高考理科数学知识点总结138个

1、第一部分第二部分第三部分第四部分第五部分第六部分第七部分第八部分第九部分第十部分第十一部分第十二部分第十三部分第十四部分第十五部分第十六部分高考数学知识点总结【理（理科数学知识点共计138个）集合与简易逻辑不等式的解法三角函数数列平面向量不等式性质直缭口圆锥曲线立体几何空间向量与立体几何基数概率与统计排列、组合和二项式定理、数学归纳法极坐标与参数方程1112141416182022222425第一部分集合与简易逻辑以的符号表示：自然数集N ;正整数集N* ;整数集Z;有理数集Q、实数集R. 0是任何集合的子集，条件为月口 6时不要遗忘了 H = 0的情况.对于含有个元素的有限集合子集数目：其子

2、集、真子集、非空子集、非空真子集的个 数依次为 22n-1,2n -1,2n -2.理解集合的意义-抓住集合的代表元素。如:x|y=f(x)表示y=f(x)的定义域，y|y=f(x)表示y二f(x)的值域，(xy|y=f(x)表示y=f(x)的图像. A是 B 的子集N = 0 oAuB=BoAnB=A,6四种命题及其相互关系:若原命题是“若p则q，则逆命题为若q则p；否命题为 “若P则q；逆否命题为“若q则p”互为逆否关系的命题是等价命题.对于 条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系AnBohnV判断其真 假7.要注意区别“否命题”与“命逛的否定：否命题要对命迤的条件和结论都否

3、定，而命 题的否定仅对命题的结论否定；命题“ p或q的否定是 Jp且”p且q”的否 定是或8、逻辑联结词：命题人真假判断：两真才真，一假则假；命题pvq真假判断：两 假才假，一真则真；命题亘假与P相反9、全称量词所有的二任意一个“等，用” ”表示；全称命题p： x M,P(x);全称命题夕的否定p. x M, P(x).存在量词 “存在一个”、”至少有一个等，用“ ”表示；特称命题0：x M, P(x);特称命题夕的否定-p: x Mr P(x);.充要条件:由A可推出B, A是B成立的充分条件；B是A成立的必要条件.从集合角度解释，若/qB,则A是B的充分条件；B是A的必要条件；小充分大必要

4、 第二部分不等式的解法二次方程的基础知识：求根公式：麟艮的判别式：:b24ac根与系数关系:bc,xi+x2= , X|X2= -根的分布：方程ax2+bx+c=O有两正根的条件是： aaANa%+.qQ.E呢0；有两负根的条件是： N 0,巧+ ；有一正一负两根 的条件是：0f X1X2AJ（QO、在 （-8次）上有两根的条件是：A0j vAJ/）0、在（-双左）和仕,+8）上各有一根的 条件是f （k） 0的解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c的图象与不轴的交 点的横坐标.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分变成标f（x）准型 0,再转化为整式不等

5、式f（x）g（x）0求解，注意最高次项的系数要为正,分母是 g（x）否有等于o.绝对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法：=xa-ax 0, 底数0且于1；零指数后的底数工0）；实际问题有意义；若/（刈定义域为,办复合的 数刀以刈定义域由a 4 g&）三方解出；若/国（幻定义域为可，则外定义域相当于xwa,6时g(x)的值域.求函数值域(最值)的方法:(1)二次函数区间最值：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对关系)，(2)换元法一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如)，= 2$inO-3sinx-l, y = 2x +

6、l + HT (运 用换元法时，要特别要注意新元/的范围)单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性,(4)导教法：一般适用于高次多项式函蛔!他复杂函数，求导解导数为0的根计算极值和区间端点函数值比较大小，得出最值.求函数解析式的常用方法：(1)代换法：已知形如f(g(x)的表达式，求f(x)的表达丸 可设g(x)=t,用t表示x,再代 回原式即可(2)转化法：若根据函数奇偶性求解析式，则设所求区间，利用f(x) = f( 7)或f(x) =f(x)求解析式(3)方程的思想已知条件是含有/(均及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征 对等式的进行疏侑,从而得到关于/(x)

