7.2 复数的四则运算（原卷版）

1、7.2复数的四那么运算【知识点梳理】知识点一、复数的加减运算L复数的加法、减法运算法那么:设Z=+Z?i, z2 = c +di ( a.b,c.d e 7?),我们规定:Zj +z2 = (a +bi) + (c +di) = (a + c) + (b + d)iz? - Z =(c ci) + (d Z?)z知识点诠释：(1)复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。很明显，两个复数的和(差)仍然是一个复数，复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减)的情形.(2)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法那么计算，不必死记公式。2 .复数的加法运算律：交换律：Z1+Z2=Z2

2、+Z1结合律:(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)知识点二、复数的加减运算的几何意义L复数的表示形式：代数形式：z a +bi ( a,b e 7?)几何表示：坐标表示：在复平面内以点Z3,。)表示复数2 =a+沅(/尺)；uuu向量表示：以原点o为起点，点zm,)为终点的向量oz表示复数2=+次.知识点诠释：UUU复数Z =4+初 复平面内的点Z(Q,b) 平面向量0Z2.复数加、减法的几何意义：UUU UUU如果复数4、Z2分别对应于向量、0P.,那么以。片、。尸2为两边作平行四边形。尸尸匕，对角线OSUlUlUULUI表示的向量OS就是Z1 +Z2的和所对应的向量.对角线表示的向量

3、尸2Pl就是两个复数的差Z -Z2所对应 的向量.UUU UUUIUUU UUUIUULI设复数Z|=+A, Z2=c+di9在复平面上所对应的向量为。Z1、oz2 ,即。Z1、oz2的坐标形式为。Z1=3，uuuiuuu uuuiuuub), oz2 =(c, o以OZ1、OZ?为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，那么对角线oz对应的向量是oz,22. （2021 全国高三专题练习）复数z满足2=1, z2 + z = l，求复数z.umi uuli ulouuu uuui由于OZ =OZ +oz2 =(a/) +(Gd) =m +c,b+d),所以OZ1和OZ?的和就是与复数(+c)+S+。对

4、应的 向量知识点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理知识点三、复数的乘除运算1.乘法运算法那么：设Z=Q+bi, z2 =c +di ( a,b,c,d w R ),我们规定：Z -z2 = (a +bi)(c +di) = (ac -bd) + (bc +ad)iz a +bi (a +bi)(c 一di)ac +bd . be - ad . - -1Z2 c + di (c+di)(c-山)c2 +d2 c2 +d2知识点诠释：(1)两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚局部别合并.两 个复数的积仍

5、然是一个复数.(2)在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共飘复数(分母 实数化)，化简后写成代数形式。2.乘法运算律：交换律：2103)= 3色卜3(2)结合律：z (z +z )=zz +zz(3)分配律:z (z +z ) = z z +z z【典型例题】类型一、复数的加减运算 TOC o 1-5 h z 例1. (2021海南.三亚华侨学校高二期中)复数(l-i)-(2 + i) + 3i等于()A. -1 + iB. l-iC. iD. -i例2.(2021嘿龙江.大庆中学高三期中(理)设2(2 + 7) + 3(zT = 4 + 6i,那么2=

6、()A. l-2zB. l + 2zC. 1 + iD. l-i例3.(2021 黑龙江齐齐哈尔市第八中学校高一期中)假设复数4 =-l + 2i, z2=l-i9 Z3=3-2i,那么Zl+Z2+Z3|=.类型二、复数的乘除运算 TOC o 1-5 h z 例4.（2021 全国模拟预测）复数z = （l-if-（l + i-那么区+ 2|=（）A. 4B. 272C. 275D. 2例5.（2022.山西怀仁.高三期末（文）复数z满足（z-1）（1-i） = 2i,那么z对应复平面内的点的坐标为（）A. （0,-1）B. （0,1）C.（2,-1）D.（2,1）例6. （2022北京朝阳高

7、三期末）（l + i=（）A. -2B. 2C.-2iD.2i例7. （2021 .江苏南京.高二期中）复数z = -1 + Gi,那么z3+3z?+6z + 1 =.例8. （2021 .浙江浙江.高一期末）假设复数4满足（z2 + i）（l + i） = l-i （i为虚数单位），复数22的虚部为2,且2理2是实数.（D求I的模长;（2）求Z2.类型三.复数代数形式的四那么运算 TOC o 1-5 h z 例9.（2021 广西模拟预测（理）假设复数Z满足z（l + 2i） = 2i-（l + i）3,那么区=（）24242424A. +iB.iC. + iD.i55555555例10.

8、（2021 云南高三期中（理）复数z满足（1-i）z = 3-i （i为虚数单位），那么z的虚部为（）A. 1B. iC. -2D. 2i例IL （2022新疆一模（文）复数z = 3 + i，那么忖=（）+ 1A. MB. 2V2C逐D. 2例12. （2021 福建龙岩高三期中）复数z满足（3 + i）z =（2 + ai）,忖二及，那么正数”（）A. -2B. -1C. 4D. 2 2例13. （2021 .吉林长春市第八中学高一期中）复数z = 匚，那么z的虚部是（）i + 2 TOC o 1-5 h z A. 1B. iC. -2D. -1,2.34例14. (2020.河北冀州中学

