2022年全国新课标高考模拟试题

1、2022 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 理科数学第一卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A 1,2,3,4,5 , B (x, y) x A, y A, x y A；,则中所含元素的个数为（）【解析】选x 5, y 1,2,3,4 ， x 4, y 1,2,3 ， x 3, y 1,2 ， x 2, y 1 共 10 个（2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（）种种种种【解析】选甲地由名教师和名学生：C1C 2 12

2、种24（3）下面是关于复数 z 2的四个命题：其中的真命题为（）1 ip : z 2p12: z2 2i的共轭复数为p4: z 的虚部为p , p23p , p12p , pp , p【解析】选22(1 i)z 1 i (1 i)(1 i) 1 ip : z 1， p : z222 2i ，的共轭复数为1 i ， p4: z 的虚部为设是椭圆 E :x2 y2 a2b2 1(a b 0) 的左、右焦点，为直线 x 3a上一点，2F PF 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）211223【解析】选F PF 是底角为的等腰三角形 PF F F 2(a c) 2c e c 332122 12a4已

3、知为等比数列，a a47（）【解析】选 2 ，a a5 6 8 ，则a a110a a47 2，a a5 6 a a4 7 8 a4 4, a7 2或a 2, a 447a 4, a47a 2, a 2 a1 4 a 8, a10 8, a 1 a a110 1 a a 7 747101110如果执行右边的程序框图，输入正整数N (N 2) 和实数a , a12A B 为 a , a,., an,., a，输出，则（）的和12nA B 为 a , a,., a的算术平均数212n和分别是a , a12和分别是a , a12【解析】选,., an,., an中最大的数和最小的数中最小的数和最大的

4、数如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）【解析】选该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为此几何体的体积为V 1 1 6 3 3 932等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线y 2 16x 的准线交于3两点， AB 4；则的实轴长为（）【解析】选设C : x2 y2 a2 (a 0) 交 y 2 16x 的准线l : x 4 于 A(4, 23) B(4, 23)得： a2 (4)2 (23) 2 4 a 2 2a 4（9）已知 0 ，函数 f (x) sin(x ) 在4( ,) 2上单调递减。则的取值范围是（）15131,2 42(0,42

5、【解析】选 2 (x ) 59, 不合题意 排除444 1 (x ) 3 , 5 合题意 排除(B)(C)444另： ( ) 2 ， (x ) , 3,2得： , 43 241 54222424224已知函数 f (x) 1ln(x 1) x；则 y f (x) 的图像大致为（）【解析】选g(x) ln(1 x) x g(x) x1 x g(x) 0 1 x 0, g(x) 0 x 0 g(x) g(0) 0得：或1 x 0 均有 f (x) 0排除 A,C, D （lbylf x）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球的求面上， ABC 是边长为的正三角形， 为球的直径，且SC 2 ；则此棱

6、锥的体积为（）23226632【解析】选36ABC 的外接圆的半径r ，点到面的距离d R2 r 2 33为球的直径点到面的距离为2d 263此棱锥的体积为V 1 S 2d 1 3 26 23ABC3436另：V 1 S3ABC 2R 13 排除 B,C, D6设点在曲线 y ex 上，点在曲线 y ln(2 x) 上，则最小值为（）21 ln22(1 ln 2)1 ln22(1 ln 2)【解析】选函数 y 1 ex 与函数 y ln(2 x) 互为反函数，图象关于 y x 对称21 ex x 2211函数 y ex 上的点 P(x,ex ) 到直线 y x 的距离为d 22111 ln 2

7、2设函数 g(x) ex x g(x) ex 1 g(x) 1 ln 2 d22minmin由图象关于 y x 对称得：最小值为2d2(1 ln 2)min第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答， 第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。【解析】 b 2a b 10 (2a b)2 10 4 b 2 4 b cos 45 10 b 32已知向量夹角为 ，且 a 1, 2a b 10 ；则 b x, y 0(14) 设满足约束条件： x y 1 ；则 z x 2 y 的取值范围为 x y 3

8、【解析】 z x 2 y 的取值范围为3,3约束条件对应四边形OABC边际及内的区域： O(0,0), A(0,1), B(1,2),C(3,0)则 z x 2 y 3,3某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N (1000,502 ) ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为3【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为8三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502 )得：三个电子元件的使用寿命超过1000 小时的概率为

9、 p 123超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率P1 1 (1 p)2 4那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为 p2数列满足a (1)n a 2n 1，则的前项和为n1n【解析】的前项和为 p p 318可证明： bn1 a4n1a4n2a4n3a4n4 a4n3a4n2a a4n24n 16 bn 16b a a112a a34 10 S15 1015 1514216 1830三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知a,b, c 分别为ABC 三个内角 A, B,C 的对边， a cos C 3a sin C b