7、及另夕1个函数的方程组.通过解方程组得到f (x) 解析式。如已知/(幻+ 2/(-幻=3才-2,求/(x)的解析式.函数的单调性。(1)定义：设函数尸的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间。内的任意两个自变量为，及，当用及时，都有所)收)，那么就说;W在区间。上 是增函数(减函数)；(2)常见函数的单调性：y=kx+b(看k正负)WxaW+bx+c (一看开口方向；二看对称轴) 指对数函数(看底数a1增；0a0,则鬲 函数的图象过原点，并且在0, +河上为增函数.如果Q0,则幕函数的图象在(0, 十上为减函数，图象无限接近x轴与y轴.其他象限看奇偶性(3)复合函数单调性法则：特点是同增异

8、减,(4)特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间一定不能添加符号“ “和“或“；三是单调区间应该用区间表示，不能用不等号表示.(5)注意函数单调性的逆用：若 代)X2(减函数).函数的奇偶性.(1)具有奇偶性的函数定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判 定函数定义域是否关于原点对称。若f(x)是奇函数那么f(x)=f(-x);若佃)是偶函数那么/(*) = /(7,)=/(|);定义域 含零的奇函数必过原点(f(0)=0)；(3)复合函数的奇偶性特点是：内偶则偶，内奇同外”.(4)若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个

9、 (如y=0定义域关于原点对称即可).6周函数在对称的区间有相同的单调性；偶函数在对称的区间有相反的单调性；.函数的对称性：y二f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称；y=f(x)与y二f(x)的图像关于x轴对称；若f(a+x)=f(ax)或f(x)=f(2ax)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称；若f(a+x)=f(b-x)恒成立厕y=f(x)图像关于直线x=可9对称；2.函数的周期性：若f(T+x)=f(x)厕f(x)是周期函数，T是它的一个周期.若尸f(x)施f(x+a)=f(xa)恒成立则f(x)的亵2同；若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则y=f(x)

10、的周期为2|a|;若y=f(x)奇函数其图像又关于直线x=a对称，则y=f(x)的周期为4|a|;若尸6)关于点(a,0),(b,0)对称/y=f(x)的周期为2|a-b|;片f(x)的图象关于直线x=a, x=b对称厕函数y=f(x)的周期为2|a-b|;1(6)f(x+a)=f(x)或 f(x+a)=-莉厕 y=f(x)的周期为 2|a|;26指数式、对数式运算：=二劣，log/=o, |ogaa = 1;logeX=lnx, b = logaN ab = N, alogaNanlogcbM=Nr logab =, logaMn = nlogaM ; loga(MN) = log0M +

11、logaN ; loga =logcaNlogaM - logaN.;.指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）利用中间量（0 或1）； G）化同指数（或同真数）后利用图象比较.指数函数y= a*与对数函数y=logx （a 0, a工1）名称指数函数丫=1（30且a/1）对数函数 y= Iogax (a 0, a H1)定义域(-8,+ O0)。+ 8）值域(0,+ 8)(.8,+ OO)过定点(0,1)(1, 0)图象指数函数y=ax与对数函数y=logax （a 0 , a/1）图象关于y=x对称x , . z f(al)尸a (0alX /J| y=logax(0

12、al)单调性己1,在（叫+ 8）为增函数0a1r在（-8,+ 8）为减函数田0,+为增函数0 a0时，曷函数的图象都通过原点，并且在。上是增函数(从左往右看，函 数图象逐渐上升).特别地，当a1时，xe(O,1), y=/的图象都在y = x图象的下方，形状向下凹，a越大, 下凹的程度越大.当。va1时，xe(0J)r y=x。的图象者MEy二x的图象上方，形状向上凸，a越小,上 凸的程度越大.(3)当a 0时，得函数的图象在区间(0, +8)上是减函数.,函数的零点.零点概念：对于函数y=f(x),把使f(x)二。成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点(2)函数零点的意义：函数y=f(x)的

13、零点就是方程f(x)=0实数|艮，亦即函数y二f(x)的图 象与x轴交点的横坐标。(3)判断函数F (x)的零点个数，一般将F (x) =0拆成f(x) = g(x),通过看两个函数y=f(x)和y=g(x)的图像交点个数判定二分法；对于在区间a,b上连续不断，目满足f他)，(x)颉立。a 2 /(址火憧，a W /(x)颉立o。/(刈显桢.a之/。)能O。之(切悬小也,a 4 /(幻能。& /(切最大做第四部分导数3 3 .导数的运算(1)常见函数的导数公式:。 = 0(。为常数)；(x7 = w-(ue0).(sinxy = cosx；口 =(/)，=-9(6)=口)(cosx)= sin