9、高三期末(文)复数+=()1-z例15. （2021 .山东邹城.高一期中）设复数z=,其中i是虚数单位，那么z的虚部是 例16. （2021 上海复旦附中高二期末）i为虚数单位，z = a +初（q/cR）且z-是纯虚数,(1)求|z-2|的取值范围； TOC o 1-5 h z l-z1(2)假设 U =, U=z + ,求 4u 的最小值.1 + 2Z类型四、复数方程_7例17. （2021 江苏扬州中学高二期中）z是复数，12i和二一都是实数.1-1（1）求复数z；（2）设关于的方程d+Ml + z）-（3ml）i=。有实根，求纯虚数加.例18. （2021 .福建泉州五中高一期中）复

10、数4=2 +勿是方程法+5 =。伍0/出的一个解.（1）求。、匕的值；（2）假设复数Z2满足肉一a二-3i|,求的最小值.例19. （2021 河南新乡高二期中（理）关于复数z的方程z2+（i）z 2 + i =。（qR）.（I）假设此方程有实数解，求。的值;（2）用反证法证明对任意的实数原方程不可能有纯虚数根.例20. （2021 全国高一专题练习）设zi是方程x26x+25=0的一个根.求Z1；（2）设Z2 = a+i（其中i为虚数单位，aR）,假设Z2的共扼复数Z2满足忆f也户1256,求Z2?.类型四.复数的几何意义例21.（2020全国高一课时练习）如下图，平行四边形O48C的顶点O

11、, A, C分别对应复数0, 3 + 2，,2+4/.求：（1）向量正对应的复数;（2）向量而对应的复数;（3）向量砺对应的复数.例22. （2021 全国高一课时练习）四边形。4cB是复平面内的平行四边形，0是原点，点A3分别表示 复数3 + i,2 + 4i, M是。C,的交点，如下图，求点C表示的复数.例23. （2021 .全国,高二课时练习）证明等式z1+Z2+h-Z2=2|z+2|z2，对任意复数4,z2都成立，并 给出这个等式的一个几何意义.【同步练习】一、单项选择题（2022.上海.复旦附中高二期末）复平面中有动点Z, Z所对应的复数z满足|z-3|=|z-i|,那么动点Z的轨

12、迹为（）A.直线B.线段C.两条射线D.圆 TOC o 1-5 h z (2022新疆,一模(理)复数2 = 那么目=()2-1A. MB. 272C. 75D. 2（2022北京石景山高三期末）i为虚数单位，假设（2+i）z = i,那么复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2022.广西柳州.二模（文）假设复数z满足z（2-i） = 2i,其中i为虚数单位，那么忖=（）A. -B.好C. -D.撞5555（2021广西模拟预测（理）假设复数z满足z（l + 2i） = 2i （l + i）3,那么5=（）24.

13、24.24.24.A. IiB.iC.1iD.i55555555.（2021 山东济宁市教育科学研究院高三期末）复数z满足z.i3=l-2i，那么三的虚部为（）A. 1B. -1C. 2D. -2. （2021 .浙江舟山中学高三阶段练习）i是虚数单位，假设复数z=2z2=3 + 4i,那么印2=（）-4A. -0.5B. -0.3-0.4i C. 0.5D. -0.3 + 0.4i8.（2021 .全国.高三专题练习）复数z对应的点在第二象限，三为z的共辄复数，有以下关于z的四个命题：甲：z + z = -2;乙：z-z = 2i; TOC o 1-5 h z H -r -1 V3.内： z

14、,z = 4;J z + z =1.2 2如果只有一个假命题，那么该命题是（）A.甲B.乙C.丙D. T二、多项选择题TT7T9.（2021.湖北.高二期中）复数2 = 8$8 + 16（-K。不）（其中i为虚数单位），那么以下说法正确的选项是（）A.复数z在复平面上对应的点可能落在第四象限B. |z|=cos8C. z-z=lD. z +，为实数 z10. （2021 湖北高一期末）对任意复数z = x+yi, GwRwR）, i为虚数单位，5是z的共枕复数，那么以下 结论正确的有（）A. z-z=2yB. z2 =| z |2ZZ = X2 + y2D. |z|x| + | j|11.（2

15、022全国高三专题练习）设4/2是复数，那么以下命题中的真命题是（）z-z2=09 贝”二2B.假设马=,那么不=Z2C.假设=团,那么Z4 = Z2D-假设卜卜，那么z； = z；（2021 .全国全国.模拟预测）欧拉公式被称为世界上最完美的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在 复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即，=cos6 + isin6 （eR）.根据欧拉 公式，以下说法正确的选项是（）A.对任意的e冶=1e在复平面内对应的点在第二象限C.争的实部为Y2e 2e2与e一2互为共甄复数三、填空题（2022上海复旦附中高二期末）化简：i366+i384 +i500

16、=.（2021 上海静安一模）假设关于X的实系数一元二次方程工2_a+ 3m 8 = 0有两个共加虚数根，那么根的取值范围是（2020北京北大附中高二期末）假设复数z满足：z2-2酸+ +4 = 0,且团=石，那么实数。=.（2021 .北京.首都师大二附高一期末）（1）设复数2 =二（其中i为虚数单位），那么z的虚部是.1-1（2）复数z满足|z |=1,那么|z-3i|的取值范围为.（其中i为虚数单位）四、解答题（2021 全国高一单元测试）关于x的二次方程/+办+ 4 + 3i = 0有实根，。为复数.求。的模的最小值.（2。21 .上海市徐汇中学高二期末）复数z满足，+卜+可=热，求复数z（2021 .上海徐汇.高二期末）（1）解方程:x2+|x| =0（xeC）；（2）-