10、 c 0（1）求（2）若， ABC 的面积为；求。【解析】（1）由正弦定理得：a cos C 3a sin C b c 0 sin A cos C 3 sin Asin C sin B sin C sin A cos C 3 sin Asin C sin(a C) sin C13 sin A cos A 1 sin( A 30 ) 2 A 30 30 A 60（2） S 1 bc sin A 3 bc 42a2 b2 c2 2bc cos A b c 4解得： b c 2 （l fx lby）18.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，

11、 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝， n N ）的函数解析式。花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？ 请说明理由。【解析】（1）当n 16 时， y 16 (10 5) 80当n 15 时， y 5n 5(16 n) 10n 8010n 80(n 15)得： y 80（

12、2）（i）可取，(n 16)(n N )P( X 60) 0.1,P(X 70) 0.2, P(X 80) 0.7的分布列为EX 60 0.1 70 0.2 80 0.7 76DX 162 0.1 62 0.2 42 0.7 44（ii）购进 17 枝时，当天的利润为y (14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76.476.4 76 得：应购进 17 枝（19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC A B C中， AC BC 1 AA ，是棱的中点， DC111121 BD证明： DC1求二面角 A1 BCBD

13、C1的大小。【解析】（1）在 RtDAC 中， AD AC得： ADC 45同理： A DC 45 CDC 90111得： DC1 DC, DC1 BD DC1 面 BCD DC1 BC（2） DC1 BC, CC1 BC BC 面 ACC A11 BC AC取的中点，过点作OH BD 于点，连接C O, C H11AC B C C O A B ，面 A B C 面 A BD C O 面 A BD111111 1111111OH BD C H BD得：点与点重合1且C DO 是二面角 ABD C的平面角1112a设 AC a ，则C O ， C D 2a 2C O C DO 30既二面角 A1

14、1BD C12111的大小为（20）（本小题满分 12 分）设抛物线C : x2 2 py( p 0) 的焦点为，准线为， A C ，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（lbyl fx）若BFD 900 ， ABD 的面积为；求的值及圆的方程；若 A, B, F 三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点， 求坐标原点到距离的比值。【解析】（1）由对称性知： BFD 是等腰直角，斜边BD 2 p点到准线的距离d FA FB 2 pS 4ABD 1 BD d 4 2 p 222圆的方程为 x2 ( y 1)2 80由对称性设 A(x ,0 x2 )(x 2 p0p0) ，则F (0,) 2

15、点关于点对称得： B(x, p x2 ) p x2 x2 3 p2p0002 p2 p203 p3 p p得： A(3 p, 3 p )，直线m : y 222 x p x 3y 03 p22333 p2x 2 py y x2 y x x p 切点 P(, p )2 pp333633直线n : y p (x 3 p ) x 3y p 06336坐标原点到距离的比值为（21）（本小题满分 12 分）: 3 。（lfx lby）3 p3 p261已知函数满足满足 f (x) f (1)ex1 f (0)x x2 ；2求的解析式及单调区间；1若 f (x) x2 ax b ，求(a 1)b 的最大值

16、。21【解析】（1） f (x) f (1)ex1 f (0)x x22 f (x) f (1)ex1 f (0) x令得： f (0) 11f (x) f (1)ex1 x x2 f (0) f (1)e1 1 f (1) e2得： f (x) exx x212 g(x) f (x) ex1 xg(x) ex 1 0 y g(x) 在 x R 上单调递增f (x) 0 f (0) x 0, f (x) 0 f (0) x 0得：的解析式为 f (x) exx 1 x22且单调递增区间为(0, ) ，单调递减区间为(,0)（2） f (x) 1 x2 ax b h(x) ex (a 1)x b

17、 0 得h(x) ex (a 1)2当a 1 0 时， h(x) 0 y h(x) 在 x R 上单调递增x 时， h(x) 与h(x) 0 矛盾当a 1 0 时， b ex b 0当a 1 0 时， h(x) 0 x ln(a 1),h(x) 0 x ln(a 1)得：当 x ln(a 1)时， h(x)min (a 1) (a 1)ln( a 1) b 0(a 1)b (a 1)2 (a 1)2 ln(a 1)(a 1 0)令 F (x) x2 x2 ln x(x 0) ；则 F(x) x(1 2ln x)F (x) 0 0 x e , F (x) 0 x e当 x e 时， F (x)

18、emax2当a e 1,b e 时， (a 1)b 的最大值为 e2请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，分别为ABC 边 AB, AC 的中点，直线交ABC 的外接圆于两点，若CF / / AB ，证明：CD BC ；BCDGBD【解析】（1） CF / / AB ， DF / / BC CF / /BD/ /AD CD BFCF / / AB AF BC BC CD（2） BC / /GF BG FC BDBC / /GF GDE BGD DBC BDC BCDGBD（23）本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参