14、x;(a) = a1na;；(|唔“工)，二_Lk%e.(lnx) = 一2。一 一，xx(2)导数的四则运其；却叱(切=1/;(以=1，+/；(上)二廿字【理】(3)简单的复合函数(仅限于形如/Ur+b)的导致: 设函数y二人。)，3知,则函数y=HS 二 A式刈称为复合国数.其求导步骤是：yfx =其中表示何求导，g1表示g对*求导.，对求导后应把换成式M. 34、导数的几何意义：函数/(工)在点/处的导数的几何意义，就是曲线)，= /5)在点 (/(%)处的切线的斜率,即曲线y = /(x)在点(%/(%)处的切线的斜率是 /伉)，相应地切线的方程是)，一稣=/(.%)卜一飞).特别提醒

15、；解这类题首先要弄清楚已知点是否为切点，如果不是切点，应先设切点为 (,加)然后写出切线方程：y-必= /()(*/)再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点，则直线求此点的导数得出直线的斜率.35、导数与函趟勺单调性：(先求函数的定义域)求函数单调区间方法：解不等式则/(、)为增函数；若/(x)vO,则/3)为 减函数；根据函数单调区间求参数问题：若函数y=f(x)在区间(。出)上单调递增，则/(x)NO 恒成立；若函数y=f(x)在区间(4力)上单调递减，则(幻40恒成立 36、函数的极值：求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤： 求导数(。)；(ii)求方程，(x) = 0的 根凡；

16、(iii)检查，(x)在方程/(x) = 0的根%的左右的符号：左正右负=/(x)在 /处取极大值；左负右正“ 0/()在/处取极小值.特别提醒：不是极值点的充要 条件是与点两侧导数异号，而不仅是，卜)=0, /，(幻=0是毛为极值点的必要而不充 分条件。37、求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤： 求函数y二f(x)在(。力)内 的极值(极大值或极小值)；(2)将y=f(x)的各极值与f,f(b)匕破，其中最大的T为 最大值，最小的一个为最小值。1A38、定积分图形称为曲边梯形。这里，d与，分别叫做定积分的下限与上 限.区间句叫做积分区间，函数心)叫做被枳函数，x叫做 积分变量

17、，心)以叫做被积式.(2)定积分的性质：J的&=kJ：/心(左为常数)；嬴幽f /(X)土 g(x)小=f /(X)杰 士 I： g(x)心；D c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx (其中 acb)cJ ”一-(x)为偶函数时为奇函数时 JL/(x)4=0,/(X)在X轴下方时，定积分为负，/(“在后111上方时，定积分为正。(3)定积分的计算：如果f(x)是区间上力上的连续函数，并且尸(工)=/(%)，那么J8dx = F(b)-F(a)。这个结论叫做微枳分基本定理。称尸Q)MQ)的原函数，为了方便，记成/(xXv = F(x)|* = F(ft)-F(a)(4).定积分求

18、曲边梯形面积由三条直线x=落x=b (ab), “轴及一条曲线片，(力 围成的曲边梯的面积 s = J：|/(x)|4如果图形由曲线W二用力乂二伙孙 及直线二2x=b (a复时1周期性周期为T=2及周期为丁=2 奇偶性奇偶单调性在2k n - -5- 2k * +丁 上都是ifi函数 在、G2k-F 2k 上都是冰酒数.在xG2k- x 2k ） 上都是憎函数,在xU 2k，2k n m 上都是减画数对你中心(k 0)(k x 事。)对称轴KA=k - jx s k m45、正弦函数 = $足.双X&）、余弦函数），= cosx（KG R）的图像：正弦函数图像余弦函数图像 y46、y= /si

