期权定价模型

1、采用期权定价模型对期权进行动态分析Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型的假设条件Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：.期权标的资产为一风险资产（Black-Sholes期权定价模型中为股票），当 前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即dS n =/Liat + odz其中，dS为股票价格瞬时变化值，力为极短瞬间的时间变化值，dz为均值 为零，方差为力的无穷小的随机变化值（dz = ej加，称为标准布朗运动，代 表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1. 0的正态分布）中取的一个随机值）, 4为股票价格在单位时间内的期望收益率（以

2、连续复利表示），。那么是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。/和。都是的。简洁地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来 源于两个方面：一是单位时间内的一个收益率变化，被称为漂移率，可以 被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即。龙，可以看作随机波动使得 股票价格变动偏离总体趋势的局部。.在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2,意味着标的 资产价格的变动是连续而匀称的，不存在突然的跳动。.没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外 部因素。综合2和3,意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影 响因素。.该标的资

3、产可以被自由地买卖，即允许卖空，且全部证券都是完全可分 的。.在期权有效期内，无风险利率一为常数，投资者可以此利率无限制地进行 借贷。.期权为欧式看涨期权，其执行价格为X,当前时刻为八到期时刻为7。.不存在无风险套利机会。Black-Scholes期权定价模型（一）Black-Scholes期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产 欧式看涨期权的一个微分方程：df c df 12 02 d2f “八、- + rS + -crS =行（1）dt dS 2 as2其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。通过解这个微分方程，Black和Scholes

4、得到了如下适用于无收益资产欧式 看涨期权的定价公式：留意：由于=工，使得很多结点是重合的，从而大大简化了树图。（三）倒推定价法得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采纳倒推定价法，从 树型结构图的末端T时刻开头往回倒推，为期权定价。由于在到期7时刻的预期 期权价值是的，例如看涨期权价值为max（Sr-X,O）,看跌期权价值为maxCX-Sr，。），因此在风险中性条件下在求解T-A,时刻的每一结点上的期权 价值时，都可通过将丁时刻的期权价值的预期值在加时间长度内以无风险利率r 贴现求出。同理，要求解7-2，时的每一结点的期权价值时，也可以将7-4时 的期权价值预期值在时间加内以无风险利

5、率r贴现求出。依此类推。采纳这种 倒推法，最终可以求出零时刻（当前时刻）的期权价值。以上是欧式期权的状况，假如是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上, 比拟在本时刻提前执行期权和连续再持有加时间，到下一个时刻再执行期权， 选择其中较大者作为本结点的期权价值。例 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价为50元，波动率为每年 40%,无风险连续复利年利率为10%,该股票5个月期的美式看跌期权合同价格 为50元，求该期权的价值。为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0. 0833 年）。依据式（8）到（10）,可以算出：u = e0 瓜=1.1224d =瓜=0.8909e也

6、-d p = 0.5076u d-p = 0.4924据此我们可以画出该股票在期权有效期内的树型图，如图3所示。在每个结 点处有两个值，上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值。股价上涨概率 总是等于0.5076,下降概率总是等于0.4924。在时刻，股票在第/个结点（/,i）的价格等于例如,F结点（，=4,/ = 1）的股价等于50 x1.1224 x 0.89093 = 39.69元。在最终那些结点处，期权价值等于max（X-,0）。例如，G结点（i = 5J = l）的期权价格等于 50-35. 36=14. 64o56. 1256. 1289. 07070. 70662. 99 D0

7、. 6356. 12056. 12 c3. 7644. 552. 6644. 556. 9539. 696- 3739. 69尸 5. 4510. 3535.3610. 3135. 36G 14.6431. 5-1264图3不付红利股票美式看跌期权二叉树从最终一列结点处的期权价值可以计算出倒数其次列结点的期权价值。首 先，我们假定在这些结点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是加时间内期权价值期望值的现值。例如，E结点(Z = 4,j = 2)处的期权价值等于:(0.5076 x 0 + 0.4924 x 5.45)0-1x00833 = 2.66元而F结点处的期权价值等于：(0.50

8、76 x 5.45 + 0.4924 x 14.64)e-0-1x00833 = 9.90元然后，我们要检查提前执行期权是否较有利。在E结点，提前执行将使期权 价值为0,由于股票市价和合同价格都等于50,明显不应提前执行。因此E结点 的期权价值应为2. 66元。而在F结点，假如提前执行，期权价值等于50. 00- 39.69元，等于10.31元，大于上述的9. 90元。因此，假设股价到达F结点，就 应提前执行期权，从而F结点上的期权价值应为10.31元，而不是9. 90元。用相同的方法我们可以算出各结点处的期权价值，并最终倒推算出初始结点 处的期权价值为4. 48元。假如我们把期权有效期分成更

9、多小时段，结点数会更多，计算会更简单，但 得出的期权价值会更精确。当加特别小时，期权价值将等于4. 29元。(四)二叉树方法的一般定价过程下面我们给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法，仍旧举无收益证券的 美式看跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N个长度为加的小区间，令4(0z N,0j 0表示在时间iAr时第j个结点处的美式看跌期权的价值，我们将/,称为结点&j)的期权价值。同时用Sujdl-j表示结点亿；)处的证券价格。由于美式看跌期权在到期时的价值是max(X-S7,o),所以有：九/=max(X 其中 j = 0,l,N当时间从曲变为4 + 1)4时,从结点(i,j)移动到结点(i

