报酬不变。(2)假定资本的投入量不变，用 K表示，L投入量可变，121dMPLdL所以，生产函数Q AL3K3 ,这时，劳动的边际产量为 MPl - AL 3 K 3 325 2-AL 3K3 0 ,说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增力口,9劳动的边际产量递减。2-1

15、-al3k 3 0,说明：当劳动使用量即定9时，随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用5.令生产函数 f (L, K) =a0 + ai(LK)1/2 + a2K+a3L,其中 0ai1(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。i=0 , 1 , 2, 3。(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的解：(1)根据规模报酬不变的定义f( AL,入K)= f (L, K)于是f( /L, AK) = ao+a1(AL)(AK)1/2 +a2( AK)+a3(?L)= ao+ 入a1 (LK)1/2+ 入a2K+ 入a3

16、L=Aao+a1(LK)1/2+a2K+a3L+ (1入)ao=f (L, K) + ( 1 入)ao由上式可见：当ao=0时，对于任何的 入有f(AL,入K)= f (L, 即当ao = 0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。K)成立,(2)在规模报酬不变，即 a0 = 0时，生产函数可以写成f (L, K) =a(LK)1/2+a2 K + a3L相应地，劳动与资本的边际产量分别为：df(L,K) 1MP l(L, K) = dL a1 L-1/2 K1/2 + a3,MP k(L, K) = )= 2 a1L1/2 K-1/2 +a2,-dMPL(L,K)11 3/2 ix1/2 八

17、可求： dL =- a 1L3/2 K1/2 0dMPK(L,K)1:-一dL4a1L1/2K1-3/20证明:该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点证明L2为区域I的右界点，设厂商的生产函数为Q=f(K , L),其中L为可变投入，K为不变投入。由题意，单位产品的价格 P和单位生产要素的价格Pl及Pk都不随?量 Q的变化而变化。则利润 tt=PQ-(LP l+KP k)(1)ddLP dQ dLPl因为,九 0,可得 PQ LPl+KP k由(3)式两边同时除以LP,得:Q AP L 皂 K PK (L APl,所以得：MPl”Q APl区工&旦”八)dL LP L P P 1即:dQ

18、 %(L Y L1)P四 PlPQ -P l0dL P 1dLdL一 d即一0 (L0mp ap,则ap递增；边际产量大于平均产量时，平均产量上升若mpap,则AP递减；边际产量小于平均产量时，平均产量下降若mp=ap,则ap最大。mp交ap的最高点。最后，总产量与平均产量的关系ap=tpL原点与tp上一点的连线的斜率值等于该点的 ap从原点出发，与tp相切的射线，切点对应ap最大。图4 1短期生产函数三条产量曲线的关系2.假定某厂商的生产技术给定，在该生产技术下可以采用四种生产方法来生产2000单位产量，如表4 2所示。* *生产力法劳动使用量资本使用量方法A100600方法B160500方法C165700方法D90700(1)请剔除表4 2中无效率的生产方法。2) “生产方法B是最有效率的。因为它所使用的资源总量最少，只有660 单位。”你认为这种说法正确吗？为什么？(3)在(1)中剔除了无效率的生产方法后，你能在余下的生产方法中找出有效 率的生产方法吗？请说明理由。解答：(1)方法C在技术上是无效率的，与方法 B相比，它使用本与劳动 的数量都要较方法A多，而产量相同；同