19、n（0 x + 0）的函数性质：（1）几个物理量：A-振幅;f二卜顷率（周期的倒数）；3X+（p-相位；qr初相；（2）研究函数丫二八$山（3乂+卬）性质的方法：类比于研究y=sinx的性质，只需将 y=Asin（u）x+cp）中的u）x+cp看成y=sinx中的工，整体代换到正弦函数相应性质中，但在 求丫二人而（必+牛）的单调区间时，要特别注意A和3的符号，通过诱导公式先将3化正.27T（3）函数尸Asin（3x+0）或向右（中0）平移|中|个单位得y=sin（x+（p）的图象; 函数y=sin（x+0） 或向下（k0）,得到y=Asin（3x+（p）+k的图象.11当个单3特别注意，若由y

20、nsinsx得至Uy=sin(3x+jn 2a = 2sin er costr22249.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思珞：(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两 角与其和差角的变换.如a = (a +4)” = (a“) + Q , a = (a-号)+等，(2)三角函数名互化(切割化弦),公式变形使用 tan a tan ) = tan(a/?)(l +tanatan/?)o三角函数次数的降升(降幕公式：8A+ 2,加2a与 一、U】U -22升昌公式：1 +cos2a = 2cos; a , 1 - cos2a = 2sin，a )。

21、(5)正余弦值互求时一定要注意角的范围决定开方结果的正负50、辅助角公式：asinx + 6cosx = Ja? + b2 sin(x + 0)常见变形：sin工Scosx = 2sin(.壮争；6sinxcosx = 2sin(x土力；sinxCOS.r = 72sin(x)51.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：/ + 8二,7-C,sin(/f + 8) = sinC,sin十 =22(2)正弦定理： = &f = 2& sind sin 2? sinC(3)余弦定理。2+c： -2加cos/,cos/ 二人 +工 一02bc面积公式：3=4耽=9加inC = m+c)(其中尸为三角

22、形内切圆半径). / 一 /.三角函数的值域的求法：y=asinx+b (或y=acosx+b)型，利用|sinx|Wl(或|cosx| W I),即可求解，此时必须注意字母a的符号对最值的影响.y:asinx+bcosx型，引入辅助角0,化为yN，+b2 sin (x+0)，利用函数sin(x + 0)|4 1即可求解.y=asin2 x+bsinx+c (s y=acos2 x+bcosx+c) f 型，可令 t=sinx (t=cosx) ,-1tw1,化归为闭区间上二次函数的最值问懑.Y=里n”，：(或 y= csx + ?)型，解出 sinx (或 cosx )，利用 csin x

23、+ 4cosx + sinx| 1(或|cosx| a,cosxa型不等式，应先回出正余弦函数在0,2司的图像，根据取值要求找 出对应角的范围，再力吐周期2Iot即可，如果角的区间不连续，则平移使之相连。tanxa问题要注意加周期kn 第六部分数列.与a”关系应用：另二向+力+斗；.已知S”求为,用作差法：4=出，%，。已知q%L 4=/()求为,用 作商法：a，嘱二。.检验当=1时，若色适合则的情况可 7并入22时的通项为；当=1时，若句不适合$则用分段函数的形式表示. (2)由为与，的关系求斗，通常用771代替n.两式作差将S,Z. 1用为替换，转化 为不与斗.1的关系，然后求解.(3)由

24、当与，的关系求通常利用%= Z- Z-i(*2)将已知关系式转化为多与S.1 的关系式，然后求解.等差数列的有关概念：(1)等差数列的判断方法：定义法一勺=4(4为常数)或可+|-。” = 0,-%(22).(2)等差数列的通项：q =q+(-l)d或4 =4+(-7)1.(3)等差数列的前力项和：S“=的爰)，=(4)等差中项：若a,4b成等差数列，则A叫做a与6的等差中项，且/二 等。56等差数列的性质：(1)当m+n=p+q时,则有为= %+% ,特别地，当m+n=2P时，则有 4+4=2% 若/成等差数列厕S.,S2n-Sn.Sin-S2也成等差数列.等比数列的有关概念：(1)等比数列