10、+ l,/ + l)的概率为P，移动到(i + l,j)的概率为1-。假定期权不被提前执行，那么在风险中性条件下：4=,川+S+(1 其中0i1 = 5.92 美元p = 50 x(l0.8749)ei2xi50 x(10.8944)= 0.27 美元在本例中，标的资产执行价格和市场价格正好相等，但是看涨期权的价格却 与看跌期权的价格相差悬殊。其中的缘由在于利率和到期期限对期权价格的影 响。在本例中，利率高达12%,到期期限长达一年。在这种状况下，执行价格的 现值将大大降低。对于欧式看涨期权来说，这意味着内在价值的大幅提升；而对 欧式看跌期权来说，却意味着内在价值的大幅降低。因此，在计算了执行

11、价格的 现值以后，看涨期权是实值期权而看跌期权那么是一个虚值期权。事实上，由于实 际中的市场短期利率通常较低，期权到期期限一般不超过9个月，因此假如标的 资产市场价格与执行价格相等，同样条件下的看涨期权价格和看跌期权价格一般 比拟接近。二叉树模型Black-Scholes模型的提出，对期权定价的讨论而言，是一个开创性的讨论。 然而，由于该模型涉及到比拟简单的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。 1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人发表期权定价：一种被简化 的方法一文，用一种比拟浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二 叉树模型(the Binom

12、ial Model或“二叉树模型”，是期权数值定价方法的一 种。二叉树模型的优点在于其比拟简洁直观，不需要太多的数学学问就可以加以 应用。同时，它不仅可以为欧式期权定价，而且可以为美式期权定价；不仅可以 为无收益资产定价，而且可以为有收益资产定价，应用相当广泛，目前已经成为 金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的基本方法我们从简洁的无收益资产期权的定价开头讨论二叉树模型，之后再逐步加以扩展。二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔加，并假设在每一 个时间间隔加内证券价格只有两种运动的可能：从开头的S提升到原先的倍， 即到达孔；下降到原先的d倍，即Sd。其中，del,如图1所示。

13、价格提升的概率假设为 下降的概率假设为1-9。SuSd图1加时间内资产价格的变动相应地，期权价值也会有所不同，分别为和力。留意，在较大的时间间隔内，这种二值运动的假设当然不符合实际，但是当 时间间隔特别小的时候，比方在每个瞬间，资产价格只有这两个运动方向的假设 是可以接受的。因此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模 拟连续的资产价格运动。（一）单步二叉树模型运用单步二叉树为期权定价，可以有两种方法：无套利方法和风险中性定价 方法。.无套利定价法由于期权和标的资产的风险源是相同的，在如图1的单步二叉树中，我们可 以构造一个证券组合，包括A股资产多头和一个看涨期权空头。假如我们取适

14、当 的值，使Su-fu=Sd-fd那么无论资产价格是提升还是下跌，这个组合的价值都是相等的。也就是说，当二时，无论股票价格提升还是下跌，该组合的价值都相等。明显， Su-Sd该组合为无风险组合，因此我们可以用无风险利率对SuA -九或SdA - fd贴现来求该组合的现值。在无套利机会的假设下，该组合的收益现值应等于构造该组合 的本钱，即sa_/=(s 必 n将A=AsZl代入上式就可得到:Su-Sd.风险中性定价法我们可以在二叉树模型中应用风险中性定价原理，确定参数P、和d,从 而为期权定价。这是二叉树定价的一般方法。在风险中性世界里：(1)全部可交易证券的期望收益都是无风险利率；(2)将来现

15、金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下，标的证券的预期收益率应等于无风险利率人因此假设 期初的证券价格为S ,那么在很短的时间间隔4末的证券价格期望值应为Se心。因此，参数和d的值必需满意这个要求，即：Se = pSu + Q p)Sd(4)V = pu + (- p)d(5)二叉树模型也假设证券价格遵循几何布朗运动，那么在一个小时间段加内证 券价格变化的方差是522小7-。42(1)-1。依据方差的定义，变量。的方差等于 (。2)-(0)了，因此：s2e2T-t)eaT-t)= pS2u2 + q _ p)S2d2 _+ (1 p)df 1 = Pu2 +(1-p)d2-pu

16、 + (l-p)d (6)式(4)和(5)给出了计算p、m和d的两个条件。第三个条件的设定那么可以 有所不同，Cox、Ross和Rubinstein所用的条件是：u =-d从以上三个条件求得，当加很小时：(8)/一du - cld = e-。E(10)从而川,+(lp)%(11)比拟以上两种方法，我们可以看到，无套利定价法和风险中性定价法实际上 具有内在全都性。在无套利定价过程中，我们并没有考虑资产价格提升和下降的 实际概率，由于资产预期收益率等于不同状况下收益率以概率为权重的加权平均 值，在无套利定价法下无需考虑概率就意味着资产预期收益具有无关性，这正好 符合风险中性的概念。其次，假如将式(8)代入(4),最终的期权公式(4)和(11)实际上是完全相同的。那么要如何理解公式(11)中的概率，呢？这里的 概率实际上是风险中性世界中的概率而非实际的概率，因此资产的预期收益率仍 旧对期权定价是无关的。一般来说，在运用二叉树方法时，风险中性定价是常用的方法，