2.5.4三角形的内切圆

1、2.5.4 三角形的内切圆湘教版 九年级下册1.确定圆的条件是什么？(1)圆心与半径;3.角平线的性质定理与判定定理是什么？性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。(2)不在同一直线上的三点.知识回顾2.如何作一个角的平分线？ oBAOEBADPC1.理解三角形内切圆的定义；2.会求三角形内切圆的半径；3.能用尺规作三角形的内切圆.学习目标 想在一张三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？议一议议一议议一议议一议议一议议一议ABCABC 如图，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近.猜测:这个圆应当

2、与三角形的三条边都相切.ABC动脑筋 与三角形的三条边都相切的圆存在吗？若存在，如何画出这样的圆？ 1.如图1，如果O与ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心O在ABC的平分线上;2.如图2，如果O与ABC的内角ABC的两边相切，且与内角ACB的两边也相切，那么O的圆心在什么位置？圆心O在ABC与ACB两个角的角平分线的交点上。 O图2AB COMABCN图1探究3.如何确定一个与三角形的三边都相切的圆的圆心 的位置与半径的长度？4.你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？ 先作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这个点就是符合条件的圆心，再过圆心作一边的垂线，垂线段的

3、长是符合条件的半径。 只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。 ECABFDM OMND作法：1.作B、C的平分线BM和CN，交点为O。2.过点O作ODBC，垂足为D。 3.以O为圆心，OD为半径作O. O就是所求的圆。 定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形.ABC如图，已知ABC.求作：与ABC的各边都相切的圆.做一做三角形的内心是三角形角平分线的交点；三角形的内心到三边的距离都等于内切圆的半径；三角形的内心一定在三角形的内部三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。结论作三角形内切圆的步骤：(1)作角平分线的交

4、点,定圆心；(2)过圆心作一边的垂线段,定半径；(3)画圆。三角形内心的性质：BDEFOCA图形圆心的确定圆心名称性质三角形三边垂直平分线的交点.1.外心到三角形三个顶点的距离都等于外接圆的半径；2.外心不一定在三角形的内部三角形三个内角平分线的交点.1.内心到三角形三边的距离都等于内切圆的半径；2.内心与三角形三个顶点的连线平分三角形的三个内角；3.内心一定在三角形内部三角形的外接圆与内切圆的区别外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心 判断题下列说法是否正确：1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等; ( )2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 ; ( )3. 等边三角形的

5、内心和外心重合; ( )4. 三角形的内心一定在三角形的内部; ( )5. 三角形的外心一定在三角形的外部；( ) 随堂练习 例1 如图，O是ABC的内切圆， （1）若ABC=50, ACB=70,求BOC的度数（2）若A=80 ，则BOC= 度。（3）若BOC=100 ，则A= 度。解（1）O是ABC的内切圆， OBC= OBA= ABC= 25 同理 OCB= OCA= ACB=35 BOC=180 - (OBC OCB) = 180 -60 =120 13020举例ABCO1.如图，ABC的内切圆的三个切点分别为D,E,F， A=740，B=470,求圆心角的度数.BDEFOCA练习例2

6、 如图，ABC中,C =90 ,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求O的半径r.OEBDCAF解：RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF，则OD=OE=OF, ODAB，OEBC，OFAC.则BD=BE，AD=AF，CF=CE.四边形CEOF为正方形.CE=CF=r,在RtABC中，由勾股定理得：BC2+AC2=AB2,又C=900，即(12+r)2+(8+r)2=202,解得:r=4.（4）试探索： A与BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。理由： O是ABC的内切圆， OBC= ABC， OCB= ACB OBC O

7、CB = （ABC+ ACB） = (180 -A )= 90 - A在OBC中， BOC =180 -（ OBC OCB ） = 180 -（ 90 - A ） = 90 + A.解： BOC =90 + AABCO2.已知等边三角形ABC的边长为a，求它的内切圆 圆半径.ABCDEF练习例3.已知ABC的内切圆O的半径为r, ABC的 周长为l，ABC的面积S.因此，ABC的面积S、周长l、内切圆半径r的关系： BDEFOCA解：设ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则 OD = OE = O F= r, ODAB，OEBC，OFAC.SABCSA

8、OBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF r(AB+BC+AC) ABr BCr ACr lr例4 如图，已知O是RtABC的内切圆,半径为r， C是直角,三边长分别是a,b,c.ABCODEFRt的三边长与其内切圆半径之间的关系：解：设RtABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF，则OD=OE=OF, ODAB，OEBC，OFAC.则BD=BE，AD=AF，CF=CE.四边形CEOF为正方形.CE=CF=r,3.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，ACBC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？ACB古镇区镇商业区镇工业区.MEDF练习4030ACB古镇区镇商业区镇工业区.MEDF解： 雕塑中心M到道路三边的距离相等 点M是ABC的内心， 设M的半径为r米，M分别切 AC、BC、AB于点D、E、F， 则MDAC， MEBC， MFAB， 则MD= ME= MF=r， 在Rt ABC 中，AC=40，BC=30， AB=50答：镇标雕塑中心离道路三边的