25、的通项：q =4尸或(2)等比数列的前和：当q=1时，S,=77q;当g1时，. 1 0时，d与a同向当0,且a, 6不同向，工0是。为锐角的必要非充分条件；当 。为钝角时，10,且a, b不反向，3J0是夕为钝角的必要三班分条件；特殊地：&a- |a|2或二行; 夹角：cos h二 10Ml.向量的坐标运算16若在平面直角坐标系下，3=（用，）, b-x2, /2）（1）加法：6+6=（必+&，%+（2）减法：”6=（必-出 必 丹）（3）数乘：a=（ M， 必）（4）数量积：分6二用也+及总若3=依 月，则I止了 ab 一 不工节乃mMi /&+），;（7）若4m,必），氏不，旌），则I力

26、8 h J（狗一+（弘一必）2（8）d在b方向上的正射影的数量为| | cos =等=号+ ”1*1J 为+%64.重要定理（1）平行向量基本定理：若a: b,则小心 反之：若副仇且次0,则存在唯一的实数使得a二b（2）平面向量基本定理：如果和切是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量劣存在唯一的一浙数小，诙使a二为6+力会（3）向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，3=（为，%）, b=g 则：all box 及一01=0, a_Lb=M 应+y 乂 = 0若3=（用,%），b=（x2t间,则。=6。广 ”265、MAC中中向量一些常用的结论：&+办+6b = 6oG为A

27、J8。的重心；17万历=历历=历而，0为A4Z?。的垂心；向量2(9 + b0,则/)”或指指；(4)若ab 0 , ab ,则,b t 则a ba b67,均值不等式定埋：若。0, b0,则。+ bN2而，即生士之乂石.2.常用的重要不等式：O)a2 + b22ab； 码阴；.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是 关键.“注意解完之后要写上：”综上，原不等式的解集是，注意：按参数讨论，最后 应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集.集合的形式表示结果 第九部分直线和圆70、亘线的倾斜角的概念：当百线I与x轴相交时，取x轴作为基造x轴正向与

28、直线I向上方向N司所成的角a叫做直线I的倾斜角椅别地,当直线I与x轴平行或重合时 规定a=0.倾斜角邳值范围；0 4a 180。.71、亘线的斜率：(1)定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率3即2 =tana(ax90。)；倾斜角为90,的亘线没有斜率；当咱0。, 90。)时, 磁大，/的斜率越大；当会(90。，180)时，遢大，/的斜率越大.(2)斜率公式：经过两点不,乂)、4(占,必)的直线的斜率为左 72、直线的方程：(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线，过定点(%,%)的直线要设成x=x和y - 乂 = %(x );(2)

29、直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两鼓距相等=直线的斜率为-1或亘线过原点；直线两截距互为相反数o直线的斜率为1或百线过原点；宜线两截距绝对18 值相等=直线的斜率为1或直线过原点.73、点到直线的距离及两平行直线间的距离:(1)点p(%,y)到直线4v+纱+U=0的距高(2)两切亍线l.Ax + By+C； = 0,+为，+ C2 = 0间的距离为d =卜一.-yJA2+B274、陵 4 : Atx + G = 0 与睽 l2:A2x + B2y + C2=0 的彳23 系：(1)平行=44-4A=0 (斜率相等)且BgB2c尸。(在y轴上截距不 等)；(2 )直线力用+ Byy

30、 + G = 0与直线Z& + B2y + G = 0垂直 4 4 + 4 区= 75、对称问题：(1)中心对称点勿关于欠之伪的对称点(匕P)满足乂=2a-x,y=2by 直线关于点的对称可能转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点力6)关于直线&+约/+ C= 0(8/0)的对称点n).直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.76、简单的线性规划：(1)二元一次不等式表示的平面区域：用特殊点判断；无等号时用虚线表示不包 含直线/,有等号时用实线表示包含直线，；(2)求解线性规划问题的步骤是什么？根据实际问题的约束条

31、件列出不等式； 作出可行域，写出目标函数；确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.在求解线性规划问题时要注意：将目标函数改成斜截式方程；寻找最优解 时注意作图规范；注意直线的斜率正负对最值取点的影响。(4)线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的 线性规划问题，我4问以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的19 数值，从而确定目标函数的最值。77、圆的方程：圆的标准方程：5-）2+3-32=尸2。（2）圆的一般方程:x2+/+ Dx+ + F = 0（D2+E2-4F0）,圆的参数方程：；或;靠2（6为参数），其中圆心为（。力），半径为心78、直线与

