概率论与数理统计习题课

1、概率论与数理统计习题课中国矿业高校徐海学院彭红军L12个乒乓球中有9个新球，3个旧球。第一次竞赛，取出3个球，用完以后放回去，其次次竞赛又从中取出3个球。（1）求其次次取出的3个球中有2个新球的概率；（2）假设其次次取出的3个球中有2个新球，求第一次取到的3个球中恰有一个新球 的概率。解：（1）用全概率公式，设A。表示第一次取出三个球中有。个新球，Ai表示第一次 取出三个球中有1个新球，A2表示第一次取出三个球中有2个新球，A3表示第一次取 出三个球中有3个新球，B表示其次次取出的3个球中有2个新球。 TOC o 1-5 h z 301203p（4）= /，尸（A）= ”p（4）=三）=/。1

2、2。12。12。12p（B4）= N，p（ba）= 3，p（ = 3，p（5A3）= N I%孰2C|2=0. 455那么 p（b）= p（4）p（a）+ p（4a ）+ p（.）H耳4）+ p（a）p（b|a）（2）用BAYS公式:p（A|8）=尸胭a）=o. 14P（B）2.在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立的等公共汽车。设每个人等车时间 x（单位：分钟）均听从0, 5上的匀称分布。求三人中至少有两人等车时间不超过 两分钟的概率。解：设y表示甲、乙、丙三人中等车时间不超过2分钟的人数，那么y3（3,0其中p表示每个人等车时间不超过2分钟的概率，那么p = PX 2 = C1x 0.42

3、x0.6 + C； x0.43 = 0.3523.设随机变量X的密度函数为：/(%) =ax,ex + b,0,0 x22Vx4 , 其他3E(X) = 2, P1X3=-,试求：(1) 的值；(2) P(2X3)； TOC o 1-5 h z r+8,2,4解：(1)I f(x)dx = axdx+ I (ex + b)dx = 2a + 6c + 2b = lJ xf(x)dx = ax2dx + J xf(x)dx = ax2dx + J-ooJoJ 2(cx + b)xdx = -a + c + 6b = 233Plv X3 = f/(x)dx = faxdx + (ex + b)dx

4、 = a + c + b = 解得：(2) P2X3 = f(x)dx = 25(-ix + l)/x = |4.设(x,y)的概率密度为f (x,y) =f (x,y) =be-(x+y)00 xl,0joo other求：(1) b的值;(2)PXY ；(3)边缘概率密度九(%),(y)；(4)问x与y是否相互独立?l + e-2- 2e-l2(t)解：(1) +f(xyy)dxdy = b exdxV eydy = 1 ,解得：b = J00 J00Jo Jo(2) P(X y) = dx e-x-ydy =_ p+oo _ /x(x)=r/(“M= FJ0otherc ,、 r+8fb

5、( ex-ydx = b(l- e-1 )e-y90 j +00/y(x) = J/(占 y)dx = j J。0 other.(4)由于/(与y)=/x(X)/y(y)。所以X, Y独立.设圆的直径听从（0, 1）上的匀称分布，求圆的面积的概率密度函数。7丫2解：设圆的直径为X,圆的面积为S,那么S二二直径的概率密度函数为九（幻=直径的概率密度函数为九（幻=1,0%10, other（2分）7r Y 2面积S的分布函数%(s) = P(S s) = P(2-7r Y 2面积S的分布函数%(s) = P(S s) = P(2-5)=尸-2位“2/=P 0X2/=P 0Xo）0 x 0 xo）,

6、假如从总体4中抽取得样本观测值为假如从总体4中抽取得样本观测值为121381411139122219求参数e的最大似然估量值。解：设似然函数为： 101八 -疙/L=(H0eGXi)=* /=， xf 0(1 = 1,20 ,且lnL=10Ee eE巧 1=1（3分）令粤 = 0,那么解得的极大似然估量为：6 = /-，d0白；=1（4分）从而得到e的极大似然估量量为屋詈4=。.。752从而得到e的极大似然估量量为屋詈4=。.。752（3分）.假设有一商店销售某种商品，每周进货量X和客户的需求量y是相互独立的 随机变量，而且都听从10,20上的匀称分布，商店每售一件商品获利1000元，假如 需

7、求量超过进货量，该商品须从其它商店调剂供应，这时每件商品可获利500元， 问：该商店销售此种商品每周内的平均利润。由题意可得：c 10 x20 c 10 j20Jx = 110Jy = 1 100 other0 other设z为商店每周获得的利润，那么：ioooyyxZ = X由于x,y相互独立，故:/(%) = j 1000,10 x 20,10 j20other所以:f 20 f x1f 20 ey142500 ， 一、E(Z) = J。dxJ jOOOy xJy + JJyJ500(x + j)xdx = (兀)io io 100|。 i。1003.正常人的脉搏平均72次/min,现某医

8、生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉 搏(单位：次/min)为：54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69问四乙基铅中毒者和正常人的脉搏有无显著性差异(假设四乙基铅中毒者的脉搏听 从正态分布，a = 0.05,%(9) = 2.2622) ?I解：作o： = 72，M：w72由于人未知，采纳统计量na 0.05, n = 10,查表知 Q(9) = 2.2622,2经计算得 X = 67.4, S = 5.929,于是于是67.4-725.929= -2.453.V10由于T-% (9),故拒绝H0,认为有显著性差异。2.某种白炽灯泡的寿命听从正态分布。在一批

9、该种灯泡中随机地抽取10只测得其寿命值（以小时记）为:999. 17993. 051001.841005. 36989.81000.891003. 741000. 231001.261003. 19试求未知参数及/的置信度为0.95的置信区间。解：（1）未知参数的置信度为0.95的置信区间为:4 R48% j= /().025 ( - 1) 7n999.853 -=- x 2.262 = 999.853 3.4678(6分)二996.38524003.321（2）未知参数/的置信度为0.95的置信区间:(一 1)$2%).025(-1)/1211,5268 21L5268竟97519.023，2.7= 11,1195,78.3433.设（x,y）的联合概率密度为24r/ 、 一y(2-x), 0 xl,