李雅普诺夫稳定性理论汇总课件

1、 第四章动态系统的稳定性分析1 稳定性基本概念2 李雅普诺夫意义下的稳定性3 李雅普诺夫第一法4 李雅普诺夫第二法5 线性定常系统渐近稳定性判别法1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别教学要求：研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，

2、或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线性系统)1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应，最优控制，非线性控制等。主要内容：李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先线性化。李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造Lyapunov标量函数。 一、稳定性基本概念 1. 自治系统：输入为0

3、的系统 =Ax+Bu(u=0) 2. 初态： =f(x,t)的解为 初态 3. 平衡状态： 系统的平衡状态 a. 线性系统 第一节 李雅普诺夫稳定性定义A非奇异：解唯一,平衡点只有一个令例：b. 非线性系统A奇异：4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。 系统不一定都存在平衡点；但系统也可能有多个平衡点；平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对多平衡点问题需针对各状态讨论。说明：二、李雅普诺夫意义下的稳定性定义4-2： 几何意义： 实际上，工程中的李氏稳定是临界不稳定无摩擦，等幅振荡定义4

4、-3(渐近稳定)： 球受外力离开平衡点,存在摩擦力时,小球最终静止在A点。几何意义 物理意义 定义4-4(大范围渐近稳定)： 必要条件：只有一个平衡点。定义4-5(不稳定)： 说明： (1) 若系统渐近稳定，则对于x=Ax而言，A特征值应均有负实部。(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡点。(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。第二节 李雅普诺夫间接法 李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。 对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得到一近似的线性化方程，然后再进行判断。一

5、、线性定常系统的稳定性(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均有负实部。说明： 例： 李氏稳定不稳定李氏稳定李氏稳定不稳定李氏稳定(2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。(3)不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。说明： (1)劳斯判据依然适用。(2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。 例： 求A的特征值：得A特征值：不稳定例： 判xe=0平衡点的稳定性。解A的特征值： 对应约当块是二维。例： 判xe=0平衡点的稳定性。解A的特征值：实部为0的特征值 对应约当块是一维的.BIBO稳定:若输入u(t)有界，则输出y(t)也

6、有界。称有界输入有界输出稳定。BIBO稳定性由G(s)极点决定。系统状态的稳定性由A的特征值决定。零点多项式极点多项式例： 判xe=0平衡点的渐近稳定与BIBO稳定。说明：渐近稳定是真正的系统稳定，包含BIBO稳定。BIBO稳定可能内部状态不稳定，不包含渐近稳定。二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判断时，应先线性化。高阶导数项 判定法： 说明：(2)并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别;例： 两个负实根，渐近稳定和 有一个正实根，不稳定例：所以，系统在 处不稳定实部为0，不能由A来判断稳定性第三节 李雅普诺夫直接法 李氏直接法通过找一个能量函数V(x)来判断系

7、统的稳定性。如果V(x)能量减小，系统可能稳定；V(x)增大，则系统不稳定。但并不是所有的系统都可以找到能量函数。一、函数的定号性例：二、二次型例：V(x)的定号性完全由P来确定。P的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。P的顺序主子式：希尔维斯特判据例：P的顺序主子式都大于0P是正定的 V(x)正定例：不定例：负定 Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建立在用能量分析稳定性的基础上。例：若无摩擦 能量不变 李氏稳定有摩擦 能量减小 渐近稳定能量变化始终0 不稳定例： 如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器B，质量M用V(x)表示系统的能量： V(x)随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间增

8、大而趋于坐标原点。 坐标原点是渐近稳定。定理4-2：对李氏函数的讨论：(1) V(x)是一正定标量函数，且对x具有一阶连续偏导。(2) 对于一给定系统，若V(x)可找到，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。(3) V(x)的最简单形式是二次型函数 ，其中P为实对称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但V(x)并不一定都是简单的二次型。(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。(5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如高阶非线性系统或时变系统

9、。(6) 只有V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。例：解：显然是正定的,且有连续一阶偏导判稳定性。例：判稳定性。始终位于圆上状态与平衡点的距离例：判稳定性。(1)(2)(*)解：(3)代入方程(*)中由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数。例：判稳定性。解：说明：系统的稳定域在单位圆内。例：判稳定性。解：二、克拉索夫斯基方法(构造李氏函数的方法)定理4-3：进一步：证明：说明: (1)这种方法并不适用于所有系统;例：判稳定性。解：例：线性定常系统判稳定性。解：例：线性定常系统判稳定性。解：若用克拉索夫斯基方法：无法判定进一步说明此方法并不是适用于所有的系统。三、李雅普诺夫方程P应为正定实对称矩阵则任意确定一正