32、圆的位置关系：直线:4r + + C = 0和圆C：（x-ay+（j，-by=八 （0）有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：A0o相交；A乙+ G时，两圆外离;（2）当I。？ 1=4 +6 时，两圆外切；（3）当44|0。2|弓+与时，两国相交；（4）当|OQ2 H4-4I时, 两圆内切；（5）当OM|O02ll4-Gl时，两圆内含。80、圆的切线与弦长：切线：过圆炉+/=解上一点pao）圆的切线方程是：xx+j” = A1过圆 （x-a）2 +（y-b）: =R2上一点 P （右丫0）圆的切线方程是：（戈-0）（/ -

33、a） + （y-a）（yv-a）= R2, 一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心斜直线的距离等于半径）；从圆外一点弓I圆 的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到 直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即切点弦”）方程的求法：先求出以 已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程； 切线长：圆的切线的长为“%-。）2+（”一切2一米；（2）弦长词题：圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半!。及圆的半径尸所构成 2的直角三角形来解：，=/+（）02；过两圆G：/a，y）=。、G：gS/） =。交点的 网（公共弦）系为/（丁

34、,少）+衣（招7）= 0 ,当4 = -1时,方程/（x，F）+ 2g（x,y） = 0为两圆 公共弦所在直线方程.第十部分圆锥曲线81 ,圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F2的距离的和等20 于常数2%且此常数2一定要大于因用，当常数等于阳周时，轨迹是线段FE， 当常数小于历周时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 2的距离的差的绝对值等于常 数2a,且此常数2一定要小于RFJ定义中的“绝对值”与2。60),焦点在y轴上时4+ =1.伯60),(2)双曲线：焦点在x轴上：.=1,焦点在y轴上：:=1。tra tr(3)抛物线：开口向右时/ = 2p”，开口向

35、左时/=-2px(p0).开口向上时 x2 = 2py(p 0),开口向下时x2 = -2咏p 0) .圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：(1)椭圆：由X = J，2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。(2)双曲线：由*2, ),2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.特别提醒：(1)在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F F2的位置, 是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参 数4b,确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛

36、物线 问懑时，首先要判断开口方向；(2)在椭圆中，最大，a2=b2c2,在双曲线中，c 最大,c2=a2+b2.圆锥曲线的几何性质：*2 y2(1)椭圆(以1y + =1 (ab0)为例)：范围：一a一力Wy力；离心率：e=-,椭圆=0e0,60)为例)：范围：或xN./gA; a2 b当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为.-一歹二匕/0；离心 率：c = ,双曲线QC1,等5由双曲线=e = 0, e越小，开口越小，c越大，开 a21口越大；两条渐近线：y = -x. a 抛物线（以=为例）：准线：x = -g;离心率：抛物线o = l85、点P（x。,光）和椭圆0 + 4

37、= 1 （。60）的关系：（1）点P*。,%）在椭圆外 a b= +；（2）点PQq,儿）在椭圆上=上+等=1； （3）点Pa。）在椭圆 a ab内O耳+*vl4r b86.直线与圆推曲线的位置关系:相交：（）=直线与椭圆相交；（）=直线与双曲线相交，但直线与双曲线 相交不一定有A。，当亘线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交 点，故A0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；A 0 =直线与抛物 线相交，但直线与抛物线相交不一定有A0,当直线与抛物线的对称轴平行时，亘线与 抛物线相交且只有一个交点，故A0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要 条件.87、焦点三角

38、形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问遨：常利用定义 和正弦、余弦定理求解。在椭圆0+占=1中，S = b2tan = cy.l对于双曲线 5 = 1 的焦点三角形有：*V = -rlr,sin/? = /）2cot.a b2288、弦长公式：若直线产kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的 横坐标，则|力川二出*卜-引，若乂,必分别为A、B的纵坐标，则二89.解析几何常用结论（1）双曲线=一匚=1的渐近线方程为一匚=o；/ h2a1 h2（2）以尸土2为渐近线（即与双曲线二_亡二1共渐近线）的双曲线方程为二aa2 b2济后 椭凤 双曲线的通径（过焦点且垂直于对称5由的

