2022年全国初中数学竞赛模拟试题及答案

1、2022 年全国初中数学竞赛试题考试时间 2011 年 3 月 20 日 9301130 满分 150答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答2、解答书写时不要超过装订线3、草稿纸不上交。一、选择题（共5 小题，每小题 7 分，共 35 分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）1、设 x ，则代数式 x(x 1)(x 2)(x 3) 的值为（ C）5 32A0B1C1D22、对于任意实数a , b , c , d ，定义有序实数对(a , b) 与(c , d ) 之间的运算“”为：(a ,

2、 b)(c , d ) (ac bd , ad bc) 。如果对于任意实数u , v ，都有(u , v)(x , y) (u , v) ，那么(x , y) 为（B）。A (0 ,1)B (1, 0)C (1, 0)D (0 , 1)533、已知A , B 是两个锐角，且满足sin2 A cos2 B t ，cos2 A sin2 B t 2 ，则44实数t 所有可能值的和为（ C） 8 5C1D 113334、如图，点 D , E 分别在ABC 的边 AB，AC 上，BE，CD 相交于点 F，设SS ，SS ，SS ，SS ，则S S与S S的大小关系为（ C）四边形EADF1BDF2BC

3、F3CEF41 324AA S S S S1 324B S S S S1 324C S S S S1 324D不能确定DFE1111BC5、设S 132333 ，则 4S 的整数部分等于（A）20113A4B5C6D7二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6、两条直角边长分别是整数a , b （其中b 2011），斜边长是b 1的直角三角形的个数为31。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为 5 的概率是。 198、如图，双

4、曲线y 2 (x 0) 与矩形 OABC 的边xCB，BA 分别交于点 E，F 且 AFBF，连接 EF，则OEF 的面积为； 329、 O 的三个不同的内接正三角形将 O 分成的区域的个数为。28yCEBFOAx10、设四位数abcd满足a3 b3 c3 d 3 1 10c d ，则这样的四位数的个数为。5三、解答题（共 4 题，每题 20 分，共 80 分）11、已知关于 x 的一元二次方程 x2 cx a 0 的两个整数根恰好比方程x2 ax b 0 的两个根都大 1，求a b c 的值。解：设方程 x2 ax b 0 的两个根为、，其中、为整数，且 则方程 x2 cx a 0 的两个整

5、数根为1、1，由根与系数关系得：a，(1)(1)a两式相加得：2210 即(2)(2)3 2 1 或 2 3解得： 1或 5 2 3 2 1 1 3又a()，b，c(1)(1)a0，b1，c2 或 a8，b15，c6故a b c 3 或a b c 2912、如图，点 H 为ABC 的垂心，以 AB 为直径的 O1和BCH 的外接圆 O2相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P，求证：点 P 为 CH 的中点。证明：如图，延长 AP 交 O2连结 AH，BD，QC，QH于点 QAO1HDPBCO2QAB 为直径 ADBBDQ900BQ 为 O2的直径于是 CQBC，BHHQ点 H 为ABC

6、的垂心 AHBC，BHACAHCQ，ACHQ，四边形 ACHQ 为平行四边形则点 P 为 CH 的中点。13、若从 1，2，3， n 中任取 5 个两两互素的不同的整数a ， a ， a123， a ，4a ，其中总有一个整数是素数，求n 的最大值。5解：若 n49，取整数 1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，n48，在 1，2，3，48 中任取 5 个两两互素的不同的整数a ， a ， a123， a ， a ，45若a ， a ， a123， a ， a45都不是素数，则a ， a ， a123， a ， a45中至少有四个数是合数，不妨

7、假设a ， a ， a123， a 为合数，4设a ， a ， a123， a 的最小的素因数分别为 p1，p2，p3，p44由于a ， a ， a123， a 两两互素，p1，p2，p3，p4 两两不同4设 p 是 p1，p2，p3，p4 中的最大数，则 p7因为a ， a ， a123， a 为合数，所以a ， a ， a4123， a 中一定存在一个4ja p27249，与 n49 矛盾，于是a ， a ， a123， a ， a45中一定有一个是素数综上所述，正整数 n 的最大值为 48。314、如图，ABC 中，BAC60，AB2AC。点 P 在ABC 内，且 PA，PB5，PC2，求ABC 的面积。解：如图，作ABQ，使得：QABPAC，ABQACP， 则ABQ ACP，由于 AB2AC，相似比为 2于是，AQ2 AP2，BQ2CP4M3QAPQABBAPPACBAPBAC60A由 AQ：AP2：1 知，APQ900Q3于是，PQAP