39、弦）为2b1a,抛物线的通径为2p ,(4)若抛物线/二2a的焦点弦为AB, 4.乂),5(公,y2)，则|43|=玉+七+；c P22玉/=丁，乂)2=一夕一490.求轨迹的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，只需把这种 关系转化为x、y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法:其动点的轨迹符合某一圆锥曲线的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得 至励点的轨迹方程.代入(相关点)法：动点尸(x,y)依赖于另一动点。(与,衣)的变化而变化，并且 。(Jo)又在某已知曲线上，贝问先用.t,y的代数式表示/,比,再将n/o代入已知 曲线得要求

40、的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时, 可考虑将均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程特别提醒：求点的轨迹与轨迹方程是不同的需求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然 后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.第十一部分立体几何91、空间几何体的结构特征直棱柱：指的是侧棱垂直于底面的棱柱,当底面是正多边形时,这样的直棱柱叫正 棱柱；(2)正棱推：指的是底面是逅边形，且顶点在底面的射影是底面的空心的棱推.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体;(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱比92、旋转体的面积和体积公式：(1) S 圆柱

41、例二2匹1，S 团雎则二匹, S a=n(rij-r2)l Sa=4nR2 , V tt=sh, V =1/3shfV 即 4/3nR3(2)球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r=jR2-d2。.直线和平面的平行关系23线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行.线面平行的性质定理:如果一平面平行,经过这条直线的平解哒个平面相交, 那么这条直扬皎线平行。.平面和平面的平行关系两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于个平1:1两个平面平行,两个平面平

42、行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行,.直窗口平面的垂直关系直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这条亘线垂直于这个平面。直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直定义应用：如果一条直线/和一个平面a垂直，则/和平面a内的任意一条直线都垂直，.平面和平面的垂直关系两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的

43、交线的 亘线垂直于另一？平面.2497、两直线考描判定：（1）公理4:平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同 一个平面，那么这两条直线平行.（5）平面图形中常用中位线及吊亍四边形的判定（一组对边平行目相等）98、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直，尤其是两直线无交点时；（2）平面图形中常用等腰三角形三线合一性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边一半的逆定理9

44、9、空间中的角（1）、异面直线所成角。的求法：（1）范围：。（0。,90。; （2）求法：计算异面直线 所成角的关健是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整 的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系） 转化为相交两直线的夹角。（2）直线和平面所成的角：（1）范：0 ,90 ; （2）求法：作出直线在平面上的射影;（4）9与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角【理】（3二面角：（1）平面角的三要素：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平 面内；角的两边与棱都垂直.（2）二面角的范围：0,何；（4）二面角的求法：转化 为求平

45、面角；法向量法。100、空间距禹的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循T乍， 二证，三计算”的原则）（1）异面直线的距离：直接找公垂线段而求之；转化为求染到平面的距离，即过 其中一条直线作平面和另一条直线平行。转化为求平面到平面的距离，即过两直线分 别作相互平行的两个平面.（2）点到直线的距离：一般作出垂线再求解.（3）点到平面的距离：S面法：借助于面面垂直的码来作垂线，其中过已知点确定 已知面的垂面是关键；制法：转化为求三棱锥的高；等价转移法。（4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一黯IJ平面的距离都 相等，转化为求点到平面的距离.（5）两平行平面之间

46、的距离：转化为求点到平面的距胤（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点 A、B间的距离的步骤：计算线段AB的长；计算球心角/AOB的弧度数；用弧长 公式计算劣弧AB的长。25.立体几何常用结论(1)棱长为的正四面体的高：/一巫；内切球半径：直外接球半径：旦a3124(2)在三棱推中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)=顶点在底上射影为底面外 心；侧棱两两垂克网对对棱垂SO u顶点在底上射影为底面垂心；顶点到底面三角 形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内。顶 点在底上射影为底面内心.提醒：若顶点在底面上的射影在底面三角形

47、外，则顶点在底 上射影为底面的旁心.第十二部分空间向量与立体几何.空间向量及其运算设4 =(七,必,4)，6 =(,必,马)， 则(1) 曲=%刍+乂% +平2(2)若a、b为非零向量，则4，方-。,8 = 00丙+%)，2 + 2仔2=0.(3)若6工0,贝！J。/ =。= %方=玉=2工2,7=4z2 .(4)时=.(5)正哈丁*_ HIAI 春+yz；小；+云 +z；(6) A(不如马)，B = (x2,y23z2),则小网=JU+也-乂1+yf广(7)共面向量定理：p,a,6共面。p = xa + yb(x,yeR);UUUUllDuutlP、A、B、C 四点共面AP = xAH +

48、yACuunuuruimuiusoOP = xOA + yOB + zOC(其中x+y + z = 1)103、平行问题：(a,b是直线a,b的方向向量，是平面a的法向量)线线平行:a/fboa/lb线面平行：a/fa=nln或方，buaT T面面平行：a 夕=|巧26104、垂直问题:线线垂直：alhalboa-b = 0 f线面垂直：a la a/n面面垂直：a 1 fl ln2105、夹角问剧(1)两条异面直线所成的角设异面直线劣6的方向向量为漆b,直线己与6的夹角为。a与6的夹角为小 则有85头|8$弓/(注意异面直线夹角范围(0,-2(2)直线与平面所成的角设直线/的方向向量为4平面

49、的法向量为s直线与平面所成的角为仇a与的夹角为则有sin8=|cos财(注意线面角范围。n) 2(3)二面角求法：设小，也分别是二面眉a/佛勺两个面为夕的法向量，则U LB1| cos。H cos |(一般步骤求平面的法向量；计算法向量夹角；回答二面角(空间想象二面角 为锐角还是钝角确定余弦值的正负)(4)点到平面的距离：已知46为平面曲勺一条斜线段，为平面曲法向量，则d到平面的距离为|8Q=1H27第十三部分复数.复数概念：(1)复数的分类实数(6=0)豆数与(a, bGR)虚数虚W0)纯虚数(8=0)非纯虚数(衣0)a+bi=c+di = a=c且c=d(a,bcdR);z=a+bi的共况

50、复数是N=abi.复数的代数形式及其运算：设z产a + bi, Z2 = c + di (abcdfR),则:Zi z2= (a + b) (c + d)i; (2) zi.z2= (a+bi)-(c+di)= (ac-bd) + (ad+bc)i;(3)ze = S + ?(c-?=竽丝+砌； (c + di)(c_ di)cH c2 +d2(4)复数z = a +机的模(或绝对值)+ M二G寿.几个重要的结论：(I土二2 (2) l1i = j；? = T； (3)T=4;I-/1+7 =4，川=j,/2 = _力4，3 = t ;尸” +42 +/”“ = 0;第十四部分概率与统计109

51、算法初步的常见题型及解邈策珞(1)已知程序框图，求输出的结果.可按程序框图的流程依施I行，最后得出结果.可 以在条件判断框的入口处列表判定此时各变量的取值情况(2)完善框图添加条件问题。结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的 条件或累加、累乘的变量的表达式.注意临界点的变量值的分析28110.随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号），分层抽样的关键是“按比例”:总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率 相等。系统抽样要注重等距性的理解111、“读慵”样本频率分布百方图：有方图的高=频率/组距，直方图中小矩形框的面积是频率；频率X样本个数二频数

52、。由频率分布直方图计算中位数时要根据中位数两侧频率 各为0.5计算横坐标值。由频率分布直方图计算平均数时可以用每个小组的中位数乘上 本组频率的累加和得出112、线性回归方程线性回归方程：；，= bx + a （最小二乘法）其中, 注意：线性回归直线经过定点（x,y）.113.相关系数（判定两个变量线性相关性）:一；y（兄一1）2 I注：（1）井0时，变量正相关；r 2.70690%的把握制定支1U. 4有关联X2 3,84195%的把握制定变就4、0有关联6.63599M的把握内定安工4、8有关联统计量X2的计算公式x2二ad- be)(s+b) (c+ cf) (a+ c) (6+ d)29115、互斥事件：(A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生，ACB为不可能事件)。计算 公式：=+116、对立事件：(A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发 生，_ADB为不可能事件，AUB为必然事件).计算公式是：P (A) +P(B)= 1; J)=1 - W)；117、独立事件：(事件A、B的发生相互独立,互不影响)P(AB) = P(A) P(B).“8、 古典慨型的使用条件：试览结果的有限性和所有结果的等可能性.